Siruri recurente

Siruri recurente

Definitie Fie . Vom numi sir recurent de ordin unu un sir (x_n) astfel incat x_n+1 se exprima in functie de x_n prin relatia de recurenta: x_n+1=f(x_n) si a carui valoare initiala x₀ este cunoscuta.

Teorema Daca functia f este continua si sirul (x_n) este convergent atunci limita sa verifica ecuatia:

Reciproc, daca este o solutie a ecuatiei si functia f este derivabila pe un interval ce contine x₀ si verifica:

atunci sirul (x_n) converge la l.

Definitie Vom numi ecuatie de recurenta liniara de ordin p cu coeficienti constanti o relatie:

unde a₁..,a_p sunt constante si g este o functie reala data.

O astfel de ecuatie se va numi omogena daca :

Propozitie Solutia generala a ecuatiei neomogene este suma dintre solutia generala v_n a ecuatiei omogene si o solutie particulara u_n^* a ecuatiei neomogene.

In continuare vom restrange discutia la cazul sirurilor recurente liniare de ordinul intai si de ordinul doi. Vom lasa cititorului posibilitatea de generalizare.