Rezolvarea numerica a ecuatiilor algebrice si transcendente

Rezolvarea numerica a ecuatiilor algebrice si transcendente

Aplicatia 1.

Sa se determine, cu o aproximatie de 1/100 radacinile reale ale ecuatiei: = 0 prin metoda injumatatirii intervalului, metoda tangentei si prin metoda aproximatiilor succesive.

1.Se stabilesc intervalele in care se gasesc radacinile reale ale ecuatiei, formand sirul lui Rolle

cu solutiile: si se construieste sirul lui Rolle:

observandu-se ca ecuatia f(x) = 0 are o singura radacina reala .

2. Intervalul se poate restrange, calculandu-se:

rezulta

Aproximarea radacinii:

1.Metoda injumatatirii intervalului

Consideram a si b capetele intervalului si se calculeaza

In cazul exemplului considerat, pentru a = 1 si b = 2 avem:

Se considera a = 1 si b = si se continua operatiunea:

Operatiunea poate continua pana cand se obtine o valoare a radacinii cat mai apropiata de aproximatia ceruta prin enunt.

2. Metoda tangentei (se continua exemplul precedent)

Se scriu ecuatiile tangentelor la graficul functiei f(x) in punctele A si B si, apoi, se determina punctele de intersectie ale acestora cu axa

Fie T_A si T_B aceste puncte:

Ecuatia tangentei in A este de forma unde: si

si devine (dupa inlocuire):

Considerand ecuatia tangentei y = 0 obtinem abscisa lui T_A: x=1,33

Rezulta: T_A = 1,3

Scriem ecuatia tangentei la graficul lui f(x) in punctul B, folosind formula tangentei in A,

Pentru y = 0 rezulta x = 1,5 - 0,152 = 1,34, valoarea abscisei fiind

T_B = 1,34.

Deoarece T_A < T_B, se va aproxima solutia cu aceasta valoare:

Metoda aproximatiilor succesive

Functia f(x) = x³-x-1 se poate scrie sub forma:

Se reprezinta grafic functiile si

Se constata ca ecuatia are o singura radacina reala, mai mare decat 1. Rezulta ca . Se restrange intervalul in care se afla radacina si se stabileste ca .

Se construieste tabelul:

Rezulta ca radacina se afla in intervalul (1,32; 1,33).

Considerand, de exemplu, x = 1,325

rezulta