Surjectivitatea unei functii

Surjectivitatea unei functii

Teorema: Functia f: A → B este surjectiva daca si numai daca Im f = B

Demonstratie: " este imediata

" Egalitatea a doua multimi se demonstreaza prin dubla incluziune. Avem intotdeauna f(A)B (1). Fie acum y B, cum f este surjectiva, exista atunci x A, astfel incat f(x)=y. Deci y f(A). De aici rezulta B f(A) (2). Din (1) si (2) rezulta f(A)= B.

Observatie: Functia f: A → B nu este surjectiva daca f(A)≠B

Teorema:    Pentru functia f: A → B unde A, B R sunt echivalente urmatoarele afirmatii:

a.     functia f este surjectiva;

b.   y B, x A, astfel incat f(x) = y;

c.    Pentru    y B, ecuatia f(x) = y are cel putin o solutie x A;

d.   Im f = f(A) = B;

e.    Orice paralela dusa la axa Ox printr-un punct al codomeniului taie graficul functiei in cel putin un punct.