Eveniment. Frecventa. Probabilitate

Eveniment. Frecventa. Probabilitate

Prin experienta aleatoare se intelege o experienta al carei rezultat, numit proba, variaza la intamplare.

Un eveniment desemneaza aparitia sau producerea si, tot asa de bine, neaparitia sau neproducerea unui anumit fenomen sau unei anumite situatii. El este legat de o anumita experienta.

Un eveniment este numit sigur sau cert daca suntem informati suficient de bine ca s-a produs sau se va produce in viitor cu siguranta in caz contrar avem de-a face cu un eveniment incert. Altfel spus, faptul ca un eveniment este cert sau incert este o apreciere a celui care decide pe baza informatiilor disponibile la un moment dat si nu neaparat o caracteristica intrinseca sau obiectiva a acestui eveniment. In fapt, producerea unui eveniment este strans legata de realizarea unui anumit numar de conditii. Astfel, evenimentul sigur poate fi considerat ca fiind acel eveniment care se produce de fiecare data cand sunt realizate conditiile.

Evenimentul imposibil este acel eveniment care nu se poate produce niciodata atunci cand conditiile sunt realizate. Evenimentul aleator sau incert este acela care in prezenta conditiilor se poate produce sau nu.

Presupunem ca avem de-a face cu extragerea unei bile dintr-o urna care contine 7 bile albe si 3 bile negre. Se mai presupune ca toate cele 10 bile sunt perfect identice ca forma, dimensiune si greutate, singura caracteristica distinctiva fiind cele doua culori. Aceasta din urma conditie trebuie sa ne asigure ca orice extragere se va face de fiecare data in conditii perfect identice, eliminand din experienta orice element care poate favoriza oricat de putin extragerea unei bile inaintea alteia. Teoretic, putem considera ca avem de-a face cu conditii ideale de efectuare a experientei propuse. De asemenea, vom considera ca extragerea din urna se va efectua astfel incat nici un operator uman sau de alta natura sa nu poata 'vedea' sau interveni in vreun fel in selectarea vreunei bile anume.

Punand de fiecare data bila extrasa inapoi in urna, vom extrage si vom nota de fiecare data culoarea bilei care apare. Consideram urmatoarele evenimente:

E₁ = 'se extrage o bila alba

E₂ = 'se extrage o bila neagra

Vom face urmatoarele observatii. Fie n numarul experientelor efectuate pana la un moment dat, iar k numarul de realizari ale evenimentului E₁, adica numarul de aparitii ale unei bile albe. Se va putea observa ca raportul k/n tinde sa se stabilizeze in jurul unei anumite valori, aceasta fiind egala cu 7/10. Cu cat numarul de experiente efectuate este mai mare, cu atat mai bine se poate constata ca raportul vizat anterior se va apropia din ce in ce mai mult de valoarea 7/10, aceasta tendinta devenind astfel din ce in ce mai evidenta.

Raportul k/n se numeste frecventa. Prin stabilitatea frecventei intelegem proprietatea evidentiata mai sus de a se apropia de o anumita valoare atunci cand numarul experientelor efectuate creste. Aceasta valoare este numita probabilitatea evenimentului E si se noteaza cu p(E₁)

In mod analog, putem aprecia si probabilitatea evenimentului E₂,    p(E₂)=3/10.

In toate cele considerate in continuare ne vom referi numai la experiente cu un numar finit de cazuri posibile. Un asemenea model este cel prezentat mai sus referitor la extragerea bilelor dintr-o urna. Daca toate bilele sunt de aceeasi forma, dimensiune si greutate, atunci nu avem nici un motiv serios sa credem ca, daca facem un numar suficient de mare de extrageri (punand de fiecare data bila extrasa inapoi in urna), vreuna dintre bile va aparea cu o frecventa mai mare sau mai mica decat celelalte.

Rationamentul pentru determinarea probabilitatilor in cazul finit poate fi ameliorat substantial prin utilizarea unor notiuni noi precum: numar de cazuri egal posibile si numar de cazuri egal favorabile.

In exemplul de mai sus, pentru extragerea unei bile aflate in urna sunt posibile in mod egal exact 10 cazuri, acesta fiind de fapt numarul total de bile aflate in urna inaintea efectuarii experientei. Cum printre acestea sunt doar 7 bile care ne intereseaza pe noi - cele 7 bile albe legate de evenimentul E₁ - spunem ca avem de-a face cu 7 cazuri favorabile. In acest mod intuitiv, probabilitatea de realizare a unui eveniment ar putea fi considerata ca fiind egala cu raportul dintre numarul cazurilor favorabile evenimentului respectiv si numarul cazurilor egal posibile.

Urna cu bile ofera un model simplu de experimente probabilistice cu un numar finit de cazuri egal posibile. In locul bilelor albe si negre putem presupune ca avem de-a face cu 10 bile numerotate de la 1 la 10. Frecventa de aparitie a unei bile, oricare ar fi aceasta, oscileaza in jurul valorii 1/10, atunci cand numarul probelor creste, si ne asteptam ca apropierea sa fie cu atat mai mare cu cat numarul probelor este mai mare. 1/10 este limita catre care tinde in general sirul frecventelor unui eveniment de genul "aparitia bilei cu numarul k", unde 1 ≤ k ≤10, daca numarul probelor ar creste indefinit.

Definitia probabilitatii unui eveniment legat de o experienta cu un numar finit de cazuri egal posibile este aplicabila doar la aceasta categorie de evenimente.

Cele mai simple probleme de calcul probabilistic cer probabilitatea unui eveniment legat de astfel de experiente si se reduc la calcularea celor doua numere si a raportului lor: numarul n al cazurilor (egal) posibile, caracterizat numai de experienta propriu-zisa, fara a fi definit vreun eveniment, si numarul k al cazurilor favorabile producerii evenimentului considerat. In acest caz spunem ca probabilitatea acestui eveniment este k/n. Intr-un limbaj mai intuitiv am putea spune mai simplu ca producerii evenimentului respectiv ii sunt favorabile "k sanse din n".

Cata incredere putem acorda considerentelor teoretice de mai sus? Am putea spune fara reticenta ca totala. Pentru aceasta este suficient sa incercam efectuarea unor experiente diverse, cum ar fi: aruncarea zarurilor, aruncarea unei monede, extragerea bilei dintr-o urna etc. Increderea se bazeaza pe faptul ca se satisface intuitia, care nu este altceva decat o manifestare a experientei acumulate de om de-a lungul evolutiei sale. Si daca totusi, in efectuarea unei experiente constatam ca se manifesta o abatere flagranta de la regulile stipulate mai sus, mai degraba ar trebui sa ne indoim de "corectitudinea" experientei efectuate decat de legea probabilitatilor.

Toate cele consemnate mai sus se constituie intr-o definitie clasica a probabilitatii care are la baza notiunea de egal-probabilitate sau, dupa o formulare de data mai recenta, echiprobabilitatea evenimentelor. Aceasta este acceptata in mod intuitiv pe considerente de simetrie.

Daca intr-o urna nu se gasesc decat doua bile, una alba si una neagra, bile pe care nu le putem deosebi decat dupa culoare (nu si dupa greutate, forma, dimensiuni etc.), si daca din aceasta urna se extrage o bila, spunem ca urmatoarele evenimente:

E₁ = "aparitia bilei albe si

E₂ = "aparitia bilei negre

sunt echiprobabile. Prin aceasta intelegem nu ca ar fi nelogic ca in serii mai lungi de extrageri (frecvente) unul din aceste evenimente sa se produca sistematic mai des decat celalalt, ci doar ca ar fi nefiresc sa se intample asta. Cu alte cuvinte, o astfel de situatie nu ar intra in conflict cu principiile generale ale logicii, ci doar cu bunul nostru simt.

In ceea ce priveste scopul urmarit in aceasta lucrare, recomandam cititorului sa se multumeasca cu aceasta acceptiune intuitiva a notiunilor considerate, cele de eveniment si probabilitate.

Doua sau mai multe evenimente legate de aceeasi experienta se numesc incompatibile daca nu pot fi realizate impreuna. In caz contrar sunt compatibile.

Evenimentul sigur si cel imposibil sunt evenimente contrare, deci si incompatibile. Daca doua evenimente sunt contrare, atunci, la orice efectuare a experientei, se realizeaza cu certitudine unul si numai unul dintre ele. Mai general, spunem ca evenimentele A₁, A₂ A₃ A_n formeaza un sistem complet de evenimente daca la orice experiment se realizeaza cu certitudine unul si numai unul din aceste evenimente. Se observa ca, cele n evenimente formeaza un sistem complet, daca si numai daca

a)   evenimentul "A₁ sau A₂ sau A₃ sau A_n" este eveniment sigur (se realizeaza cel putin unul din cele n evenimente),

b)   A₁, A₂ A₃ A_n sunt incompatibile doua cate doua (se realizeaza cel mult unul din evenimente).

In limbajul pe care l-am adoptat in teoria multimilor cele doua proprietati mai pot fi scrise si astfel:

a)   A₁U A₂U A₃UU A_n = A, unde A este multimea tuturor evenimentelor care descriu experienta,

b)     A_i A_j pentru orice i si j de la 1 la n, i j.

Considerarea operatiilor cu evenimente si a relatiilor dintre evenimente, preluate din teoria multimilor, este necesara pentru exprimarea celor mai simple dar si cele mai importante proprietati ale probabilitatilor.

Proprietatile care urmeaza sunt - dupa cum se va putea observa - proprietati evidente ale frecventei evenimentelor, proprietati pastrate printr-o trecere la limita obisnuita. Astfel, daca doua evenimente A si B legate de aceeasi experienta sunt incompatibile si daca efectuam de n ori experienta, iar evenimentul A s-a realizat de n_A ori si evenimentul B de n_B ori, atunci evenimentul "A sau B" s-a realizat de n_A + n_B ori (deoarece A si B nu s-au realizat niciodata simultan). Rezulta ca, intre frecventele celor trei evenimente, exista relatia:

f_n(A sau B) = f_n(A) + f_n(B).

Este normal sa transformam aceasta proprietate a frecventelor intr-o proprietate a probabilitatilor. In mod simplu orice proprietate a probabilitatilor dintre cele prezentate mai jos poate fi verificata pentru frecvente. In general, vom nota probabilitatea evenimentului A prin p(A). Iata deci, cele mai importante proprietati

p(A) 1, pentru orice eveniment A.

p 0 si p(S) = 1, unde prin si S s-au notat evenimentul imposibil si, respectiv, evenimentul sigur.

p(AUB) = p(A) + p(B), daca A si B sunt evenimente incompatibile.

p(AUB) = p(A) + p(B) - p(A B).

p p(A), unde prin Å s-a notat evenimentul contrar (opus) al evenimentului A.

p(B Å) = p(B) - p(A), daca A→B; prin aceasta notatie care se citeste "evenimentul A implica evenimentul B", intelegandu-se ca realizarea evenimentului A atrage dupa sine realizarea evenimentului B; cu alte cuvinte, de fiecare data cand s-a realizat    A, s-a realizat cu certitudine si B.

p(B Å) = p(B) - p(A∩B

Cunoasterea acestor proprietati este necesara pentru a obtine prin calcul direct probabilitatile unor evenimente cunoscand probabilitatea de realizare a altor evenimente, cat si pentru stabilirea proprietatilor de baza ale unor notiuni foarte importante din teoria probabilitatilor.

Unele dintre proprietatile de mai sus admit si anumite generalizari, cum ar fi, de exemplu, proprietatile 3 si 4. Lasam pe seama cititorului lamurirea acestor observatii utile.