Formule si scheme probabilistice

Formule si scheme probabilistice

Vom prezenta cateva formule uzuale din calculul probabilitatilor, precum si unele scheme probabilistice dintre cele mai utile. Rolul schemelor este acela de a da o rezolvare unor probleme de un anumit tip pentru a nu fi nevoiti sa apelam de fiecare data la un rationament sau la un calcul complex atunci cand intalnim o problema de tipul respectiv. De exemplu, una din scheme da probabilitatea ca un eveniment de probabilitate cunoscuta sa se realizeze de un numar de ori atunci cand repetam experienta de care e legat de un numar dat de ori. Odata cunoscuta aceasta schema, daca vom intalni o problema in care este data o anumita experienta care se repeta in conditii identice, putem apela la rezultatul cunoscut al acesteia.

Pentru intelegerea corecta a aplicarii acestor reguli si scheme vom prezenta odata cu ele si exemple concrete de utilizare.

Regula de inmultire a probabilitatilor

p(A₁ A₂ A_n) p(A₁).p(A₂/A₁).p(A₃/A₁ A₂) .

p(A_n/A₁ A₂ A_n).

Exemplu: O urna contine 6 bile albe si 43 bile negre. Se extrag trei bile, una cate una, fara intoarcerea bilei extrase inapoi in urna. Care este probabilitatea obtinerii a trei bile albe?

Rezolvare: Consideram evenimentele:

A₁: prima bila extrasa este alba

A₂: a doua bila extrasa este alba

A₃: a treia bila extrasa este alba

Cu aceste notatii avem:

p(A₁) = 6/49; p(A₂/A₁) = 5/48; p(A₃/A₁ A₂) = 4/47;

Asadar

p(A₁ A₂ A₃) = p(A₁).p(A₂/A₁).p(A₃/A₁ A₂) = 5/4606.

Formula probabilitatii totale

Daca A₁, A₂, . , A_n formeaza un sistem complet de evenimente atunci pentru orice eveniment A avem:

p(A) = p(A₁).p(A/A₁)+p(A₂).p(A/A₂)+ . +p(A_n).p(A/A_n)

Exemplu: Se considera doua urne identice. Una contine 3 bile albe si 4 bile negre iar cealalta 4 bile albe si 5 bile negre. Din una din aceste urne, aleasa la intamplare, se extrage o bila. Care este probabilitatea ca bila extrasa sa fie alba?

Rezolvare: Consideram evenimentele:

A₁: extragerea se face din prima urna

A₂: extragerea se face din a doua urna

A: bila extrasa este alba

Se observa imediat ca A₁ si A₂ formeaza un sistem complet de evenimente si

p(A₁) = p(A₂) = ½, p(A/A₁) = 3/7, p(A/A₂) = 4/9.

Aplicand formula probabilitatii totale putem scrie

p(A) = p(A₁).p(A/A₁)+p(A₂).p(A/A₂) /A₁) = 1/2 . 3/7 + 1/2 . 4/9 = 55/126.

Formula lui Bayes

Daca evenimentele A₁, A₂, . , A_n formeaza un sistem complet de evenimente, atunci pentru orice eveniment A avem:

p(A_i/A) = [p(A_i).p(A/A_i)] / [p(A₁).p(A/A₁)+p(A₂).p(A/A₂)+ . +p(A_n).p(A/A_n)]

Daca evenimentele considerate sunt echiprobabile, adica daca p(A₁) = p(A₂) = . = p(A_n) = 1/n, atunci

p(A_i/A) = p(A/A_i) / [p(A/A₁)+p(A/A₂)+ . +p(A/A_n)]

Exemplu: aceeasi problema ca in exemplul anterior, in care se cere, daca bila extrasa este alba, care este probabilitatea ca ea sa provina de prima urna

Rezolvare: Vom folosi aceleasi notatii din problema anterioara. Se cere, asadar, p(A₁/A). Se observa ca evenimentele A₁ si A₂ sunt echiprobabile: p(A₁) = p(A₂) = 1/2. Deci

p(A₁/A) = p(A/A₁) / [p(A/A₁)+p(A/A₂)] = 27/55.

Schema bilei neintoarse

Intr-o urna se gasesc n₁ bile albe si n₂ bile negre. Din ea se extrag k bile, una cate una, fara intoarcerea bilei extrase in urna (sau se scot k bile deodata). Probabilitatea ca dintre cele k bile, k₁ sa fie albe si k₂ = k - k₁ sa fie negre este data de formula

p = C(n₁,k₁).C(n₂,k₂) / C(n₁+n₂,k₁+k₂)

unde prin C(n,k) am notat combinarile de n elemente luate cate k.

Exemplu: O urna contine 6 bile albe si 43 bile negre. Se extrag pe rand, fara intoarcerea bilei extrase inapoi in urna, 6 bile. Care este probabilitatea ca dintre cele 6 bile extrase 5 sa fie albe si una neagra?

Rezolvare

p = C(6,5).C(43,1) / C(49,6) = 258/13983816.

Schema lui Poisson

Daca evenimentele independente A₁, A₂, . , A_n au probabilitati cunoscute p(A₁) = p₁, p(A₂) = p₂, . , p(A_n) = p_n, atunci probabilitatea ca din cele n evenimente sa se realizeze k (si sa nu se realizeze n-k) este data de coeficientul lui x^k din dezvoltarea polinomului

(p₁x+q₁).(p₂x+q₂) . ..(p_nx+q_n)

unde q_i = 1 - p_i, i=1,2, . ,n.

Exemplu: Avem trei urne, fiecare continand cate 100 de bile. In prima urna avem trei bile negre iar celelalte albe. In a doua urna avem patru bile negre si restul albe iar in a treia urna avem cinci bile negre si restul albe. Din fiecare urna se extrage cate o bila. Care este probabilitatea obtinerii a doua bile albe si una neagra?

Rezolvare: Consideram evenimentele:

A₁: bila extrasa din prima urna este alba,

A₂: bila extrasa din a doua urna este alba,

A₃: bila extrasa din a treia urna este alba.

p₁ = p(A₁) = 97/100, p₂ = p(A₂) = 96/100, p₃ = p(A₃) = 95/100,

q₁ = 1 - p₁ = 3/100, q₂ = 1 - p₂ = 4/100, q₃ = p(A₃) = 5/100.

Probabilitatea ca din cele trei evenimente sa se realizeze exact doua, este coeficientul lui x² din dezvoltarea polinomului

(0.97x+0.03)(0.96x+0.04)(0.95x+0.05).

Schema binomiala (Bernoulli)

Se considera o experienta si un eveniment legat de aceasta experienta, de probabilitate cunoscuta p. In acest caz probabilitatea ca acest eveniment sa se realizeze de k ori cand se efectueaza n experiente este

p(n,k) = C(n,k)p^kq^n-k,    unde q = 1 - p.

Aceasta probabilitate este coeficientul lui x^k din dezvoltarea binomului lui Newton (px+q)ⁿ. Schema lui Bernoulli reprezinta de fapt o particularizare a schemei lui Poisson.

Un mod de a obtine un numar oarecare de evenimente independente avand aceeasi probabilitate p este considerarea unei experiente de care este legat un eveniment de probabilitate p, repetarea experientei de un numar dorit de ori si considerarea in fiecare proba a evenimentului respectiv. Pe un exemplu vom intelege mai bine.

Exemplu: Doua urne identice contin fiecare cate 6 bile numerotate de la 1 la 6. Care este probabilitatea ca extragand de 6 ori in acelasi timp cate o bila din fiecare urna, repunand dupa fiecare proba bilele in urnele din care au fost extrase, sa obtinem exact de trei ori un total de sapte puncte?

Rezolvare: Intr-o singura proba evenimentul "un total de sapte puncte" are sase cazuri favorabile din cele 36 (egal) posibile si deci probabilitatea sa este p = 6/36 = 1/6. Probabilitatea ca in cele sase probe acest eveniment sa se produca exact de trei ori, conform schemei lui Bernoulli, este C

Ruina jucatorului

Presupunem ca un jucator A dispune de suma de a lei, iar un alt jucator B dispune de suma de b lei. Jocul consta intr-un sir de partide astfel ca, cel care castiga o partida da un leu partenerului sau de joc. Jocul continua pana cand unul din jucatori pierde toti banii (se ruineaza). Daca in fiecare partida sansele sunt egale, care este probabilitatea ca jucatorul A sa ruineze pe B?

Se poate demonstra ca aceasta probabilitate depinde doar de sumele a si b puse in joc si este data de formula:

p_a = a/(a+b)

O observatie utila a acestui rezultat se refera la sansele de care dispune un jucator pentru a-si ruina adversarul. Daca a > b, atunci jucatorul A are sanse mai mari de a-si ruina adversarul. Se zice in acest caz ca sansele sunt de "a la b" in favoarea primului jucator. De exemplu, daca primul ar dispune de 2000 lei iar al doilea doar de 50 lei, atunci sansele sunt de "40 la 1" in favoarea primului jucator.

Daca jocul nu este echitabil, adica sansele nu sunt egale in fiecare partida, rezultatul are o forma mai complicata:

p_a = [1-(q/p)^a] / [1-(q/p)^a+b]

unde p este probabilitatea ca in primul joc care se disputa sa castige 1 leu primul jucator, iar q = 1 - p.