Rezolvarea sistemelor de ecuatii

1. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare

Aplicatia 1.

Sa se rezolve, prin metoda Gauss, sistemul:

(1)

Dupa ordonare sistemul devine:

(2)

Matricea extinsa a sistemului este:

(3)

Pasul I -se imparte prima linie la 7 si se aduna cu a treia (se normalizeaza prima linie)

-prima linie normalizata se inmulteste cu -3 si se aduna la a doua linie:

(4)

Pasul al II-lea: se normalizeaza linia a doua (se imparte la ) si linia a treia (se inmulteste cu ); se aduna linia a doua la a treia:

(5)

Se obtine o matrice triunghiulara, care permite aflarea solutiei prin substitutie inversa:

(6)

Inlocuind x₃, apoi x₂ in ecuatia a II-a, respectiv, a III-a, se obtine:

(7)

Aplicatia 2.

Sa se aplice algoritmul Gauss-Jordan la rezolvarea sistemului:

(8)

Matricea, fiind bine ordonata, se efectueaza:

Pasul I: Se imparte prima linie la 2, dupa care se inmulteste cu -1 si se aduna la a doua si la a treia linie.

Matricea, astfel trensformata, devine:

(9)

Pasul al II-lea: Procedand asemanator (se inmulteste cu -2 linia a doua, apoi linia a treia; se inmulteste linia a doua cu 5 si se aduna la linia    treia. Se obtine:

(10)

Pasul al III-lea: Se inmulteste linia a treia cu si se obtine:

(11)

Obs. In aceasta etapa s-ar putea calcula prin substitutie inversa solutia sistemului, ceea ce este echivalent cu finalul metodei lui Gauss.

Aplicarea metodei Gauss-Jordan presupune continuarea operatiilor asupra matricei extinse, in acelasi mod.

Pasul al IV-lea: Se inmulteste linia a doua cu si se aduna la prima linie:

(12)

Pasul al V-lea: Se inmulteste linia a treia cu -2 si se aduna la prima linie:

(13)

Pasul al VI-lea: se aduna linia a treia la a doua:

(14)

Deoarece matricea initiala a sistemului a devenit unitara, rezulta ca, pe ultima coloana s-a obtinut solutia sistemului:

(15)

Aplicatia 3.

Sa se determine matricea inversa a sistemului de la aplicatia 2, utilizand eliminarea Gauss-Jordan:

(16)

Se formeaza matricea compusa din matricea extinsa a sistemului si matricea unitara:

(17)

Pasul I: Se imparte linia intai la 2 dupa care se inmulteste cu numere astfel alese incat, prin adunarea acesteia cu linia a doua si a treia sa se obtina 0:

(18)

Pasul al doilea: Se imparte linia a doua la , dupa care se inmulteste astfel incat, prin adunarea acesteia la liniile intaia si a treia sa se obtina 0:

(19)

Pasul al treilea: Se imparte linia a treia la -4, dupa care, prin inmultirea cu un numar convenabil ales si adunarea la liniile intaia si a doua sa se obtina 0:

(20)

Obs. Se observa ca a treia coloana este solutia sistemului iar in ultimile trei coloane matricea inversa:

(21)

Aplicatia

Sa se rezolve sistemul de ecuatii liniare prin metoda iterativa Jacobi:

(22)

Se porneste rezolvarea de la solutia initiala

In prima etapa se expliciteaza necunoscutele sistemului:

(23)

Inlocuind solutia initiala, se obtine solutia aproximativa dupa prima iteratie:

(24)

Urmatoarele trei iteratii conduc la solutiile:

(25)

Dupa cea de-a patra iteratie se obtin valori apropiate de solutia exacta:

Aplicatia 5.

Sa se rezolve acelasi sistem de ecuatii liniare prin metoda Gauss-Seidel, utilizand aceeasi aproximatie initiala a solutiei:

(26)

Aplicand relatia iterativa Gauss-Seidel se obtine:

(27)

Rezulta:

(28)

Urmatoarele iteratii conduc la rezultatele:

si (29)

2. Rezolvarea sistemelor de ecuatii neliniare

Aplicatia 1.

Sa se rezolve urmatorul sistem utilizand algoritmul Newton-Raphson:

Solutia initiala aproximativa este:

Cele doua suprafete au ecuatiile:

Derivatele partiale sunt:

Notand se obtine, conform algoritmului Newton-Raphson sistemul care reprezinta planele tangente la cele doua suprafete f₁ si f₂:

Solutiile acestui sistem se determina cu relatiile:

in care:

Desfasurarea calculelor este prezentata in tabelul urmator:

Pe baza aproximarii initiale a solutiei si a celorlalte date din tabel se obtine:

Cu aceste valori se calculeaza x₁ = 1+4=5 si y₁ = 1+1=2, rezultand in continuare:

respectiv, x₂ =5-1,6=3,4 si y₂ = 2-0,33=1,67

Conform tabelului, calculele se incheie dupa cinci pasi, avand in vedere ca valorile functiilor f₁ si f₂ sunt suficient de mici.

Aplicatia 2.

Sa se rezolve urmatorul sistem utilizand algoritmul Newton-Raphson:

Se admite solutia initiala aproximativa    si se calculeaza numai valorile obtinute dupa primul pas.

Se formeaza sistemul cu necunoscutele si:

cu notatiile: .

Land ca solutie initiala pentru k = 0, sistemul devine:

deci

Acest algoritm iterativ se va continua mai multi pasi, pana se obtin valori care sa satisfaca eroarea impusa.

Obs. Pentru a se obtine mai repede o aproximare a solutiei cu o eroare mai mica, se poate determina, prin diferite metode (eliminare si sirul lui Rolle) un punct in vecinatatea caruia se afla solutia reala ce trebuie determinata. De exemplu, pentru exemplul luat se determina faptul ca sistemul admite o solutie reala in vecinatatea punctului de coordonate:

x = 0,8 si y = 0,