Geometria suprafetelor

GEOMETRIA SUPRAFETELOR

1. Ecuatiile suprafetelor

Fie D un domeniu dreptunghiular dintr-un spatiu E₂ (multimea punctelor (u,v) din E₂ pentru care a u b, c v d). Consideram o aplicatie continua a lui D in E₃

f, g, h fiind functii continue pe D.

Multimea: , se numeste suprafata.

Notam:

(1)

Ecuatia: (u,v)ID se numeste ecuatia vectoriala a suprafetei, iar

x=f(u,v), y=g(u,v), z=h(u,v), (u,v)ID

se numesc ecuatiile parametrice ale suprafetei S

Fiecarui punct (u,v)ID ii corespunde un punct determinat P al suprafetei; u si v vor fi numite coordonatele curbilinii ale punctului P si vom nota P(u,v).

Presupunem ca f, g si h sunt diferentiabile si au derivate partiale continue intr-o vecinatate a punctului M₀(u₀,v₀), iar determinantii functionali:

(2)

nu sunt toti nuli. Atunci, intr-o vecinatate U a lui M₀ se pot elimina u, v din cele trei ecuatii. In acest caz in vecinatatea U a lui M₀ suprafata poate fi reprezentata sub forma (carteziana) implicita:

F(x,y,z) = 0 (3)

Daca una din derivatele partiale ale functiei F este nenula in punctul M₀, de exemplu atunci suprafata este definita intr-o vecinatate a punctului M₀ sub forma implicita:

z=y (x,y) (4)

Un sistem de doua ecuatii:

F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0 (5)

reprezinta, in general o curba.

Definitia suprafetei are la baza ideea ca orice regiune suficient de mica dintr-o suprafata S = r(D) trebuie sa semene cu o regiune din plan. Astfel proprietatea suprafetei S = r(D) de a fi neteda este asigurata de regularitatea functiei adica de conditia ca cel putin unul din jacobienii (2) este nenul.

Proprietatea lui S = r(D) de a nu se taia pe ea insasi este asigurata de injectivitatea functiei . Pentru a asigura proprietatea ca la orice multime deschisa din plan corespunde o multime deschisa de pe S presupunem ca functia inversa r^-1: r(D) D este continua.

Definitia 1. Consideram un domeniu plan D R² si o fuctie regulata, injectiva si cu proprietatea ca functia r^-1: S = r(D) R³ este continua. Multimea S = r(D) se numeste in acest caz suprafata simpla.

Orice suprafata din R³ poate fi conceputa ca reuniune unor suprafete simple.

Fig. 1 Fig.2

Exemplu. Ecuatia vectoriala a sferei cu centrul in C(a,b,c) si de raza R este:

Ecuatiile parametrice ale aceleiasi sfere sunt:

(6)

iar ecuatia implicita a sferei este:

S : (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R².    (7)

Observatie. Conditia de regularitate a functiei

poate fi exprimata cu ajutorul derivatelor partiale ale functiei . Astfel, daca notam:

(8)

atunci conditia de regularitate (conditia ca cel putin unul din jacobienii (2) sa fie nenul) se poate scrie sub forma adica

(9)

unde , etc.

1.1. Curbe coordonate

Planul tangent si normala la suprafata

Definitia 2. Se numeste curba pe suprafata , o multime G de puncte de pe S care verifica o ecuatie de forma:

(10)

unde u(t) si v(t) sunt functii diferentiabile.

Definitia 3.

Se numeste curba coordonata de tip u pe suprafata , curba:

(11)

deci si .

Se numeste curba coordonata v pe suprafata S curba:

deci si .

Pe suprafata S=r(D) se gasesc doua familii de curbe coordonate G_u G_v care sunt imaginile prin r ale dreptelor v=v₀ respectiv u=u₀ din planul uOv. Prin orice punct regulat al suprafetei S trece cate o singura curba din fiecare din familiile (u) si (v). Vectorii viteza, in punctul regulat P₀(u₀,v₀)I S, la curbele G_u si G_v ce trec prin acest punct sunt coliniari, ceea ce am aratat la punctul (1) unde, cu notatiile (8) avem relatia (9).

Denumire. Vectorii si se numesc viteze partiale pe S=r(D) in P₀(u₀,v₀)IS

In baza relatiei (9) avem deci

Notam cu si cu planul determinat de punctul P₀(u₀,v₀) si de vectorii si , tangenti in P₀ la G_u si G_v (fig.18).

Definitia 9. Se numeste tangenta la suprafata S=r(D) in punctul M₀=r(u₀,v₀)I S o dreapta tangenta in M₀ la o curba G de pe S, care contine punctul M₀.

Fig.3

Teorema 1 Fie un domeniu D R², o functie r: D R³ diferentiabila, regulata si injectiva, un punct P₀=r(u₀,v₀) de pe suprafata S= r(D) si planul = planul (P₀,). Atunci toate tangentele la suprafata S in P₀ sunt continute in .

Demonstratie. Fie . Tangenta in , t - fixat, are vectorul director a carui expresie este:

adica (13)

functiile u(t) si v(t) fiind presupuse derivabile pe I.

Din relatia (13) rezulta ca vectorii , si sunt coplanari, adica reprezentantii lor cu originea in P se afla in planul (determinat de punctul P si vectorii necoliniari si ). Curba G ce trece prin P fiind arbitrara rezulta ca toate tangentele la G in P sunt continute in .

Fig.4 Fig.5

Definitia 4. Normala la suprafata intr-un punct al acesteia este dreapta care trece prin P si este perpendiculara pe planul tangent in P la S

Din definitia normalei si a planului tangent rezulta ca un vector normal la S in P este . In continuare ne vom referi la acest vector normal si nu la l cu lIR, care este de asemenea normal la S

Teorema 2. Daca functia r : D R³ cu D R² este diferentiabila, regulata si injectiva si suprafata S este imaginea sa, S=r(D), atunci, in orice punct P=r(u,v) planul tangent si normala la S au ecuatiile:

(14)

(15)

unde este vectorul normal la S in P.

Demonstratie.

Consideram un punct arbitrar Q din planul tangent, de vector de pozitie

fata de O. Vectorul este coplanar cu planul (fig.5) deci: , adica produsul scalar , de unde rezulta ecuatia (14). Analog, , vectorii si sunt coliniari:

Notand ca in enunt , rezulta ecuatia (15).

Observatii.

Ecuatia (14) a planului tangent se mai scrie sub forma:

(16)

sau trecand la coordonatele vectorilor:

(17)

sau inca:

(18)

Ecuatia normalei ( 5) se mai scrie:

(19)

sau tinand seama ca:

(20)

iar

(21)

3) Daca suprafata S este data explicit, S : z=z(x,y) cu (x,y)ID R² si z(x,y) derivabila partial in raport cu x si y, atunci o reprezentare parametrica a suprafetei este:

S : x=u, y=v, z=z(u,v) cu (u,v)ID

In acest caz vectorul normal in punctul curent la S este:

(22)

(notatiile lui MONGE) (23)

Ecuatiile (18) si (21) devin:

P_T: (X-x)(-p)+(Y-y)(-q)+(Z-z(x,y))

(25)

2. Campuri pe suprafete

2.1. Campuri normale

Definitia 4. O functie vectoriala care asociaza fiecarui punct MIS un vector f(M) tangent la R³ in M se numeste camp euclidian pe suprafata S

Fie , un camp vectorial pe suprafata S. Daca functiile X,Y,Z sunt diferentiabile pe S atunci campul se numeste diferentiabil.

Un camp vectorial cu proprietatea ca in fiecare punct M al suprafetei S vectorul (M) este tangent in M la S se numeste camp tangent la S

Un camp vectorial cu proprietatea ca in fiecare punct M al suprafetei S vectorul (M) este ortogonal in M la S (adica (M)in M la S) se numeste camp normal pe suprafata S

Fie S=r(D) cu r : D R³ functie diferentiabila, regulata si injectiva. Functia vectoriala:

(26)

ataseaza fiecarui punct M din D un vector normal la S in M= (fig. 20). Deci functia poate fi privita ca un camp normal definit local pe S

Daca suprafata este data implicit S : F(x,y,z)=c atunci un camp normal pe S este pus in evidenta de urmatoarea teorema.

Teorema 3 Daca S : F(x,y,z)=c este o suprafata, atunci gradientul , definit pe S este camp normal pe S care nu se anuleaza in nici un punct al suprafetei S (fig. 6).

Fig.6