UNIVERSITATEA TEHNICA DE CONSTRUCTII BUCURESTI

FACULTATEA:HIDROTEHNICA

SPECIALIZAREA:AUTOMATICA SI INFORMATICA APLICATA

MODELARE SI SIMULARE

LUCRAREA NR.2

METODE DE GENERARE A

VARIABILELOR ALEATOARE

METODE DE GENERARE A VARIABILELOR ALEATOARE

I.Metoda inversa

Enunt

Daca X,F inversabila

Algoritm:

Pasul 1: Intializare algoritmul pentru generarea uniforma pe (0,1) si a algoritmului pentru calcu;lul lui F^-1

Pasul 2: Genereaza U

Pasul 3: -Calculeaza

-Returneaza X

1.Metoda exponentiala

Enunt

xdaca are f(x)=

F(x)=

x=ln V

Daca UU(0,1) 1-UU(0,1)

Algoritm:

Pasul 1: Intrare λ

Pasul 2: Genereaza UU(0,1)

Pasul 3: x=-

Program:

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<conio.h>

#include<iostream.h>

void main()

getch();

2.Metoda Gumbel

Enunt

Metoda este folosita in stabilirea extremelor interferand variabile aleatoare ale caror functii de repatitie sunt de forma :

F(x)= pentru maxime x

F(x)=;x>0,v,k>0,pentru maxime

F(x)=

Cu schimbare de variabila y=α(x-u)F(x)=

Pentru (1) F(y)=u ln sau ln

(x-u)=-ln(-lnU)x-u=- variabila aleatoare de tip Gumbel

Pentru (2) Cu schimbarea de variabila y=kln dublu exponentiala (5) x=veFr(v,k) cu y dat de relatia anterioara y=kln

(5)

F(y)= Dublu expinetiala

Algoritm:

Pasul 1: Intrare α,u

Pasul 2: Genereaza uU(0,1)

Pasul 3: x=u-

Program:

#include<stdio.h>

#include<conio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<iostream.h>

void main()

getch();

II.Metoda compunerii

1.Metoda discreta

Enunt:

F(x)=

0 G_i sunt functii de repartitie

Algoritm:

Pasul 1: - Intrare p₁,p_k

- Initializarea algoritmilor RND, care genereaza variabilele aleatoare cu repartitia G_i pt i= calculam functia de repartitia

Pasul 2: repeta

j=0;

genereaza UU(0,1)

repeta

j=j+1;

pana cand F_j<U

X:

u

genereaza zG_j(z)

x=z

pana cand conditie oprire

Pasul 3: STOP!

Program:

#include<iostream.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<conio.h>

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

void main()

while(f[j]<u);

g=p[i];

z=(rand()%100)/99;

if(z=p[j]);

x=z;

} }

getch();

}

2.Metoda continua.Pearson XI

Enunt:

Daca Yg(y),y, iar X unde y este o realizare a lui Y atunci densitarea de reparytitie a lui x este:f(x)=

In termenii de functie de repartitie

Fie y Consideram o variabila X

X_λExp(λ)

Amestecul celor 2 legi de repartitie este x Person de tip XI

F(x)=1-

Algoritm:

Pasul 1: Initializarea algoritmilor RND, care genereaza variabilele aleatoare YG(y)

Pasul 2: repeta

genereza YG(y)

genereaza X H(x,y)

X= X

pana cand conditie oprire

Pasul 3: STOP!

Pearson:

Pasul 1: Initializarea algoritmilor RND, intrare μ

Pasul 2: repeta

genereza UU(0,1)

λ=

genereaza UU(0,1)

X=

pana cand conditie oprire

Pasul 3: STOP!

Program:

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<conio.h>

#include<iostream.h>

void main()

getch();

}

III.Metoda respingerii

Algoritm:

Pasul 1: Initializarea algoritmilor RND, care genereaza variabilele aleatoare S_i,verifica proprietatea P si calculeaza functia Ψ

Pasul 2: repeta

repeta

genereza n, variabile aleatore de tip N

pentru i= genereaza S_i

pana cand P(S₁,S₂, . ,S_n)

X=Ψ(S₁,S₂, . S_n)

pana cand conditie oprire

Pasul 3: STOP!

1.Lema

Enunt:

X si y si P(y) f(y)=0

Presupunem ca α>0 astfel incat sa avem relatia si spunem ca y poate fi generat cu calculatorul atunci daca si indepentent de y densitatea de repartitie a lui Y conditionata de este f(x) adica Y este o realizare a lui X

S=

N=2

P:

(Y,U)=Y

Algoritm:

Pasul 1: Initializarea algoritmilor RND, Y;Intrare α

Pasul 2: repeta

repeta

genereza UU(0,1)

genereza Yh(y)

pana cand

retine X=Y

pana cand conditie oprire

Pasul 3: STOP!

Program:

#include<stdio.h>

#include<conio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<iostream.h>

void main()

getch();

}

2.Metoda infasuratoarei

Enunt:

YExp(1) λ=1 (exponentiala standard)

h(x)=e^-x

h(x)=

Am determinat

Algoritm:

Pasul 1: Initializarea algoritmilor RND

Pasul 2: repeta

repeta

genereza UU(0,1)

genereza Y=-lnU

genereza UU(0,1)

pana cand

retine X=Y

pana cand conditie oprire

Pasul 3: STOP!

Program:

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<conio.h>

#include<iostream.h>

void main()

getch();

IV.METODE PARTICULARE

1.Metoda Box-Muller

Enunt:

Daca u₁ si u₂U(0,1) independente atunci Z_i=v_i, unde v_i=2u1-1

In S=v₁²+v₂²<1

Mes v₁,v₂U(-1,1),

Introducem variabila aleatoare (0,1) (Z_i(0,1)) independente i=1,2

Algoritm:

Pasul 1: Initializarea algoritmilor RND,n

Pasul 2: pentru i= executa

genereza U₁U(0,1)

genereza U₂U(0,1)

S=v₁²+v₂²

cat timp S<1

v₁=2*U₁-1;

v₂=2*U₂-1;

z₁=v₁

z₂=v₂

genereza U₁U(0,1)

v₁=2*U₁-1;

genereza U₂U(0,1)

v₂=2*U₂-1;

S=v₁²+v₂²

genereaza z₁,z₂

Pasul 3: STOP!

Program:

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<conio.h>

#include<iostream.h>

void main()

}

getch();

2.Metoda

Enunt:

χ_ν2= cu z_i(0,1) independente

Densitatea de probabilitate χ_n²

F(x)=,X>0

Algoritm:

Pasul 1: Initializarea algoritmilor RND,n

Pasul 2: pentru i= executa

genereza U₁U(0,1)

genereza U₂U(0,1)

S=v₁²+v₂²

cat timp S<1

v₁=2*U₁-1;

v₂=2*U₂-1;

z₁=v₁

z₂=v₂

genereza U₁U(0,1)

v₁=2*U₁-1;

genereza U₂U(0,1)

v₂=2*U₂-1;

S=v₁²+v₂²

genereaza variabila aleatoare χ²

Pasul 3: STOP!

Program:

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<conio.h>

#include<iostream.h>

time_t t;

int i=1,n,niu;

float v1,v2,s,z1,z2,x=0;

void Box_Muller()

z1=v1*sqrt(-2*log(s)/s);

z2=v2*sqrt(-2*log(s)/s);

void main()

if(niu%2!=0)

cout<<x<<' ';

}

getch();

}

3.Metoda Student

Enunt:

Variabila aleatoare Student cu grade de libertate este definite de relatia

t_ν=,unde z(0,1) si χ²_ν sunt independente

Algoritm:

Pasul 1: Initializarea algoritmilor RND,n

Pasul 2: Pentru i= executa

genereza z(0,1)

genereza cu HIP

t

Pasul 3: STOP!

Program:

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<conio.h>

#include<iostream.h>

time_t t;

int i=1,n,niu;

float v1,v2,s,z1,z2,X=0,T,z;

void Box_Muller()

z1=v1*sqrt(-2*log(s)/s);

z2=v2*sqrt(-2*log(s)/s);

void hi2()

if(niu%2!=0)

}

void main()

getch();

4.Metoda Fisher

Enunt:

unde sunt independente

Algoritm:

Pasul 1: Initializarea algoritmilor RND,Intrare ν₁ si ν₂, n

Pasul 2: Pentru i= executa

genereza cu HIP

F=

Pasul 3: STOP!

Program:

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<conio.h>

#include<iostream.h>

time_t t;

int i=1,n,niu1,niu2,l;

float v1,v2,s,z1,z2,X=0,F,z,x1,x2;

void Box_Muller()

z1=v1*sqrt(-2*log(s)/s);

z2=v2*sqrt(-2*log(s)/s);}

void hi2(int n, int niu)

if(niu%2!=0)

void main()

getch();

5.Metoda Geometrica

Enunt:

Metoda inversa:

F(x)=U V=1-U si Vv=q^x-1 (x-1)ln q =lnV (x+1)=

0

0

q^x+1=1-F(x)│:q

q^x=

Algoritm:

Pasul 1: Initializarea algoritmilor RND,Intrare q, n

Pasul 2: Pentru i= executa

Genereza genereza UU(0,1)

Pasul 3: STOP!

Program:

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<conio.h>

#include<iostream.h>

void main()

getch();

6.Metoda Poisson

Enunt:

P_i=P(X=i)=i=0,1,2,3,.

M[x]=λ; var[x]=λ;

Variabila aleatoare Poisson de parametru λ reprezinta numarul de evenimente rare (intrarile intr-un sistem de asteptare pe unitatea de timp)

Intervalal de timp dintre 2 sosiri consecutive este o variabila de tip exponential de x

Pentru generarea lui x generam intervalele de timp τ=intervalele de timp Exp(λ) asfel incat suma lor sa acopere intervalul de timp egal cu unitatea. Numarul j de astfel de intervale este sectiune a variabilei aleatoare de timp Poisson.

j satisface inegalitatea dubla:

astfel il gasim pe j

u_iu(0,1)

Algoritm:

Pasul 1: Initializarea algoritmilor RND,Intrare λ,n

Pasul 2: Pentru i= executa

j=-1;P=1

repeta

genereza UU(0,1)

P=P*u;

j=j+1;

pana cand P<e^-λ

retine x=j

Pasul 3: STOP!

Program:

#include<iostream.h>

#include<math.h>

#include<time.h>

#include<conio.h>

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

void main()

}

getch();