Multimi si Functii

Multimi

Multimea este o notiune primara(aceasta inseamna ca ea nu se defineste ci se scoate in evidenta prin exemple).

Exemple de multimi: totaliatatea elevilor dintro clasa,totaliattea steleleor de pe bolta cereasca,totalitatea autovehiculelor dintr-un oras totalitatea profesorilot dintr-o scoala,etc.

Dupa numearul elementelor multimile se clasifica in:

-multimi finite

-multimi infinite

Multimile finite sunt caracterizate prin faptul ca au un numar finit de elemente.

Multimile infinit se caracterizeaza prin faptul ca au un numar infinit de elemente.

Multimea care nu contine niciun element este multimea vida: O/

Vom zice ca multimea a este o submultime a multimi b daca orice element din a este si element in b.

In multimea multimilor definim urmatoarele operatii:

-intersectia,reuniunea,diferenta,produsul cartezian,

Intersectia a doua multimi este o multime.

A intersectat cu B este multimea elementelor x care se bucura de proprietatea ca x apartine lui A si x apartine lui B.

A intesectat cu B=

Reuniunea a doua multimi este o multine.

A reunit cu B este multimea elementelor x care se bucuca de proprietatea ca x apartine lui A sau x apartine lui B.

A U B=

Diferenta a doua multimi este o multime.

A minus B este multimea elementelor x care se bucura de proprietatea ca x apartine lui A si x nu apartine lui B.

AB=

Produsul cartezian a doua multimi AxB este o multime formata din perechi de elemente, unde prima componenta a perechii apartine primei multimi ,iar a doua componenta a perechii apartine multimi a doua.

Ax B=

Observatine: In general AxB diferit de BxA.

Functii

Fie A si B doua multimi.

Daca printr-un procedeu oarecare facem ca oricarui element din A sa ii corespunda un element si numai unul singur din B zicem ca am definit o functie de la A la B.

f: A->B- zicem ca am definit o functie de la A la B.

A-se numeste domeniu de definitie

B-se numeste codomeniu sau multimea in care functia i-a valori

f(x)=y -este legea de corespondenta

Observatie: O functie este bine definita cand cunoastem domeniul de definitie,codomeniu si legea de corespondenta.

Graficul fuctiei f se noateaza Gf si este o submultime a produsului cartezian AxB,unde a este domeniu de definitie ,iar B este codomeniu.

O functie se zice ca este injectiva daca la elemente distincte ale domeniului de definitie corespund imagini distincte.

O functie se zice ca este sujectiva daca orice element din codomeniu este imaginea a cel putin unui element din domeniu de definitie.

O functie injectiva si sujectiva in acelas timp se zice ca este o functie bijectiva.

Functia de gardul I

Functia de gardul I este definita pe multimea numerelor reale cu valori in multimea numerelor reale,data de legea f(x)= ax+b,unde a,b apartine lui R ,a diferit de 0.

Observatie: Din faptul ca domeniul de definitie coincide cu codomeniul si cu multimea numerelor reale,functia de gradul I este bine definita atunci cand se cunoaste legea de corespondenta.

f(x) = x -legea bisectoarei I

f(x) = -x - este bisectoarea a doua.

Atasata functiei de gardul I este ax+b=o unde a,b apartin lui R, a diferit de 0.

Functia de gardul II

Functia de gardul II este definita pe multimea numerelor reale cu valori in multimea numerelor reale,data de legea f(x)= ax²+bx+c , a,b,c apartine lui R si a diferit de 0.

Atasata functiei de gradul II este

ax²+bx+c=0 : unde a,b,c apartine lui R a diferit de 0.

Rezolvarea escuatiei de gradul II

Formula de rezolvare a ecuatiei de gardul II forma completa:

delta = b²- 4ac

Observatie: Conditia ca o ecuatie de gradul II forma completa sa admita radacini reale este ca delta sa fie mai mare sau egala cu 0.

In rezolvarea ecuatiei de gardul II forma completa ,prima etapa este aflarea lui delta.

Observatie: Daca ax c este negativ ecuatia de gardul II forma completa are totdeauna radacini reale.

S=x₁+ x₂= - b supra a

P= x₁+x₂ = c supra a

Unde S=x₁+x₂ (suma celor doua radacini ale ecuatiei) iar P este produsul celor doua radacini.

X₁²+X₂²= S²-2P

X³₁+X₂3₌ S³-3PS

Relatia de reculenta

a( x₁ⁿ+x₂ⁿ)+b(x₁^n-1+x₂^n-1)+c(x₁^n-2+x₁^n-2)=0

Semnul si natura radacinilor ecuatiei de gradul II

D > 0

P > 0 => x₁,x₂ apartin de R x₁ nui ergal cu x₂

S > 0 x₁>0 ;x₂>0

Din faptul ca D (delta) mai mare ca 0 ,ecuatia de gardul II admite doua radacini reale si distincte.

Din faptul ca P (produsul) este mai mare ca 0 ,rezulta ca radacinile ecuatiei au acelas semn.

Din faptul ca S (suma) mai mare ca 0,rezulta ca ambele radacini sunt pozitive.

D>0

P>0 => x₁,x₂ apartin lui R x₁ nu este egal cu x₂

S<0    x₁<0 x₂ <0

Din faptul ca D mai mare ca 0 ecuatia de garadul II admite doua radacini reale si distincte.

Din faptul ca P mai mare ca 0 rezulta ca radacunile ecuatie au acelas semn.

Din faptul ca suma negativa amblele radacini sunt negative.

D>0

P<0    => x₁,x₂ apartin lui R x₁ diferit de x₂

S>0    x₁<0 x₂>0

|x₂|>|x₁|

Din faptul ca D mai mare ca 0 ecuatia admite doua radacini reale si distincte.

Din faptul ca P mai mic ca 0 rrezulta ca radacinile sunt de semn contrar.

Din faptul ca S mai mare ca 0 rezulta ca radacina pozitiva in valoare absoluta este mai mare decat radacina negativa in valoare absoluta.

D > 0 x₁,x₂ apartin lui R x₁ diferit de x₂

P<0    => x₁<0 x₂>0

S=0    |x₁| = |x₂|

Din faptul ca D mai mare ca 0 ecuatia admite doua radacini reale si distincte.

Din faptul ca P mai mic ca 0 rezulta ca radacinile sunt de semn contrar .

Din faptul ca S egal cu 0 rezulta ca radacinile sunt egale in valoare absoluta.

D>0    x₁,x₂ apartin lui R x₁ diferit de x

P<0 => x₁<0 x₂>0

S<0    |x₁|>|x₂|

Din faptul ca D mai mare ca 0 ecuatia admite doua radacini reale si distincte.

Din faptul ca P mai mic ca 0 rezulta ca radacinile sunt de semn contrar.

Din faptul ca S mai mica ca 0 rezulta ca radacina negativa in valoare absoluta este mai mare decat radacina pozitiva in valoare absoluta.

D>0

P=0    x₁, x₂ apartine lui R x₁diferit de x₂

S>0    x₁=0 ; x₂>0

Din faptul ca D mai mare ca 0 ecuatia admite doua radacini reale si distincte.

Din faptul ca P egal cu 0 ,rezulta ca cel putin o radacina este 0.

Din faptul ca S mai mare ca 0 rezulta ca a doua doua radacina este mai mare ca 0.

D>0

P=0 => x₁, x₂ apartine lui R , x₁ diferit de x₂

S<0    x₁=0 x₂<0

Din faptul ca D mai mare ca 0,ecuatia admite doua radacini reale si distincte.

Din faptul ca P egal cu 0 rezulta ca cel puntin o radacina este egala cu 0.

Din faptul ca S mai mica ca 0,rezulta ca cealalta radacina este negativa.

D=0

P>0    => x₁,x₂ apartine lui R x₁=x₂

S>0    x₁=x₂= -b supra 2a >0

Din faptul ca D egal cu 0 ,ecuatia adimite doua radacini reale si egale.

Automat vom avea produsul mai mare ca 0.

Din faptul ca S mai mare ca 0 radacinile sunt positive.

D=0

P>0    => x₁,x₂ apartin lui R x₁=x₂

S<0    x₁=x₂= -b supra 2 a <0

Din faptul ca D egal cu 0,ecuatia admite doua radacini reale si egale.

Automat vom avea produsul mai mare ca 0.

Din faptul ca S negativa ambele radacini sunt negative.

D<0 => x₁,x₂ nu apartine lui R.

Semnul functiei de gardul I

f(x)=ax+b a,b apartine lui R a diferit de 0

ax+b=0 => x= -b supra a

Semnul funtiei de gardul I este de la minus infinit la radacina atasata functiei avem semn contar lui a,iar de la radacina atasata functiei la plus infinit semnul lui a.

Semnul functiei de gardul II

Daca D mai mare ca 0 atasata functiei de gradul II adminte doua radacini reale si distincte.

Intre radacini vom avea semn contrar lui a ,iar in afara radacinilor vom avea semnul lui a.