 |
|
 |  |
|
|
| |
 | Biologie | Chimie | Didactica | Fizica | Geografie | Informatica |
| Istorie | Literatura | Matematica | Psihologie |
a)simpla b)cu pivotare partiala c)cu pivotare completa
Factorizarea
LU
-triangularizarea matriciala prin eliminare gaussiana
a)L
. .L
A=U
b)LP . LPA=U
c) LP . LPAR . .R=U
Rezultat de stabilitate numerica a triangularizarii
(similar cu factorizarea LU)prin eliminare gaussiana cu
pivotare partiala.
P
-alg. de triang.
A+E=AC A
U
L= LP . LP
U
L
=LP . LP
P-sau de factorizare executabil pe un
calculator numeric
A-identica cu calculul unui numar cu un
numar infinit de zecimale
Rezultatul care se realizeaza
demonstreaza ca suma matricii de perturbatie E
este mai mica decat factorul fi.
K=1 U=1
|| E ||
|
A
||=||L
P
A
||
fi(n)=an
+bn+cn+d
Tehnica de
programare inapoi a erorii de trunchiere(erori de
reprezentari in virgula mobila)furnizeaza o imagine a matricii de perturbatie
care depinde de dimensiune si natura datelor de intrare,dar si de norma unor
rezultate partiale(
)
-la triangularizarea matricilor de reflexive:
||E|| A
(Q+E
)(Q+E)=R
|| E ||
|| E ||
fi(n)=an+bn+c
Daca matricea de
intrare este prost conditionata (X
(A)=||A||*||A
||) sau este mare,se spune ca matricea A este conditionata 
( / )
matricea de
perturbatie E sa aiba o norma mai mare decat cea de matrice EA=A+E nu este usoara perturbatie a lui Aalg. de triangularizare prin eliminare gaussiana cu pivotare partiala poate deveni numeric
instabil vis-à-vis de alg. de triangularizare prin transformari ortogonale de
reflexie (QR) care pentru aceeasi data de intrare este numeric stabil.In
general,alg. de eliminare gaussiana prezinta o stabilitate numerica decat alg.
orthogonal.Deci,implicatiile si raspunsul sistemului si procesare a semnalelor
sunt bazate in algoritm de factorizare QR.
Marginea matricii de perturbatie are o dependenta cubica fata de dimensiune si o dependenta intrinseca de algoritm.
Triangularizarea
prin eliminare gaussiana cu pivotare in-situ se bazeaza pe faptul ca daca
aplicam L
lui A
unde L este matricea de
triangularizare la pasul curent.
a a -
=
=
Rezulta matricea in care si coloana k are sub coloana principala zero.
<lin
L/col
A> 0 . . 0- . .0 . . . . . .0
=a
Primele k-1 elemente sunt nemodificate.
Efectul aplicarii transformarii gaussiene asupra matricii A este urmatorul:
a)primele k-1 raman neschimbate;
b)coloana k se modifica prin
introducerea 0 de la k+1
;
a
c)sunt afectate numai coloanele din
spatele coloanei k si acelea de la linia k+1
/a
n cu relatia:
k+1
a
=a
- ,deci matricea de la pasul k
a a n
A
=
AA=PA
A
linia linia
A
A
a
a
a a
a a
Program Matlab pentru triangularizarea prin eliminare gaussiana in-situ
Factorizarea LU bazata pe eliminare gaussiana
-se face numai cu matrice patrata
A
L U
L-inf
,U-sup a.i. A=LU=
a) l
=1,i=
factorizarea Doolitle
A=
b)factorizarea
cont U=1, i=
-simetrica A=A -factoriz. Cholesky x
*A*x>0 
||x||
A= 
c)A-pozitiv definite
A=U*U=
U=sup
Factorizarea LU se obtine din rezolvarea unor sisteme de ecuatii liniare si nu din triangularizarea prin eliminare gaussiana cu pivotare.
De regula,inversarea natriceala este o implicatie a factorizarii matriceale.In Matlab inv(a)-alg. de inversare se face pe baza factorize.QR.
a)factorizarea Doolitle
-se obtine si din eliminaregaussiana cu pivotare partiala:
LP . LPA=U
A
=PA
A=LA
L L
) . . L
-se bazeaza pe triangularizarea gaussiana fara pivotare:
L= L=L . .L
L
inf si L
inf l
=1
k=
=
=L
Inversa in-situ a
unei matrici superior
U
R
= 
i= 
V sup a.i. UV=VU=I
U=
=
U=
UcolV=
=colI=
, i=
j=
Uv+
i= , j=
U
)/ U
Program Matlab pentru inverse unei matrici sup in-situ
Program Matlab pentru factorizarea Doolitle
La factorizarea Doolitle
PA=LU
(P . (P))) (L) . (L))U
Factorizarea CROUT
a)A=LU=
corespondentul triangularizarii prin eliminare gaussiana fara
ppivotare si care se obtine rezolvand sistemul de ecuatii liniare:-1)cu LU
separate
-2)in-situ(in matricea A)
a
=
a=<linL/colU>=
<linL/colU>=a
,unde k=si j=
,unde k= si j=
Program Matlab pentru factorizarea U(Crout cu L si U separate)
2)Factorizarea Crout in-situ: A=
b)Factorizarea Crout cu pivotare partiala
PA=LU
P . .PA=
Pivotarea se face dupa ce se calculeaza coloana k din l.
Rezultate de stabilitate numerica =este sa se faca permutarea de linii din A inainte de a se calcula matricea L.
Program Matlab pentru factorizarea Crout pentru L si U separate si pivotare partiala
3.Factorizarea Cholesky A pozitiv definita
A=
A=A
,unde
k=
si j=
U
=
Program Matlab pentru factorizarea Cholesky
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate
