A doua forma fundamentala a unei suprafete

A doua forma fundamentala a unei suprafete

Versorul normalei la suprafata intr-un punct al ei

Consideram o suprafata definita prin ecuatii parametrice, exprimate sub forma vectoriala:

si un punct al suprafetei al carui vector de pozitie este .

Normala la suprafata in punctul este normala planului tangent la suprafata in acest punct, plan care contine vectorii . Asadar, un vector care are directia normalei la suprafata este produsul lor vectorial. Versorul acestui vector este:

. (4.34)

Pe de alta parte, folosind formula lui Lagrange pentru lungimea produsului vectorial a doi vectori, obtinem:

.

Asadar aceasta lungime se exprima cu ajutorul coeficientilor primei forme fundamentale, iar formula (4.34) devine:

. (4.35)

Centrul de curbura al unei curbe situate pe suprafata si trecand
prin punctul P₀

Fie Γ o astfel de curba. Ea este obtinuta dintr-o curba γ situata in domeniul D, definita prin ecuatiile parametrice: , astfel incat: . Pe curba Γ consideram parametrul natural s, care, dupa cum se stie, pentru orice punct P al curbei, reprezinta lungimea arcului curbei Γ de la un punct fixat al curbei la punctul P.

Asadar, pentru orice punct P al curbei Γ, vectorul sau de pozitie poate fi exprimat fie in functie de parametrul t, fie in functie de parametrul natural s:

.

Relatia dintre parametrii t si s este data de formula (4.31), si anume:

, (4.36)

din care se vede si faptul ca functia , avand derivata pozitiva, este inversabila. (Asumam ipoteza ca derivatele nu sunt amandoua nule si, in plus, ne intereseaza relatia dintre t si s numai intr-o vecinatate suficient de mica a lui .)

Ca urmare, coordonatele curbilinii u si v ale punctelor de pe curba Γ pot fi considerate atat ca functii depinzand de t, cat si ca functii depinzand de s. Deci, asa cum , vom avea .

Prima formula a lui Frenét aplicata curbei Γ se scrie astfel:

, (4.37)

in care R este raza de curbura, iar este versorul normalei principale a curbei Γ intr-un punct oarecare al acestei curbe.

Sa consideram relatia (4.37) aplicata punctului si sa notam C punctul definit prin vectorul sau de pozitie:

. (4.38)

Punctul C se numeste centrul de curbura al curbei Γ in punctul . In cazul cand Γ este o curba plana, punctul C este chiar centrul cercului osculator al curbei in .

Teorema lui Meusnier

Sa inmultim scalar ambii membri ai relatiei (4.37) cu versorul normalei la suprafata in punctul . Membrul drept devine:

. (4.39)

Pentru calcularea membrului stang tinem seama ca si . Pe de alta parte, se poate exprima ca raportul dintre diferentiala de ordinul doi a functiei vectoriale cand punctul P se deplaseaza pe curba Γ si patratul diferentialei ds a lungimii arcului de curba. Din formula (4.36), acesta din urma este:

, (4.40)

in care diferentialele du si dv se pot exprima fie folosind dependenta de s, fie dependenta de t a functiilor u si v cand punctul P se deplaseaza pe curba Γ in apropierea lui . Avem in vedere folosirea dependentei de t a acestor functii.

La fel in ceea ce priveste diferentiala de ordinul doi a vectorului de pozitie a punctului P:

(4.41)

Ca urmare

unde am notat:

(4.42)

(4.43)

(4.44)

Tinand seama de (4.38) si (4.42), din formula (4.37) rezulta:

, (4.45)

formula cunoscuta sub numele de teorema lui Meusnier.

Numaratorul fractiei din membrul drept al relatiei (4.45), care este o forma patratica in du si dv, notata

, (4.46)

se numeste a doua forma fundamentala a suprafetei.

Consecintele teoremei lui Meusnier

I. Fie doua curbe situate pe suprafata , trecand prin si avand aceeasi tangenta in acest punct. Daca si sunt razele de curbura si versorii normalelor principale ale celor doua curbe in , atunci:

. (4.47)

Pentru a demonstra aceasta afirmatie, sa observam mai intai ca, in membrul drept din relatia (4.45), coeficientii E, F, G, L, M, N depind numai de valorile ale coordonatelor curbilinii ale punctului , deci sunt aceleasi pentru toate curbele ce trec prin , fie ca sunt sau nu tangente in acest punct.

Membrul drept din (4.45) mai depinde si de diferentialele du si dv ale coordonatelor curbilinii in cand punctul P se deplaseaza pe curba considerata pornind din . Notand cu functiile ce definesc curba si functiile ce definesc curba , vectorii tangenti la cele doua curbe sunt:

Daca acesti doi vectori au aceeasi directie, atunci exista un numar α, astfel incat: . Ca urmare,

(4.48)

II. Fie doua curbe situate pe suprafata si tangente in P₀. Presupunem, in plus, ca pentru cele doua curbe a doua forma fundamentala este nenula in . In aceste conditii, daca cele doua curbe au acelasi plan osculator
in , atunci razele lor de curbura in acest punct sunt egale.

Intr-adevar, daca cele doua curbe au acelasi plan osculator, atunci versorii normalelor principale ale celor doua curbe coincid in punctul , si astfel
relatia (4.47) devine:

, (4.49)

in care, in ipoteza asumata, tinand seama de (4.48), ambii membri sunt nenuli. Rezulta atunci:

.

Din clasa curbelor tangente in , avand acelasi plan osculator in acest punct (toate aceste curbe avand aceeasi curbura) notam cu Γ sectiunea suprafetei cu acest plan osculator.

Fie raza de curbura, versorul normalei principale si centrul de curbura al curbei Γ si, corespunzator, pentru sectiunea "normala" a suprafetei cu planul determinat de normala la suprafata si tangenta la curba Γ in . Formula (4.47), aplicata curbelor tangente , devine:

. (4.50)

Evident ca pentru curba plana normala principala este acea perpendiculara pe tangenta care se afla in acest plan, deci coincide cu normala la suprafata in . Ca urmare , semnul fiind pozitiv sau negativ dupa cum normala la suprafata este indreptata catre centrul de curbura al curbei sau in sensul opus. Relatia (4.50) devine:

. (4.51)

Tinand seama de definitia centrului de curbura, din care rezulta: , relatia obtinuta, (4.51), are urmatoarea interpretare geometrica.

III. Centrul de curbura C al curbei Γ este proiectia in planul acestei curbe a centrului de curbura C_n al sectiunii normale . Ca urmare, dintre toate curbele situate pe suprafata, avand aceeasi tangenta, sectiunea normala are raza de curbura cea mai mare.   

Observatie

Pentru a face o sinteza a continutului si a consecintelor teoremei lui Meusnier, sa ne amintim ca punctul de plecare l-a constituit raza de curbura a unei curbe Γ, situate pe suprafata si trecand prin punctul fixat al acestei suprafete. Tangenta acestei curbe in defineste o directie in planul tangent, data de o dreapta d in acest plan. Un prim rezultat a fost ca toate curbele care au nu numai aceeasi tangenta, dar si acelasi plan osculator au aceeasi raza de curbura. Aceasta ne-a condus la concluzia ca, pentru a afla curbura unei curbe, este suficient sa consideram sectiunea plana care are acelasi plan osculator cu curba respectiva. Cu alte cuvinte, pentru a studia razele de curbura ale curbelor care admit aceeasi tangenta d in , este suficient sa consideram sectiunile suprafetei cu plane ce contin dreapta d. Este vorba de un fascicul de plane. Ultima consecinta exprima faptul ca, pentru fiecare dintre planele fasciculului, centrul de curbura al sectiunii plane corespunzatoare se obtine proiectand, in acest plan, centrul de curbura al uneia dintre aceste sectiuni, si anume sectiunea normala. Asadar, curburile sectiunilor suprafetei prin plane ce contin punctul se deduc din curburile sectiunilor normale, adica acelea obtinute prin plane ce contin normala la suprafata in punctul . In continuare vom studia tocmai aceste sectiuni.

Directii asimptotice in planul tangent la suprafata in punctul

In consecintele II si III am exclus cazul cand, pentru curbele considerate, forma a doua fundamentala este nula. Sa ne indreptam acum atentia asupra acestui caz.

Mai intai sa remarcam ca, pentru o curba Γ trecand prin , care este definita de ecuatiile: , forma a doua fundamentala este nula daca si numai daca este nula pentru orice alta curba care are aceeasi tangenta cu Γ. Intr-adevar, daca sunt ecuatiile curbei , aceasta avand aceeasi tangenta cu Γ, inseamna ca exista un numar , astfel incat: si deci:

(Reamintim ca numerele L, M, N depind numai de si de , deci sunt aceleasi pentru cele doua curbe.)

Relatia (4.45), aplicata curbei Γ, devine:

. (4.52)

Daca excludem cazul cand planul osculator al curbei Γ este chiar planul tangent la suprafata, rezulta si deci .

Asadar toate curbele care au aceeasi tangenta d, ca si curba Γ, au curbura egala cu zero, adica raza de curbura este infinita. Dupa cum am remarcat, aceasta este o caracteristica a dreptei d din planul tangent. Prin definitie, directiile din planul tangent pentru care curbura este nula se numesc directii asimptotice. Directiile asimptotice ale suprafetei in punctul se obtin astfel: presupunem si notam .

Impartind egalitatea cu , aceasta devine:

, (4.53)

care este o ecuatie de gradul doi in m. Daca este o radacina reala a ecuatiei, atunci curba definita prin: are drept tangenta o dreapta asimptotica.

Dupa cum ecuatia (4.53) are radacinile reale si distincte, reale si egale sau complex conjugate, suprafata are, in punctul , doua directii asimptotice, una singura sau nici una.