Notiuni generale despre multimi, operatii cu multimi

Notiuni generale despre multimi, operatii cu multimi

Notiunea de multime este adoptata in sensul comun al termenului; termeni sinonimi fiind: colectie, grupare de obiecte. O multime este descrisa fie prin indicarea sau enumerarea obiectelor sale fie printr-o proprietate comuna a acestora. Multimile se noteaza in general cu litere mari: A, B, ., N, .R,X, Z, etc. Un obiect generic al multimii il vom numi in mod uzual element al multimii. Elementele unei multimi sunt notate in general prin litere mici: a, b, c,...x, y, z, etc. sau alte simboluri carora li s-a acordat un sens sau semnificatie. De exemplu: 0, 1, 2, .9 -cifre.

Daca o multime este descrisa prin enumerarea elementelor sale atunci ea se noteaza cu litera mare urmata de enumerarea elementelor sale intre acolade, astfel

A =

Daca o multime este descrisa printr-o proprietate comuna a elementelor sale atunci ea se noteaza cu litera mare urmata de enuntul proprietatii comune, astfel

B =    

Simbolul " desemneaza relatia de apartenenta a unui element la o multime. Elementul x A daca si numai daca x este un element al multimii A. Relatia duala este "" si enuntul z B semnifica faptul ca elementul z nu apartine multimii B.

Definitie: Multimea fara nici un element o vom numi multimea vida si o vom nota cu simbolul Ř.

Definitie: Despre doua multimi A, B spunem ca coincid sau sunt egale daca orice element al multimii A apartine multimii B si reciproc. Altfel spus multimile A, B sunt constituite exact din aceleasi elemente.

Notatie: A = B si

Definitie: Despre multimea A spunem ca este parte sau submultime a multimii B daca orice element din A se gaseste in B.

Notatie: AB

Observatie: Devine evident faptul ca relatia A = B AB si BA

Definitie: Fiind date multimile A, B prin intersectia acestora intelegem multimea formata doar din elementele comune. Aceasta multime se noteaza cu:

AB =

Utilizand o diagrama Venn Euler intersectia a doua multimi poate fi reprezentata astfel:

Definitie: Fiind date multimile A, B prin reuniunea sau reunirea acestora intelegem multimea formata din elementele necomune si comune, cele comune fiind luate o singura data. Aceasta multime se noteaza cu:

AB =

Utilizand o diagrama Venn Euler reuniunea a doua multimi poate fi reprezentata astfel:

AB

Definitie: Fiind date multimile A, B prin multimea diferenta A - B intelegem multimea formata doar din elementele multimii A necomune multimii B.

Aceasta multime se noteaza cu: A - B = .

In mod asemanator se defineste si multimea B - A =

Utilizand o diagrama Venn Euler diferenta multimilor A - B si B - A poate fi reprezentata astfel:

AB

A B

Devin evidente relatiile : AB= (A-B) ( AB) (B-A)= A(B-A)=B(A-B)

Sau: A = (A-B) ( AB) si B = ( AB) (B-A)

Definitie: Fiind date multimile A si B intelegem prin multimea produs cartezian AB multimea tuturor perechilor ordonate (x,y) cu xA si yB.

Astfel: AB = .

Observatie: AB BA

Exemplu: Daca A= ; B= atunci: AB = si BA = Intr-un sistem cartezian de axe diferenta devine evidenta: