Calculul probabilitatilor conditionate

Calculul probabilitatilor conditionate

1. Obiectivele lucrarii

Insusirea principalelor definitii si teoreme utilizate in calculul probabilitatilor conditionate, a domeniilor de aplicabilitate ale acestor notiuni si a principalelor tipuri de probleme rezolvabile cu ajutorul acestora.

Identificarea unor variabile aleatoare interdependente din cadrul unui sistem de productie, definirea unor relatii de legatura intre repartitiile acestora si studierea unei probleme de decizie cu luarea in considerare a variabilelor respective.

2. Notiuni teoretice

Probabilitatile conditionate reprezinta un instrument de studiu al evenimentelor stochastice (aleatoare) ce permite, intr-o oarecare masura, luarea in considerare a interactiunilor externe ce conduc la aparitia unui eveniment precum si a modului de variatie in timp a valorilor ce determina evenimentul.

Astfel, daca se urmaresc valorile unei variabile aleatoare dintr-un proces pe durata unui anumit interval de timp, este evident ca aparitia unei anumite valori la un moment dat nu reprezinta un fenomen independent ci este determinata de evolutia anterioara a procesului. Faptul nu poate fi surprins prin utilizarea probabilitatilor algebrice 'clasice', acestea fiind deduse pe baza unor calcule ce nu tin seama de istoricul variabilei aleatoare.

Definitie: Fiind date doua evenimente A si B, se numeste probabilitatea evenimentului A conditionat de evenimentul B si se noteaza

probabilitatea ca evenimentul A sa fie indeplinit atunci cand se stie ca evenimentul B a avut loc. In relatia (3.1), valoarea reprezinta probabilitatea ca evenimentele A si B sa aiba loc simultan.

2.1. Teorema lui Bayes

Fiind date evenimentele A₁, A₂, . , A_k, mutual exclusive si exhaustive, si evenimentul B aflat in dependenta cu acestea, se poate demonstra expresia

Observatie: Teorema lui Bayes reprezinta un prim mijloc de a determina probabilitatea unui eveniment A_i (componenta a unei repartitii) in situatia in care se stie ca aparitia acestuia este influentata de indeplinirea unui alt eveniment independent B.

Prin multime de evenimente mutual exclusive si exhaustive se inteleg acele evenimente care satisfac urmatoarele conditii:

oricare ar fi doua evenimente din multimea respectiva, acestea nu pot avea loc simultan (exclusivitate);

cu evenimentele din multime se pot descrie toate starile in care se afla sistemul la care aceste evenimente fac referire (exhaustivitate).

In relatia (3.2), expresia nu trebuie considerata in sensul probabilitatii de aparitie a evenimentului B atunci cand se cunoaste ca evenimentul A_i a avut loc (conform expresiei (3.1)), deoarece estimarea evenimentului B este anterioara estimarii lui A_i. Interpretarea corecta a acestei expresii din cadrul teoremei lui Bayes este de probabilitate ca evenimentul B sa fi avut deja loc stiind ca aparitia sa a fost urmata de aparitia evenimentului A_i.

2.2 Teorema lui Bayes pentru functia de probabilitate posterioara a unui parametru

Daca parametrul W poate lua valorile w₁, w₂, . , w_k, cu repartitia

si X este o variabila aleatoare observabila, atunci

unde reprezinta repartitia variabilei aleatoare X atunci cand W = w₁.

Observatie: Aceasta a doua teorema a lui Bayes reprezinta o extindere a celei anterioare. Influenta parametrului B asupra probabilitatilor de aparitie ale unor evenimente A_i este in acest caz inlocuita cu influenta unei variabile aleatoare X asupra formei repartitiei unei alte variabile aleatoare W, ce depinde de aceasta.

2.3. Alegerea unei decizii folosind probabilitatile conditionate

Daca W = reprezinta multimea starilor pe care le poate lua un sistem studiat, g(w_i) = Pr(W = w_i) probabilitatile de aparitie ale acestor stari, multimea deciziilor ce pot fi luate cu referire la sistem, iar L(w_i, d_j) o functie reprezentand pierderea in cazul aparitiei starii w_i dupa luarea deciziei d_j, atunci riscul unei decizii d_j este

In cazul existentei unei variabile aleatoare observabile X, avand repartitia , relatia anterioara devine

Observatie: Utilizand teoremele anterioare, metoda permite ajustarea datelor initiale (de natura probabilistica) din cadrul unei probleme de decizie prin luarea in considerare a modului in care repartitiile acestora sunt influentate de valoarea unei variabile aleatoare X aflata in interdependenta cu datele respective.

3. Exemple de calcul

3.1. Calculul probabilitatilor conditionate

Fie, la momentul t₀, urmatoarele probabilitati de realizare a combinatiilor evenimentelor A si B (tabelul 3.1):

Tabelul 3.1

Daca la un moment t₁ > t₀ are loc evenimentul B, probabilitatea ca la un moment t₂ > t₁ sa aiba loc evenimentul A este, conform relatiei (3.1)

Daca la momentul t₁ evenimentul B nu ar fi avut loc, atunci in relatia (3.7) acesta poate fi inlocuit cu negatia sa iar probabilitatea ca evenimentul A sa aiba loc la momentul t₂ devine

Se observa ca, daca luarea in considerare a evenimentului A ca eveniment independent ar oferi intotdeauna o probabilitate de aparitie a acestuia Pr(A) = 0,7, atunci cand se utilizeaza probabilitatile conditionate se constata ca probabilitatea de aparitie a evenimentului A depinde de faptul ca evenimentul B a avut sau nu loc la un moment anterior, avand valoarea Pr(A) = 0,75 in cazul afirmativ si valoarea Pr(A) = 0,6(7) in caz contrar.

3.2. Aplicarea teoremei lui Bayes

Cunoscand probabilitatile de aparitie ale evenimentelor mutual exclusive si exhaustive A₁, A₂ si A₃, precum si probabilitatile de aparitie ale evenimentului B, dependent de acestea

se pot determina, conform relatiei (3.2), probabilitatile de aparitie ale evenimentelor A₁, A₂ si A₃ in situatia in care evenimentul B a avut deja loc:

Se observa ca luarea in considerare a interdependentelor dintre evenimente influenteaza probabilitatile de aparitie a evenimentelor A_i, crescand probabilitatea acelui eveniment (A₁) pentru care, in situatia in care a aparut, probabilitatea ca evenimentul B sa fi fost indeplinit la un moment de timp anterior are valoarea cea mai mare (). Evident, cele trei evenimente A_i fiind exhaustive (suma probabilitatilor lor este unitara), probabilitatile celorlalte doua evenimente scad in momentul in care se cunoaste ca evenimentul B a avut loc.

3.3. Aplicarea teoremei lui Bayes pentru calculul functiei de probabilitate posterioara

Productivitatea W a unei masini - unelte poate lua valorile

Repartitia dimensiunii X a pieselor prelucrate variaza cu productivitatea masinii - unelte (productivitatea crescuta se reflecta intr-o prelucrare mai putin ingrijita, deci intr-un domeniu mai extins de variatie a dimensiunilor pieselor) astfel:

La un moment dat, masurand ultima piesa prelucrata, se constata ca dimensiunea X a acesteia are valoare 7,92 mm. Se pune intrebarea: care este la acel moment cea mai probabila valoare a productivitatii W a masinii - unelte

Se calculeaza, utilizand relatia (3.4), probabilitatea de aparitie a fiecareia dintre cele trei valori posibile ale productivitatii masinii - unelte, in situatia in care se cunoaste valoarea variabilei aletoare X

Rezulta ca cea mai probabila valoare a productivitatii masinii - unelte este de 24 buc ora.

3.4. Alegerea unei decizii folosind probabilitatile conditionate

Folosind datele initiale ale exemplului anterior, se presupune ca, la inceputul unei zile de lucru, trebuie luata decizia de a aplica sau nu masinii - unelte respective un reglaj pentru cresterea productivitatii. Reglajul dureaza 0,5 ore si aduce masina - unealta in starea cu productivitatea w = 26 buc/ora. Cantitatile prelucrate in ziua respectiva, pentru fiecare stare si pentru fiecare decizie, vor fi cele din tabelul 3.2.

Tabelul 3.2

Evident, pierderile L(w_i, d_j) calculate in raport cu starea de productivitate cea mai probabila, exprimate in buc / zi, vor fi cele din tabelul 3.3.

Tabelul 3.3

Riscurile celor doua decizii, determinate cu relatia (3.5), vor fi:

Rezulta ca solutia cea mai putin riscanta este aceea de a nu efectua reglajul.

Daca decizia de reglare a masinii - unelte este luata dupa masurarea dimensiunii X a primei piese prelucrate, presupunand ca prin masurare s-a obtinut valoarea X = 7,92, valorile riscurilor celor doua decizii se modifica, datorita modificarii valorilor probabilitatilor

Presupunand ca reglarea masinii - unelte poate incepe la o ora dupa inceperea zilei de lucru, cantitatile prelucrate si pierderile L(w_i, d_j) devin cele din tabelul 3.4.

Tabelul 3.4

Noile valori ale riscurilor, determinate de aceasta data cu relatia (3.6), vor fi

Se observa ca, desi decizia cea mai putin riscanta a ramas aceea de a nu efectua reglajul masinii - unelte, valorile riscurilor celor doua decizii s-au apropiat. Dupa masurarea mai multor piese prelucrate, probabilitatile posterioare ale celor trei valori posibile ale productivitatii se pot modifica astfel incat sa devina mai putin riscanta decizia efectuarii reglajului.

4. Enuntul problemei

Observatie: Spre deosebire de celelalte lucrari, de aceasta data este necesar ca enuntul problemei sa fie partial construit chiar de catre student. Corectitudinea rezultatelor aplicarii calculelor probabilitatilor conditionate depinde in primul rand de justetea cu care sunt apreciate interdependentele dintre mai multe variabile aleatoare din cadrul aceluiasi proces. Din aceasta cauza, se considera utila cerinta de a solicita studentului sa reflecteze asupra unor posibile fenomene dintr-un sistem de productie si sa exemplifice variabilele aleatoare reale ale caror comportari sunt adecvate tratarii cu metodele descrise in prezenta lucrare.

Sa se identifice, in cadrul unui sistem de productie, o variabila a carei valoare urmeaza o lege de distributie statistica si sa se evidentieze posibilele cauze ce pot influenta marimea variabilei aleatoare respective;

Sa se propuna un interval de variatie si o expresie matematica pentru densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare studiate, verificand conditia ca aria de sub graficul functiei respective sa aiba valoare unitara;

Sa se evidentieze o alta variabila, din cadrul aceluiasi sistem de productie, a carei densitate de probabilitate sa depinda de marimea variabilei aletoare identificata anterior si sa se justifice cauzele ce conduc la dependenta dintre cele doua marimi;

Sa se propuna expresii matematice pentru densitatea de probabilitate a celei de a doua variabile aleatoare, in functie de valoarea variabilei initiale

Sa se defineasca minimum doua variante de decizie, sa se determine expresiile si valorile unei functii de pierdere pentru variantele de decizie respective si sa se calculeze riscurile celor doua variante de decizie inainte de o presupusa determinare a marimii celei de a doua variabile aleatoare;

Sa se recalculeze valorile functiei de pierdere si cele ale riscurilor deciziilor dupa una, doua si trei astfel de determinari ale marimii celei de a doua variabile aleatoare si sa se discute eventualele schimbari ale deciziei celei mai putin riscante.

Observatie: Spre deosebire de exemplul numeric prezentat in subcapitolul 3.4, in care marimile ce interveneau lua doar valori discrete, in problema enuntata mai sus se cere ca variabilele aleatoare ce vor fi luate in considerare sa fie definite pe un interval de variatie continuu (pentru aceasta s-a utilizat termenul de densitate de probabilitate in locul celui de repartitie).