GRUPURI FINITE

GRUPURI FINITE

Definitie.Fie (G,.) un grup.Grupul (G,.) se numeste grup finit daca multimea G este finita.

Daca G=numarul

2. Ordinul unui element intr-un grup

Fie (G,∙) un grup si a

Definitie. Se numeste ordin al elementului a si se noteaza ord(a) , ordinul subgrupului <a>.

Un element a

Definitie. Un grup G se numeste ciclic daca exista aє astfel incat G=<a>(adica toate elementele sale sunt puteri ale unui anumit element aєG). Elementul a se numeste generator al grupului ciclic G.

Propozitie .

3.Teoreme remarcabile in teoria grupurilor finite

Fie (G,∙) un grup si H un subgrup al lui G. Pentru x€G , notam

Observatie . rezultatul anterior ne arata ca , daca H este un subgrup al grupului (G,∙) , multimea paote fi partionata in submultimi cu acelasi numar de elemente de forma xH cu x element din G .

Teorema lui Lagrange

Fie (G,∙) un grup finit si n = ord(G).

a)      Daca H este un subgrup al lui G , atunci ord(H)|ord(G).

b)      Daca aєG, atunci ord(a)| ord(G).

Demonstratie . a) Grupul G , avand ordinul n , poate fi scris sub forma

Probleme rezolvate

1). Fie (G,∙) un grup finit cu ord(G)=p. Sa se arate ca daca p este un numar prim , atunci G nu are subgrupuri proprii.

Solutie .

2. Sa se arate ca toate grupurile care au ordinul un numar prim sunt izomorfe.

Solutie. Fie (G,∙) un grup de ordin p. Deoarece p este numar prim , grupul G are doar subgrupuri improprii.

Obs. Din problemele anterioare rezulta ce grupurile cu 2,3,4,5 elemente sunt comutative fiind izomorfe cu Z₂, Z₃ ,Z₄ , Z₅ sau K deci sunt commutative.

4. Sa se arate ca (Z₄,+) si (Z₉,+) au un singur subgrup propriu .

5. Fie (G,∙) un grup finit necomutativ de ordin n . Sa se arate ca nu exista x є G astfel incat ord(x)=n.

Demonstratie . Folosim metoda reducerii la absurd. Presupunem ca exista xє G astfel incat ord(x)=n.

Atunci G=<x> si G este comutativ. Contradictie. Rezulta ca presupunerea facuta este falsa, deci G este grup necomutativ.

7. Grupuri de ordinul 6. Grupurile (Z₆,+) si (S₃,o) sunt grupuri de ordinul 6 si nu sunt izomorfe deoarece Z₆ este abelian si S₃ nu este abelian. Vom demonstra ca orice grup G de ordinul 6 este izomorf cu Z₆ sau cu S₃