Monotonia unei functii

Monotonia unei functii.

Teorema: Fie f : A  R o functie numerica si I  A. Atunci:

a.     f este strict crescatoare (crescatoare) pe I  > () 0,

() x₁, x₂  I x₁ x₂;

b.     f este strict descrescatoare (desccrescatoare) pe I  < ()0,

() x₁, x₂  I x₁ x₂;

Demonstratie: Fara a restrange generalitatea teoremei vom demonstra doar punctul a demonstratia de la punctul b fiind asemanatoare.

" presupunem ca f este strict crescatoare pe I () x₁, x₂  I cu x₁ < x₂  f(x₁) < f(x₂).

Atunci din x₁ < x₂ x₂- x₁> 0 (1)

Atunci din f(x₁) < f( x₂) f(x₂)- f(x₁) > 0 (2)

Atunci din (1) si (2) prin efectuarea raportului > 0

" Presupunem ca pentru functia f : A  R o functie numerica si I  A sunt satisfacute conditiile: () x₁, x₂  I cu x₁ < x₂ si > 0

Atunci din x₁ < x₂ x₂- x₁> 0 (1')

Atunci din > 0 (2')

Atunci din (1') si (2') > 0 f(x₁) < f( x₂) functia este strict crescatoare.