 |
|
 |  |
|
|
| |
 | Biologie | Chimie | Didactica | Fizica | Geografie | Informatica |
| Istorie | Literatura | Matematica | Psihologie |
Masurabilitate.
Fie W ,X multimi oarecare si f:W X o functie. Daca BÌX atunci
f-1(B)= va desemna preimaginea multimii B prin functia f. Daca
M Ì P(X) este o familie oarecare de multimi, atunci f-1(M) va desemna familia
. In acest fel putem privi operatia f-1 ca o functie de la P(X) la P W
Propozitia 1. Daca M Ì P(X) este o s-algebra (respectiv algebra, topologie) atunci f-1(M este de asemenea s-algebra (respectiv algebra, topologie).
Demonstratie. Evident. Preimaginea reuniunii (respectiv intersectiei, complementarei) este reuniunea (respectiv intersectia, complementara).o
In plus, f-1 se comporta bine si fata de operatorii de inchidere introdusi in Cursul1: comuta cu ei.
Propozitia 2. Intotdeauna s( f-1(M)) = f-1(s M
( si respectiv Alg( f-1(M = f-1(Alg(M)) , Top( f-1(M)) = f-1(Top(M
Demonstratie Fie E = .Evident M Ì E . In al doilea rind E este o s-algebra. Intr-adevar, ÆIE deoarece ÆIs( f-1(M)) si evident f-1(Æ Æ . Apoi , daca B I E , atunci si Bc I E caci f-1(Bc)=(f-1(B))c si s( f-1(M)) este o s-algebra. In sfirsit, daca
(Bn)n este un sir de multimi din E , reuniunea lor va fi de
asemenea in E caci 
.
Rezulta ca s M Ì s E E . Deci BIs M Þ f-1(B)I s( f-1(M)) adica
f-1(s M Ì s( f-1(M
Ì : Evident f-1(M Ì f-1(s M)) deci s(f-1(M Ì s(f-1(s M f-1(s M)) , caci ultima familie este deja o s-algebra conform Propozitiei.
Acelasi rationament functioneaza daca inlocuim operatorul "s" cu "Alg" sau "Top".
Definitie. Spatiu masurabil, functie masurabila. O pereche (W k) unde W este o multime oarecare si k Ì p W)este o s-algebra se numeste spatiu masurabil. Daca (W k) si (X, f) sint doua spatii masurabile si f:W X este o functie , atunci functia f se numeste (k f)-masurabila daca f-1(f Ì k, adica daca BI f Þ f-1(B) I k. Daca nu este pericol de confuzie, (adica daca s-algebrele k si f se subinteleg) vom spune doar ca "f este masurabila". Daca f este bijectiva si functia f-1 este de asemenea (f k)-masurabila vom spune ca f este un izomorfism de spatii masurabile sau, mai scurt, un izomorfism. Daca W , X sint spatii topologice si a s-algebrele k si f sint s-algebrele multimilor boreliene , atunci o functie masurabila se va numi functie boreliana.
Observatie. Daca k si f ar fi topologii in loc sa fie s-algebre, notiunea de masurabilitate ar coincide cu notiunea de continuitate. Intr-adevar, se stie ca f este continua Û f-1(G) este deschisa G deschisa. Altfel scris, f este continua Û f-1(f Ì k, ceea ce arata o similaritate remarcabila intre cele doua notiuni. In acest caz izomorfismul (functie bijectiva bimasurabila) s-ar numi homeomorfism (= functie bijectiva si bicontinua). Ca si in topologie, este valabil urmatorul rezultat:
Propozitia 3. (i). Fie (W k) , (E,e) (F,f) trei spatii masurabile si f:W E, g:E F doua functii masurabile. Atunci compunerea lor g f este de asemenea masurabila.
(ii). Fie (W k) , (E,e) doua spatii masurabile si f : W E o functie oarecare. Sa presupunem ca e s m) cu m Ì p W) . Atunci f este masurabila Û f-1(m Ì k
Demonstratie. (i) este evident iar (ii) este o consecinta imediata a propozitiei 2: f-1(e) = f-1(s m s(f-1(m Ì s k k
Importanta punctului (ii) din Propozitia 3 este vizibila: pentru a demonstra masurabilitatea unei functii f nu este nevoie sa verificam neaparat ca f-1(B) I k pentru orice B din e, ci este suficient sa verificam acest lucru pentru B I m lucru mai usor.
Definitie.
s-Algebra
generata de o familie de functii. Fie (Xt,Ft)tIT o familie de
spatii masurabile, X o multime oarecare si ft:X Xt o familie de functii. Atunci s-algebra s(
(
Ft se va numi s-algebra
generata de functiile (ft)tIT si se va nota, in cazul ca
ne exista pericol de confuzie asupra spatiilor masurabile (Xt,Ft)tIT,cu s(ft : tIT).
Propozitia 4. Fie (W K) un spatiu masurabil, X o multime oarecare si Fie (Xt,Ft)tIT o familie de spatii masurabile. Fie ft:X Xt o familie de functii si f:W X .
Atunci f este (K s(ft : tIT ))-masurabila Û ft f sint (K Ft)-masurabile tIT.
Demonstratie Þ" este evident : compunerea de functii masurabile este masurabila.
". f-1(s(ft : tI T ))=f-1(s((
Ft s(f-1((
Ft))) (Propozitia 2!)=s( (f-1(Ft))) (datorita
proprietatilor aplicatiei f-1) =s(
(
Ft Ì K deoarece toate functiile ft f sint masurabile.
Definitie. Produsul unei familii de spatii masurabile. Sa consideram in definitia
de mai sus cazul particular in care X=
si functiile ft:X Xt sint
proiectiile canonice, adica ft(x)=xt tIT. Atunci vom nota s-algebra s(ft : tIT) cu 
Ft Daca T= vom mai scrie spatiul
masurabil produs si direct, adica
(X1 X2 Xn, F A F A A F n). In cazul particular in care (Xt,Ft)tIT coincid , deci daca (Xt,Ft )=(E, F tIT, produsul acestor spatii masurabile se va nota (ET, FT) . Daca in plus T= vom prefera scrierea mai obisnuita (En, Fn) in loc de (ET, FT). Sa remarcam analogia acestei definitii cu cea de topologie produs: produsul unei familii de spatii topologice se defineste la fel .
O consecinta imediata a Propozitiei 4 este
Propozitia
5.
Fie (Xt,Ft)tIT o familie de
spatii masurabile si X= ,
F
=
Ft. Fie (W K) un alt spatiu masurabil si
f:W X , f(w)=(ft(w))tIT . Atunci f este (K, Ft)-masurabila Û ft
sint (K Ft)- masurabile
pentru orice tIT.
Demonstratie. Evident :daca pt:X Xt sint proiectiile canonice, atunci pt f = ft si aplicam Propozitia 3.
Un alt caz particular de s-algebra generata de o functie este cea de urma a unei s-algebre pe o multime. Fie (W K) un spatiu masurabil si A Ì W o multime oarecare. Injectia canonica este functia iA : A W data de relatia iA(w w. Atunci s-algebra s(iA) = iA-1(K) se numeste urma lui K pe A si se noteaza cu K½A
In cazul spatiilor topologice este interesanta legatura intre borelianul produs si produsul borelienilor. Daca am sti ca ele coincid, de exemplu, atunci orice functie continua ar fi masurabila, lucru care ar fi de ajutor in stabilirea masurabilitatii.
Propozitia
6.
Fie (Xt, T t) o familie cel
mult numarabila de spatii topologice numarabil generate. Atunci B() =B(Xt).
Demonstratie. Fie Ot baze numarabile
de topologie in (Xt, T t), adica T t = (
Ot s si Ot sint numarabile tIT. Atunci topologia produs
pe X := va fi data de
formula T =Top(
((
Ot s)) = Top(
(
Ot s). Fie Ut multimile pt-1(Ot). Deci T = Top(
Ut s) =(Ut s)dS (Exercitiu : Top(M
M
dS) =(
Ut)d s S (datorita
distributivitatii reuniunii fata de
intersectie) . Fie O familia de multimi O = (Ut)d.
Cum T este cel mult numarabila , familiile Ut sint
de asemenea numarabile iar intersectiile finite care se pot realiza cu o
familie numarabila de multimi formeaza de asemenea o multime numarabila de
multimi, rezulta ca O este numarabila.
Inseamna ca T O sS O s (reuniunile de multimi
dintr-o familie numarabila sint intotdeauna reuniuni cel mult cel mult
numarabile), cu alte cuvinte O
este o baza de topologie
pentru T. Rezulta ca B()=s T s O s s O s (Ut s ((Ot s (
(Ot ) (cf. Propozitia 7(i), Curs 1) = s (
s Ot ) (cf. Propozitiei 2)
s (s Ot s s (s Tt )) (deoarece Ot sint baze de topologii in Xt)
s (b(Xt)))
(din definitia multimilor boreliene ale unui spatiu topologic) =B(Xt).
In cazul particular in care (Xt , T t A,Top(A)) coincid cu dreapta reala cu topologia sa canonica obtinem urmatoarea consecinta foarte importanta a Propozitiei 5:
Corolar 7. Daca T este cel mult numarabila, atunci B AT B A))T.
Demonstratie. Se stie ca ca Top(A) este o topologie cu baza numarabila ( de exemplu Top(A)=Top( ). Se aplica apoi Propozitia 5.
Corolar 8. Fie f: An A continua. Atunci f este (( B A))n, B A)) - masurabila.
Demonstratie. f-1(B A))=f-1(s(Top(A s(f-1(Top(A))) (cf. Propozitiei 2)
Ì s( Top(An)) (f continua inseamna ca preimaginea oricarei deschise este de asemenea deschisa!) = B An B A))n conform Corolarului 6.
Este importanta de asemenea legatura intre borelian si urma.
Propozitia 9. Fie (X,T) un spatiu topologic si AÌX. A este inzestrat cu topologia de subspatiu.
(i). B(A)= B(X)½A
(ii). Daca AI B(X), atunci B(A) =
(iii). AI B ¥ ¥]) unde dreapta incheiata este inzestrata cu topologia canonica.
(iv). B ¥ ¥ s s
(v). B ¥ ¥
Demonstratie.
(i). B(A) = s T ½A s(iA-1(T))=iA-1(s T)) (conform Propozitiei 2) = iA-1( B(X)) = B(X)½A
(ii). Din definitia urmei, B(A) =. Daca AI B(X) , atunci si
B =ACI B(X) .
(iii). A este deschisa in [-¥ ¥], deci boreliana.
(iv). Fie F s( ). Evident F Ì B ¥ ¥]) deoarece toate intervalele
¥,b) fiind deschise, sint boreliene. Reciproc, ar trebui aratat ca orice deschisa din
¥ ¥] este in F. Dar deschisele sint
reuniuni cel mult numarabile de intervale de tipul (a,b) sau [-¥,b) sau (a,¥] cu a,bIA. Scriind (a,¥]c=
[-¥,a+xn)
cu (xn)n un sir
descrescator de numere pozitive convergent la 0 , rezulta ca (a,¥ I F. In sfirsit, un interval deschis marginit se poate
scrie (a,b)=[-¥,b) (a,¥], deci si el apartine la F, de unde cealalta
incluziune.
(v). "Ì": Fie F multimea din dreapta. Se verifica imediat ca F este o s-algebra. Toate intervalele [-¥,b), bIA sint in F, deci si s-algebra generata de ele care, conform punctului (iv) coincide cu B ¥ ¥
": Conform punctului (ii) si (iii) orice multime boreliana de pe dreapta ,B, este de asemenea in B ¥ ¥]). O multime finita ,J, este de asemenea in B ¥ ¥]) deoarece este inchisa.
Definitie. Variabila aleatoare. Punct aleator. Vector aleator Fie (W K) un spatiu masurabil si T o multime cel mult numarabila. O functie f:W AT care este (K B AT))-m[surabila se numeste vector aleator. Daca T are doua elemente vom numi vectorul f punct aleator , iar daca T are un singur element, f se va numi variabila aleatoare. Daca f este o variabila aleatoare cu proprietatea ca f(W) este finita, atunci f se numeste variabila aleatoare simpla. Daca f(W) este cel mult numarabila. atunci f se numeste variabila aleatoare etajata. Daca f:W ¥ ¥] este (K b ¥ ¥])-masurabila, atunci f se numeste variabila aleatoare extinsa. Din Propozitia 8 rezulta ca orice variabila aleatoare este si variabila aleatoare extinsa si, mai mult, orice variabila aleatoare extinsa f cu proprietatea ca f(W ÌA este chiar variabila aleatoare.
Iata o consecinta a Propozitiei 4 care ne da un criteriu de a recunoaste un vector aleator:
Propozitia 10. Fie (W K) un spatiu masurabil , T o multime cel mult numarabila si f:W AT . Atunci f este vector aleator Û pt f sint variabile aleatoare tIT.
Demonstratie. Þ " : Din Corolarul 6, B AT B A))T , proiectiile canonice pt sint masurabile iar compunerea de aplicatii masurabile este masurabila.
" : Daca toate componentele ft=pt f sint masurabile, atunci f este (K B A)T)-masurabila cf. Propozitiei 4. Apoi se aplica Corolarul 6.
Acum putem prezenta cele mai importante proprietati ale variabilelor aleatoare, care vor fi folosite in restul cursului.
Propozitia 11. Fie (W K) un spatiu masurabil si L W K) (respectiv S W K E W K) ) familia variabilelor sale aleatoare (respectiv variabilelor aleatoare simple, etajate).
(i). Daca f1, f2,,fn sint variabile aleatoare si g:An A este (B An B A))-masurabila,atunci functia compusa g(f1,f2,,fn) este de asemenea variabila aleatoare. In particular, daca g este continua ramine valabila aceeasi afirmatie.
(ii). Toate aceste familii de functii sint algebre comutative peste A, adica spatii vectoriale reale cu structura de inel comutativ fata de inmultirea obisnuita a functiilor.
(iii). f este variabila aleatoare Û I K xIA Û I K xIA Û I K xIA etc. In general f este variabila aleatoare Û f-1(M Ì K daca s M B A
(iv). f este variabila aleatoare extinsa Û I K xIA Û I K xIAÛ IK BI b A) si I K I K
(v). Daca f(W) este cel mult numarabila atunci f este variabila aleatoare Û I K xIf(W
(vi). Fie f:W ¥ ¥] o functie oarecare si h:
[-¥ ¥ [-1,1] un homeomorfism
crescator (de exemplu functia h(x)=
daca xIA, h(-¥)=0, h(¥)=1 ). Atunci f este
variabila aleatoare extinsa daca si numai daca h f este variabila aleatoare.
(vii). Daca (fn)n este un sir de variabile aleatoare extinse, atunci functiile limsup(fn) si liminf(fn) sint de asemenea variabile aleatoare extinse.
(viii). In particular , daca (fn)n este un sir convergent de variabile aleatoare atunci limita sa este de asemenea o variabila aleatoare.
(ix). Daca f este o variabila aleatoare marginita, atunci exista un sir de variabile aleatoare simple , (fn)n care converge uniform la f.
(x). Daca f este o variabila aleatoare oarecare, atunci exista un sir de variabile aleatoare etajate , (fn)n care converge uniform la f.
(xi). Daca f este o variabila aleatoare oarecare, atunci exista un sir de variabile aleatoare simple , (fn)n care converge punctual la f.
(xii). Spatiul vectorial S W K) este dens in L W K in topologia convergentei simple iar E W K) este dens in L W K) in topologia convergentei uniforme.
Demonstratie.
(i).Functia f:W An data prin f(w)=(f1(w),f2(w),,fn(w)) este ( K b An)) masurabila din Propozitia 9 iar compunerea de functii masurabile produce functii masurabile.
(ii). Functiile g(x,y)=ax+bycu a,bIA, h(x,y)=xy , g,h:A A sint continue , deci masurabile. Inseamna ca daca f1 si f2 sint variabile aleatoare si af1+bf2, f1f2 vor fi de asemenea variabile aleatoare, conform punctului (I).
(iii). f-1(s m s(f-1(m)) din Propozitia 2. Din Cursul 1, Prpozitia 9, se stie ca
b A s s s s([x,¥) : xIA}) etc.
(iv). Se aplica Propozitia 8 si Propozitia 2.
(v). Sa presupunem ca
f(W) este cel mult
numarabila. Daca f este variabila aleatoare, atunci =f-1()
apartne s-algebrei K din definitia masurabilitatii.
Reciproc, daca B este o multime boreliana oarecare, atunci f-1(B)=
I K datorita faptului ca
reuniunea in cauza este cel mult numarabila.
(vi). Faptul esential este ca functia h:[-¥ ¥ [-1,1] este (b ¥ ¥ b([-1,1]))-bimasurabila, adica atit h cit si h-1 sint masurabile.
(vii). Sa luam, de
exemplu functia f=limsup fn =
cu gn=sup . Aratam mai intii ca gn sint masurabile. Fie
gn,k=sup =
max . Functiile gn,k
sint variabile aleatoare extinse deoarece daca h este homeomorfismul de la punctul precedent, rezulta ca h(gn,k)= max (datorita monotoniei lui h) = j (h(fn), h(fn+1)
, ,h(fn+k)) este variabila aleatoare din punctul (i) al
propozitiei ( functia j An A j(x)=max(x1,x2,,xn)
este continua, deci masurabila) . Apoi, sirul de variabile extinse (gn,k)k
este crescator si converge la gn. Fie x un numar real. Rezulta ca
= 
I k, deci gn sint variabile aleatoare
extinse conform punctului (iv). Sirul de variabile aleatoare extinse (gn)n
este descrescator si converge la f. Rezulta ca = apartine s-algebrei k xIA , deci f este variabila
aleatoare extinsa cf. (iv).
(viii). Daca (fn)n este un sir convergent de variabile aleatoare, atunci f = limsup fn = liminf fn si amindoua aceste functii sint variabile aleatoare extinse, conform punctului precedent. Dar f(W ÌA , deci f este o variabila aleatoare.
(ix). Fie f o variabila aleatoare marginita si a,bIA ca a£f£b. Functiile hn:A A definite prin hn(x)=[nx]/n sint crescatoare, deci masurabile Borel (multimile sint intervale) si ½hn(x)-x½£1/n , deci hn converg uniform la functia identica. Rezulta ca variabilele aleatoare hn(f)=[nf]/n converg uniform la f. Dar ele sint simple caci multimile hn(f)(W) sint finite (hn(f)(W Ìhn([a,b])=).
(x). Daca f nu este marginita, variabilele aleatoare hn(f) de la punctul precedent sint etajate.
(xi). Fie hn(x)=[nx] [-n,n](x)/n. Variabilele aleatoare hn(f) sint simple (caci hn(A)= este finita) si converg la f (deoarece ½x-hn(x)½ £ 1[-n,n](x)/n + ¥ ¥,n]È[n,¥ (x)) 0 c]nd n ¥
(xii). Este o reformulare a punctelor (x) si (xi).
Exercitii.
Operatorii ()s,()d, ()s d S D sint idempotenti , adica M ss= M s etc, iar operatorul ()' este involutiv, adica (.)' ' = (.).
Sa se arate ca operatorii s si d , precum si S si D comuta, adica M sd= M ds si M SD M DS
. Dimpotriva, s si d nu comuta: aratati ca Q I M ds , dar Q Ï M sd , unde M reprezinta multimea deschiselor de pe dreapta iar Q este multimea numerelor rationale.
Indicatie Q este o reuniune numarabila de puncte iar orice
punct x este intersectia sirului de intervale deschise (x-1/n,x+1/n), deci Q I M ds. Sa presupunem prin absurd
ca Q I M sd M d (caci o reuniune de
deschise este de asemenea deschisa).
Fie W A si m = . Calculati m s, m d, m s m d si aratati ca Q I M ds , dar Q Ï M sd Indicatie: orice deschisa este in m s
. Fie W ¥)2 si m = . Aratati ca:
(i). M d= M iar m d
(ii). m s= iar m s= unde, daca f si g sint doua functii, [f,g) inseamna .
(iii). Fie f:[0,¥ ¥) continua strict descrescatoare. Atunci multimea [0,f] este in M sd , dar nu in M ds. Deci, in general nu este nici o incluziune intre M sd si M ds
Indicatie (iii). Fie fn
= 
. Atunci [0 , f ] 
deci [0,f] este in M sd conform cu (ii). Daca [0,f]
ar fi in M ds ar trebui ca [0,f] sa se
poata scrie ca o reuniune de intervale In Jn , conform
primului punct. Fie an si bn capetele drepte ale
intervalelor In si Jn. Pentru orice x³0 punctul (x,f(x))I[0,f] trebuie sa fie in una
din multimile In Jn,
notata In(x) Jn(x) .
Inseamna ca x£an(x) si f(x)£bn(x) de unde f(an(x))£f(x)£bn(x). Dar In(x) Jn(x) Ì [0,f] Þ bn(x) £f(an(x)) deci (an(x),bn(x))
este pe graficul lui f si intervalele sint inchise: In(x)=[0,an(x)]
, Jn(x)=[0,bn(x)]. Mai mult, cum f este strict
descrescatoare, (an(x),bn(x)) este unicul punct situat pe
graficul lui f. Rezulta ca pe graficul lui f exista numai o multime numarabila
de puncte, absurd.
6.
Exercitii cu functia indicator. Fie 1A: p W indicatorul multimii A, adica 1A(x)=
. Aratati ca
(i).1AÈB = max(1A , 1B ) = 1A + 1B -1A1B ; 1A B = 1A1B ; 1ADB = 1A+1B - 21A1B
½1A-1B½ = 1A+1B (mod 2) iar A = B Û 1A=1B .
(ii). (P W D este un inel izomorf cu (Z W Å ) unde Z W = iar "Å " inseamna adunarea si inmultirea pe componente.
(iii). 
si 
, unde 
.
Indicatie (ii). Un izomorfism este aplicatia T:P W Z W , T(A)=1A.
. Aratati ca Top(M MdSÈ
. Aratati ca Alg(M MÈm')sd
. Aratati ca s M Ès n) unde reuniunea se face dupa toate subfamiliile numarabile de multimi n ale lui M.
Indicatie Aratati ca familia de multimi din dreapta este o s-algebra.
Sa presupunem ca multimile din M formeaza o partitie a lui W: (adica M = , s¹tÞMs Mt=Æ iar reuniunea tuturor multimilor Mt este W). Atunci Alg(M)= iar s M)= ( reuniunile numarabile sau conumarabile de atomi formeaza s-algebra )
Algoritm pentru constructia algebrei generate de o
familie finita de multimi. Daca M este finita, atunci s M)=Alg(M) si ½ Alg M ½ este o putere a lui 2. Daca
M =
atunci atomii sint multimile DJ=
unde J parcurge toate submultimile lui .
Deduceti ca numarul de multimi din
algebra generata de n multimi este 2k
cu k numarul de atomi nevizi . Cum acesta este cel mult 2n rezulta
ca ½Alg M ½ £ 
.
Indicatie. Verificati ca J¹J' Þ DJ DJ' Æ si ca reuniunea atomilor este W; retineti apoi numai atomii nevizi si aplicati exercitiul precedent.
12.
Algoritm pentru constructia s-algebrei
generate de o familie de multimi. Fie W o multime
oarecare si m o familie de
parti ale sale. Fie m m È m s m m È m s m n+1 m n È m n s, si procedeul continua pina la primul ordinal cu
o multime nenumarabila de predecesori, w , astfel : daca l este un ordinal limita,
atunci m l = 
m a iar daca l are predesor (adica l a+1 cu a alt ordinal), atunci m a m a È m a s
Atunci s m ) = 
m a
Fie X,Y sint doua spatii topologice si f:X Y o functie . Daca f este (B(X), B(Y) )-masurabila, atunci f se numeste masurabila Borel. Consideram cazul X=Y=A. Aratati ca:
- orice functie monotona este masurabila Borel;
- orice functie continua la dreapta sau la stinga este masurabila Borel.
Indicatie. Daca f este monotona, preimaginea oricarui
interval este interval iar intervalele genereaza B A). Daca f este
continua la dreapta, este limita sirului fn(x)=
(x) iar daca este continua la stinga procedam analog.
Fie f : A A continua si injectiva. Atunci s(f)= B A
Indicatie. f este monotona . Din teorema lui Darboux, Im(f) este interval, deci multime boreliana ;functia f:A Im(f) este bijectiva. Daca g:Im(f) A este inversa ei, atunci f(B A)) = g-1(B A)) = g-1(s i )) (unde reprezinta intervalele de pe dreapta) = s(g-1(i s(f(i Ì B A
deoarece daca I este un interval, f(I) este de asemenea interval (Darboux!) deci multime boreliana. Apoi se va folosi faptul ca B=f-1(f(B)).
. Fie f: A A para , continua cu proprietatea ca f½ ¥ este injectiva. Atunci aratati ca s(f)= cu -B := .
Indicatie. Daca B este boreliana, si -B este la fel datorita masurabilitatii functiei h(x)=-x. Fie g:[0,¥ A, g= f½ ¥ . Functia g este monotona. Aratati ca la exercitiul precedent ca s(g)= B A ½ ¥ . Daca B=-B, atunci B= (B ¥ È (-(B ¥))) = g-1(D) È (-g-1(D))=f-1(D) unde B ¥)=g-1(D), D boreliana. Deci orice multime din s-algebra din dreapta este in s(f). Cealalta incluziune este evidenta : f-1(B)=-f-1(B).
Calculati s(f) daca :
- f:A A, f(x)=x2;
- f:A A, f(x)=[x];
- f:A A, f(x)=sin(x);
Indicatie. In primul caz se aplica exercitiul (3); In al doilea aratati direct ca s(f) este familia reuniunilor de intervale de forma [n,n+1), n intreg; in al treilea folositi faptuls ca functia sinus restrictionata la intervalul [-p p,2] este injectiva si aratati ca s(f)= .
. Fie f:A A, f(x,y)=x2+y2. Aratati ca s(f)=, unde C(0,x) este cercul de centru 0 si raza x.
. Fie W W Wn multimi oarecare
si mj Ì p Wj £j£n ca Wj I mj . Aratati ca 
s mj s(
[mj]) , unde [mj] insemna prin
definitie multimea "dreptunghiurilor" A1 A2 An cu Aj I mj £j£n.
Indicatie. Daca W este produsul cartezian al
celor n multimi si pj:W Wj sint proiectiile
canonice, atunci s mj s(
pj-1(s mj s(s(pj-1(mj s(pj-1(mj s((pj-1(mj))d). Ultima expresie este exact
ce trebuie, deoarece Wj I mj
b An s
Indicatie. In general s m As m A As mn s
. Daca (W k) este un spatiu masurabil si este generat de o partitie cel mult numarabila (Ai)iII atunci f este variabila aleatoare Û f este variabila aleatoare etajata.
Indicatie. Multimea este o reuniune cel mult numrabila de atomi.
21. Daca W este o multime nenumarabila
si k Ì p W) este s-algebra generata de
multimile cu un singur punct atunci o functie f:W A este masurabila Borel Û f este
Indicatie:considerati multimile Ex:=; exista un x ca Ex sa fie cel mult numarabila iar e>0 Þ Ex+e este conumarabila. Atunci f=x cu exceptia eventuala a unei multimi cel mult numarabile .
22. Preimaginea unui p-sistem nu mai este neaparat p-sistem. Fie W= si
m Æ W,,,,,c,c,c,c}.
Fie apoi E = W si f:E W functia identica.
Verificati ca m este p-sistem (singurele perechi de multim disjuncte sint de tipul A, Ac ) dar f-1() nu mai este p sistem .
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate
