LINII IMPORTANTE IN TRIUNGHI

LINII IMPORTANTE IN TRIUNGHI

I. Mediana (la triunghi)

Def. Mediana uneste un varf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.

Proprietati:

1. Orice triunghi are trei mediane.
2. Ele sunt concurente.
3. Punctul lor de concurenta se noteaza cu G si se numeste centrul de greutate.
4. Centrul de greutate se afla la o treime de baza si doua treimi de varf.
5. In orice triunghi G este un punct interior triunghiului.

II. Mediatoarea (la segment si triunghi)

Def. Locul geometric al punctelor egal departate de capetele unui segment se numeste mediatoare.

Proprietati la segment:

1. Mediatoarea unui segment este perpendiculara pe segmentul fata de care a fost construita si trece prin mijlocul acestuia.
2. Orice punct de pe mediatoare este egal departat de capetele segmentului.

Proprietati la triunghi:

Orice triunghi are trei mediatoare.

Ele sunt concurente.

Punctul lor de concurenta se noteaza cu O si reprezinta centrul cercului circumscris.

4. Centrul cercului circumscris se afla in:

interiorul triunghiului, daca triunghiul este ascutit-unghic

la mijlocul ipotenuzei, daca triunghiul este dreptunghic

in exteriorul triunghiului, daca triunghiul este obtuz-unghic

III. Inaltimea (la triunghi)

Def. Perpendiculara din varful unui triunghi pe latura opusa, se numeste inaltime.

Proprietati :

Orice triunghi are trei inaltimi.

Ele sunt concurente.

Punctul lor de concurenta se noteaza cu H si se numeste ortocentrul triunghiului.

Ortocentrul se afla in:

interiorul triunghiului, daca triunghiul este ascutit-unghic

in varful unghiului drept, daca triunghiul este dreptunghic

in exteriorul triunghiului daca triunghiul este obtuz-unghic

IV. Bisectoarea (la unghi si triunghi)

Def. Semidreapta cu originea in varful unghiului situata la egala distanta de laturile unghiului, se numeste bisectoare.

Proprietati (la unghi):

1. Bisectoarea imparte unghiul in doua unghiuri mai mici congruente.
2. Orice punct de pe bisectoare se afla situat la egala distanta de laturile unghiului.

Proprietati (la triunghi):

1. Orice triunghi are trei bisectoare.
2. Ele sunt concurente.
3. Punctul lor de concurenta se noteaza cu I si reprezinta centrul cercului inscris.
4. In orice triunghi centrul cercului inscris se afla in interiorul triunghiului.
5. Pentru a determina raza cercului inscris se duce o perpendiculara din I pe una din laturi.

V. Linia mijlocie

Def. Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale unui triunghi se numeste linie mijlocie.

Proprietati:

Uneste mijloacele a doua laturi ale unui triunghi.

Este paralela cu cea de a treia latura a triunghiului.

Este jumatate din latura fata de care este paralela.

Orice triunghi are trei linii mijlocii.

Observatii:

Intr-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului cu laturile congruente este si mediana, mediatoare, inaltime.

Intr-un triunghi echilateral    mediana, mediatoarea, inaltimea si bisectoarea coincid.

RETINETI:

Ø     medianelor se noteaza cu G si se numeste centrul de greutate.

Ø     mediatoarelor se noteaza cu O si reprezinta centrul cercului circumscris.

Ø     inaltimilor se noteaza cu H si se numeste ortocentrul triunghiului..

Ø     bisectoarelor se noteaza cu I si reprezinta centrul cercului inscris.