Reprezentari analitice ale suprafetelor

Reprezentari analitice ale suprafetelor

Se folosesc trei moduri de reprezentare analitica a suprafetelor: reprezentarea explicita, reprezentarea implicita si reprezentarea parametrica.

Reprezentarea explicita

Suprafata se defineste printr-o ecuatie de forma: , in sensul ca daca abscisa si ordonata unui punct sunt x, respectiv y, atunci, pentru ca punctul sa fie pe suprafata, cota este determinata prin functia f.

Domeniul de definitie al functiei f este o multime din planul xOy, de exemplu un dreptunghi cu laturile paralele cu axele Ox, respectiv Oy. Pentru fiecare punct Q din domeniul de definitie ale carui coordonate sunt x, y si zero, paralela prin Q la axa Oz contine un singur punct pe suprafata, si anume cel a carui cota este .

Functia f se considera ca este derivabila de mai multe ori in toate punctele domeniului de definitie, cu exceptia unei multimi neglijabile dintre acestea. Daca domeniul este un dreptunghi, atunci continuitatea functiei f inseamna ca suprafata este o deformare continua (fara rupturi) a dreptunghiului.

Figura 4.1

Exemplu

Consideram suprafata . Functia este definita pe tot planul. Pentru a gasi forma suprafetei observam ca, pentru toate punctele aflate pe cercul cu centrul in origine si de raza egala cu r (adica ), punctele corespunzatoare de pe suprafata au toate aceeasi cota, egala cu , ca si punctul , corespunzator punctului , aflat la intersectia cercului cu axa Oy. Inseamna ca atunci cand Q parcurge cercul mentionat, punctul corespunzator P de pe suprafata va descrie traiectoria punctului in rotatia sa in jurul axei Oz.

Asociind fiecarui punct de pe axa Oy punctul corespunzator de pe suprafata , se obtine parabola din planul yOz de ecuatie . Rezulta ca suprafata se obtine prin rotirea acestei parabole in jurul axei Oz.

Figura 4.2

Reprezentarea implicita

Suprafata se defineste ca multimea punctelor ale caror coordonate satisfac o ecuatie de forma .

Daca F este o functie de gradul intai in , atunci este o suprafata plana. Daca este de gradul doi, atunci este o cuadrica. In general, ecuatia , gandita ca o restrictie in deplasarea punctului , diminueaza numarul gradelor de libertate ale punctului P de la trei la doua, astfel ca multimea este ceea ce numim, in limbajul obisnuit, suprafata.

Domeniul de definitie al functiei F este o submultime din spatiul , in care este inclusa suprafata ca multime de puncte. Avem in vedere numai acele suprafete pentru care functia F este derivabila de mai multe ori in toate punctele domeniului de definitie, in afara unei multimi neglijabile dintre acestea. Dupa cum am mai mentionat, functiile elementare indeplinesc aceasta conditie.

Daca este definita de o ecuatie explicita , atunci putem obtine reprezentarea implicita a suprafetei luand . Asadar, putem considera forma explicita ca un caz particular al celei implicite.

Reciproc, trecerea de la forma implicita la cea explicita presupune rezolvarea ecuatiei in raport cu z (sau cu x sau cu y). In general, explicitarea solutiei nu este practic posibila sau aceasta explicitare este prea complicata. Dar pentru o serie de probleme este suficient sa fim asigurati de existenta acestei explicitari. Teorema functiilor implicite ne asigura ca, daca in punctul al suprafetei derivata partiala a functiei F in raport cu z este nenula, atunci o portiune a suprafetei , situata intr-o vecinatate a lui , admite o reprezentare explicita . Reamintim ca derivatele partiale ale functiei f (necunoscute) se pot exprima cu ajutorul derivatelor partiale ale lui F.

Reprezentarea parametrica

Suprafata este definita ca multimea punctelor ale caror coordonate depind de doi parametri reali:

Ca de obicei, ne incadram in ipoteza ca functiile sunt derivabile de mai multe ori in toate punctele domeniului de definitie, cu exceptia unei multimi neglijabile dintre ele.

Daca domeniul de definitie D este un dreptunghi din plan cu laturile paralele cu axele unui reper cartezian al acestui plan, atunci continuitatea functiilor ne permite sa ne imaginam suprafata ca o deformare continua a dreptunghiului.

Se obisnuieste ca functiile sa fie notate respectiv cu aceleasi litere ce desemneaza coordonatele pe care le determina, adica . Reprezentarea analitica are atunci forma:

Figura 4.3

Ca si in cazul curbelor plane, reprezentarea parametrica se poate scrie si sub forma vectoriala:

Exemple

I. Daca suprafata este definita de o ecuatie explicita , atunci se poate considera si forma parametrica:

Asadar forma explicita poate fi considerata si ca un caz particular al celei parametrice.

II. Sfera cu centrul in origine si de raza egala cu r, avand ecuatia implicita:

se poate reprezenta sub urmatoarea forma parametrica:

Figura 4.4

Din figura 4.4 se vede ca parametrul θ corespunde latitudinii geografice, cu deosebirea ca aceasta din urma se masoara de la ecuator catre cei doi poli. In ceea ce priveste parametrul φ, acesta corespunde longitudinii geografice daca se considera semicercul ce intersecteaza axa Ox drept meridianul de la Greenwich, cu deosebirea ca longitudinea geografica ia valori de la 0 grade la 180 de grade, distingandu-se intre longitudinea estica si cea vestica.

Daca sfera are centrul in punctul , atunci ecuatiile parametrice ale ei sunt:

III. Elipsoidul definit de ecuatia implicita:

(4.1)

are urmatoarea reprezentare parametrica:

(4.2)

Intr-adevar, se verifica usor ca, pentru orice valori ale parametrilor u si v, numerele date de relatiile (4.2) verifica ecuatia (4.1).

IV. Hiperboloidul cu o panza definit prin ecuatia implicita:

(4.3)

are urmatoarea reprezentare parametrica:

. (4.4)

La fel ca in cazul elipsoidului, este usor de verificat ca, pentru orice valori ale parametrilor u si v, numerele date de (4.4) verifica ecuatia (4.3).

V. Daca sunt functii de gradul intai, atunci este o suprafata plana. Intr-adevar, consideram reprezentarea analitica:

sau, echivalent,

Ultima relatie exprima faptul ca prima coloana a matricei

este combinatie liniara de celelalte doua, ceea ce este echivalent cu relatia:

.

De aici rezulta:

si am obtinut ecuatia planului.