Baze formate din vectori proprii. Functii de matrice de structura simpla

Baze formate din vectori proprii. Functii de matrice de structura simpla

In cazul cand cunoastem valorile proprii ale matricei A a operatorului f intr-o baza a spatiului V, adica radacinile ale polinomului se pot determina toti vectorii proprii ai operatorului. Pentru fiecare valoare proprie alegem un vector propriu v_i care indeplineste conditia numit vector propriu asociat valorii proprii . Vom arata ca in anumite conditii vectorii obtinuti formeaza o baza a spatiului V.

Teorema

Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte sunt liniar independenti.

Demonstratie

Fie valori proprii distincte intre ele si vectori proprii corespunzatori. Este de demonstrat ca pentru orice numar natural vectorii sunt liniar independenti. Folosim metoda inductiei.

Etapa de verificare

Pentru fie un vector propriu corespunzator valorii proprii . Din definitia vectorului propriu, rezulta ca . Daca sistemul format numai din vectorul ar fi liniar dependent ar insemna ca exista un scalar nenul astfel incat: . Inmultind ambii membri ai egalitatii cu (care exista din moment ce este nenul), se obtine: , ceea ce contrazice definitia vectorului propriu.

Din demonstratia de mai sus este util de retinut faptul ca orice vector nenul constituie un sistem liniar independent. Singurul vector care constituie un sistem liniar dependent este vectorul nul.

Etapa de demonstratie

Ipoteza

Orice sistem de r vectori proprii ce corespund la r valori proprii distincte sunt liniar independenti.

Concluzia

Orice sistem de vectori proprii corespunzand la valori proprii distincte sunt liniar independenti.

Demonstratie

Pentru a demonstra liniar independenta vectorilor pornim de la relatia:

Aplicam functia liniara f ambilor membri ai egalitatii. Tinand seama de liniaritatea lui f si de faptul ca obtinem:

.

Deoarece ultima egalitate devine:

.

Inmultim prima egalitatea cu si o adunam la ultima:

Ultimul termen este, evident, nul, iar egalitatii:

i se poate aplica ipoteza.

Rezulta ca .

In membrul stang al fiecarei egalitati paranteza este nenula deoarece valorile proprii sunt distincte intre ele. Deci: . Inlocuind acesti coeficienti in egalitatea:    , se obtine: .

Urmand acelasi rationament ca in etapa de verificare, adica folosind faptul ca , ca vector propriu , este nenul, deducem ca .

Asadar, pornind de la egalitatea am ajuns la concluzia ca toti coeficientii combinatiei liniare din membrul stang sunt nuli, adica vectorii v_i sunt liniar independenti. Q.E.D.

Consecinta

Daca polinomul caracteristic are n radacini distincte, , atunci vectorii proprii corespunzatori, constituie o baza.

Intr-adevar, din teorema anterioara, rezulta ca vectorii sunt liniar independenti. Numarul lor fiind egal cu dimensiunea spatiului rezulta ca vectorii constituie o baza.

Definitie

Un operator liniar se zice de structura simpla daca admite o baza formata din vectori proprii.

Din cele de mai sus rezulta ca daca operatorul are n valori proprii distincte, atunci el este de structura simpla.

Notand cu A matricea operatorului in baza si cu T matricea de trecere de la baza la o baza formata din vectori proprii, atunci matricea B a operatorului in noua baza este:

.

Pe de alta parte se indeplineste relatia: . Rezulta ca matricea A se poate scrie sub forma: .

Functii de matrice de structura simpla

In cazul cand matricea A este matricea unui operator de structura simpla (convenim atunci ca matricea insasi s-o numim de structura simpla) se pot calcula cu usurinta diverse functii de matricea A.

In primul rand sa observam ca:

si in general, . Evident ca

.

Asadar se pot calcula cu usurinta puterile matricei A.

Putem trece acum de la functia putere (naturala) la o functie polinomiala. Anume, fie un polinom cu coeficienti scalari (adica in corpul K). Prin intelegem:

Pe de alta parte este usor de vazut ca:

.

In cazul cand este o serie formula de mai sus este valabila pentru toate sumele partiale ale seriei, pe care le notam, anume: cu

.

In cazul cand corpul K are o structura topologica, asa cum este cazul corpurilor Q, R, C sau un corp p-adic aceasta structura este aplicata in mod natural si multimii de matrice, astfel incat se pune problema convergentei sirului de matrice .

De exemplu, in cazul seria numerica

,

este convergenta pentru orice avand ca suma numarul . Sirul de matrice este evident convergent, deoarece sirurile numerelor de pe diagonala sunt convergente si anume, limita acestui sir de matrice este:

.

Asadar seria de matrice : este convergenta si suma acestei serii, pe care o notam este:

Analog,