Introducere in notiunea de functie

Introducere in notiunea de functie

Intr-o expunere facuta de L.Euler in anul 1749 se mentioneaza de mai multe ori notiunea de functie ca fiind o marime variabila ce depinde de o alta marime variabila. Pentru unele scopuri, o astfel de definitie este suficienta. Insa in dezvoltarea ulterioara a matematicii s-a impus necesitatea de a se da notiunii de functie un continut mai general si mai abstract. Nu dependenta variabilelor ( prin care de obicei se inteleg numere care pot fi comparate in ceea ce priveste marimea) este esentiala in continutul notiunii de functie, ci corespondenta prin care anumitor obiecte li se asociaza alte obiecte. In felul acesta, notiunea de functie se fundamenteaza pe notiuni ale teoriei multimilor. O bara metalica prin incalzire isi modifica dimensiunile, de exemplu o bara de cupru de lungime 200 cm la 0⁰ C, va avea la la o temperatura de t^o C lungimea de l= 200(l₀ +0,000016 *t). Aceasta formula pune in corespondenta fiecarei temperaturi t⁰ C cuprinsa intre 0⁰ C si 100⁰ C o anumita lungime l cuprinsa intre 200 cm si 200,32 cm. In mod analog fiecarei cantitati dintr-o anumita marfa ii corespunde o anumita suma de bani, pretul de vanzare. In felul acesta, pot fi puse in corespondenta nu numai multimi de numere ci si multimi generale astfel incat elementelor a A le corespund elemente b B. Astfel corespondenta este determinata de o relatie intre elemente din multimea A si elemente din multimea B.

Pentru a descrie o functie trebuie stabilite domeniul de definitie, domeniul valorilor si corespondenta dintre acestea.

1.1.1 Graful. O functie poate fi reprezentata grafic printr-un graf in care domeniul de definitie si domeniul valorilor sunt reprezentate prin desene iar corespondenta se indica prin sageti.

1.1.2 Tabloul de valori. In loc de graf se poate folosi pentru reprezentarea unei functii un tabel de valori, pe randul de sus se trec elementele domeniului de definitie iar pe randul de jos se trec elementele domeniului valorilor.

1.1.3.Exprimarea prin text. Exista situatii in care domeniul de definitie si domeniul de valori nu pot fi reprezentate printr-un graf sau printr-o tabela de valori. In acest sens un exemplu functia lui L. Euler ce asociaza oricarui numar rational valoarea 1, iar oricarui numar irational valoarea 0. Sau utilizand simboluri matematice:

f(x)=

1.1.4.Diagrama. O functie mai poate fi reprezentata printr-o diagrama considerandu-se axa orizontala ca domeniu de definitie, axa verticala - domeniul valorilor, iar punctele de pe curba ca definind corespondenta. Curba sau punctele rezultante trebuie sa fie insa astfel incat fiecarui punct al axei orizontale sa-i corespunda cel mult un punct al curbei. Din acest motiv nu orice curba reprezentata intr-un sistem ortogonal de axe poate fi privita ca reprezentarea grafica a unei functii.

1.1.5.Diagramele cu sageti. Este una din modalitatile frecvent utilizate pentru intelegerea conceptului de corespondenta ce reprezinta functie. Domeniul de definitie, respectiv codomeniul functiei sunt reprezentate grafic prin figuri geometrice cum ar fi cerc, patrat, dreptunghi, oval, curbe inchise etc., elementele multimilor fiind precizate in interiorul acestora, iar legea de corespondenta este data prin sageti.

1.1.6.Notiunea de formula. Cea mai frecventa forma de reprezentare a unei functii in matematica este printr-o formula. In acest caz elementele domeniului de definitie si a domeniului de valori nu pot fi decat numere sau "obiecte matematice" pentru care s-au introdus reguli de calcul. De exemplu y = x + 2 sau y = sin x .

Forma explicita. Forma y = F(x) a unei egalitati functionale, in care F(x) este o expresie oarecare ce depinde doar de variabila x, se numeste forma explicita.

Forma implicita. Spre deosebire de forma explicita in forma implicita variabilele nu sunt izolate. Cand o egalitate functionala se da sub forma implicita atunci o variabila se considera dependenta iar cealalta independenta. Este de remarcat faptul ca nu intotdeauna o exprimare implicita poate fi adusa la forma explicita . De exemplu ecuatia cercului cu centrul in origine si raza 2 data de F(x,y): x² +y² = 4. Exprimarea lui y in functie de x ar fi urmatoarea: . Ar fi insa o greseala sa se considere ca aceasta exprimare reprezentarea unei functii, deoarece nu este univoca.

1.1.7. Relatii de recurenta(functionala).

Este cazul particular al sirurilor de numere reale in care un termen se exprima in functie de unul sau mai multi termeni din sir in ipoteza ca se cunosc unul sau mai multi termeni ai sirului. Relatiile de recurenta se pot imparti in trei categorii:

a.          relatii de recurenta liniare de ordinul I. Relatia pentru α=1 si β=r fixat numar real atunci sirul definit prin relatia de recurenta devine n ≥1 ; a₁=a fixat, l-am numit progresie aritmetica cu primul termen a si ratie r.

b.          relatii de recurenta liniare de ordinul II. Relatia cu n ≥0. Daca a₀= a₁=1 si α=β=1 se obtine sirul: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,. numit sirul lui Fibonacci.

2. Relatii de recurenta de tipul implicit: sau

Corespondente de tip functie ce sunt obtinute pe cale experimentala, prin studierea unui fenomen: electrocardiograma, cursul de schimb valutar, etc.

In concluzie exista doua moduri de definire a functiilor sintetic - cand corespondenta poate fi precizata element cu element si analitic - cand corespondenta este precizata prin enuntul unei formule sau proprietati comune.

In cele ce urmeaza voi sintetiza cateva rezultate teoretice ce sunt utile in formarea conceptului de functie bazandu-ma pe elemente de teoria multimilor.