Biologie	Chimie	Didactica	Fizica	Geografie	Informatica
	Istorie	Literatura	Matematica	Psihologie

Matematica

Index » educatie » Matematica
» Numere reale - Puteri cu exponent rational

Numere reale - Puteri cu exponent rational

  a=0 T f constanta

Functia de gradul al II-lea

f:R R, f(x)=ax²+bx+c, a,b,cIR, a

V(-b/2a,- D/4a)=varful

a> T V_min

a< T V_max

Graficul este o parabola

Compunerea a doua functii

f : A B, g : B C T g f : A C, (g f)(x)=g(f(x))

PARALELISM SI CALCUL VECTORIAL

Distanta dintre doua puncte

In plan

M₁(x₁,y₁), M₂(x₂,y₂) T

In spatiu

Regula triunghiului

Regula paralelogramului

Vectori coliniari

si sunt coliniari aIR astfel incat

Punctul care imparte un segment intr-un raport dat

Daca A, B, M = coliniare si , ( ) O din plan

G - centrul de greutate al triunghiului ABC

G - centrul de greutate al triunghiului ABC

A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃), G = centrul de greutate al triunghiului ABC

T

Coordonatele unui vector

x, y = coordonatele vectorului OM

Ecuatia unei drepte in plan

m = tgj = panta dreptei d    m = b a = panta dreptei d

Ecuatia dreptei care trece prin M₀(x_o,y_o) si de panta m este:

y-y_o=m(x-x_o)

Ecuatia dreptei care trece prin doua puncte M₁(x₁,y₁) ]i M₂(x₂,y₂) este:

n=0 T y=mx T ecuatia unei drepte care trece prin origine

ax+by+c=0 - ecuatia generala a dreptei

Fie: (d) : y=mx+n

(d') : y=m'x+n'

d d' m=m'

d d' mm'= -1

Pentru a afla punctul de intersectie a doua drepte concurente rezolvam sistemul format cu ecuatiile lor.

TRIGONOMETRIE

p (radiani)

sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a

sin (a - b) = sin a cos b - sin b cos a

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

tg (a +b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a tg b)

tg (a -b) = (tg a - tg b) / (1 + tg a tg b)

sin 2a = 2 sin a cos a

cos 2a = cos² a - sin² a = 2cos² a - 1 = 1 - 2sin² a

tg 2a = 2tg a / (1 - tg² a)

arcsin : p p

arccos : p

arctg : R p p

arcctg : R p

arcsin (-t) = - arcsin t

arccos (-t) = p - arccos t

arctg (-t) = - arctg t

arctg (-t) = p - arcctg t

arcsin t + arccos t = p

arctg t + arcctg t = p

Ecuatii trigonometrice

sin t = a are solutii daca a I T t = (-1)^k arcsin a + kp, k I Z

cos t = a are solutii daca a I T t = arccos a + 2kp, k I Z

tg t = a T t = arctg a + kp, k I Z

ctg t = a T t = arcctg a + kp, k I Z

sin u = sin v T u = (-1)^k v + kp, k I Z

cos u = cos v T u = v + 2kp, k I Z

tg u = tgv T u = v + kp, k I Z

ctg u = ctg v T u = v + kp, k I Z

Teorema sinusurilor

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R, R = raza cercului circumscris triunghiului ABC

Teorema cosinusului

a² = b² + c² - 2bc cos A

Aria triunghiului ABC =bh / 2 = (ab sin C )/2=(a² sin B sin C)/ 2sin A= abc / 4R = pr =

r - raza cercului inscris in triunghiul ABC

CLASA a X-a

Progresii aritmetice

Sirul a_n este progresie aritmetica a_n = a_n-1 + r, ( ) n

a_n este progresie aritmetica

a_n = a₁ + (n-1)r, ( ) n

Progresii geometrice

Sirul b_n (b₁ 0, q 0) este progresie geometrica b_n = b_n-1 q, ( ) n

Sirul b_n este progresie geometrica b²_n = b_n-1 b_n+1, ( ) n

b_n = b₁ q^n-1, ( ) n

Functii

Fie A, B R, f : A B

Daca A are n elemente si B are m elemente, exista n^m functii definite pe A, cu valori in B.

f crescatoare daca ( ) x₁, x₂ I A, x₁ < x₂ T f(x₁) f(x₂)

f strict crescatoare daca ( ) x₁, x₂ I A, x₁ < x₂ T f(x₁) < f(x₂)

f descrescatoare daca ( ) x₁, x₂ I A, x₁ < x₂ T f(x₁) f(x₂)

f strict descrescatoare daca ( ) x₁, x₂ I A, x₁ < x₂ T f(x₁) >f(x₂)

f injectiva daca ( ) x₁, x₂ I A, f(x₁) = f(x₂) T x₁ = x₂

f surjectiva daca ( ) y I B, ( ) x I A, a. [. f(x) = y

f bijectiva f injectiva si surjectiva

f inversabila f bijectiva

f^-1 : B A, f^-1(y) = solutia obtinuta la surjectivitate

Graficele lui f si f^-1 sunt simetrice fata de prima bisectoare (y = x).

Functia exponentiala

f : R ), f(x) = a^x, a > 0, a

Functia logaritmica

f : R, f(x) = log_ax, a > 0, a

Functia exponentiala este bijectiva T este inversabila si inversa ei este functia logaritmica de aceeaai baza.

log_ay = x a^x = y

log_a(x y) = log_ax + log_ay

log_a(x/y) = log_ax - log_ay

log_axⁿ = n log_ax

Numere complexe

z = x + iy ; (i² = -1) T forma algebrica a unui numar complex

Re(z) = x; Im(z) = y

M(x,y) = imaginea lui z

z = afixul lui M

z = x + iy = conjugatul lui z

Forma trigonometrica a unui numar complex

z = x + iy ,(i² = -1) T forma algebrica

M(x,y) = imaginea lui z

t = arctg y/x + kp T argumentul lui z

M(x,y) I cadranul I T k = 0

M(x,y) I cadranul II, III T k = 1

M(x,y) I cadranul IV T k = 2

z = r (cos t + i sin t) T forma trigonometrica

Fie z₁ = r₁ (cos t₁ + i sin t₁)

z₂ = r₂ (cos t₂ + i sin t₂)

Atunci:

Formula lui Moivre

(cos t + i sin t)ⁿ = cos nt + i sin nt

Ecuatia de gradul al doilea (cu coeficienti reali)

D<0T doua radacini complexe conjugate

Elemente de geometrie in plan si in spatiu

Fie

(produsul scalar al vectorilor u, v)

(j = unghiul dintre vectorii u, v)

Ecuatia planului: Ax + By + Cz + D = 0

Distanta de la un punct M₀ (x₀, y₀, z₀) la planul Ax + By + Cz + D = 0 este:

Poliedre - arii, volum

Paralelipipedul dreptunghic (bazele si fetele laterale sunt paralelograme)

Paralelipipedul (bazele si fetele laterale sunt paralelograme)

Prisma dreapta    Prisma oblica

Piramida

Trunchiul de piramida

Corpuri rotunde - arii, volum

Cilindrul circular drept

Conul

Trunchiul de con

Sfera

Aria zonei sferice=2pRh

Aria calotei sferice=2pRh

Polinoame

Teorema impartirii cu rest

f = g q + r, grad r < grad g

Restul impartirii lui f la x-a este r = f(a)

Teorema lui Bezout: a este radacina a polinomului f x-a divide f.

Relatiile lui Viète

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + . + a₁x + a₀ = 0, x₁, x₂, . , x_n radacinile ecuatiei

s₁ = x₁ + x₂ + . + x_n = - a_n-1 / a_n

s₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + . + x_n-1x_n = a_n-2 / a_n

s_n = x₁x₂ . x_n = (-1)ⁿ a₀ / a_n

Ecuatia care are radacinile x₁, x₂, . , x_n este xⁿ - s₁x^n-1 + s₂x^n-2 - . + (-1)ⁿs_n = 0

Daca f I R X si a este radacina a lui f atunci:

este radacina a lui f

a si au acelasi ordin de multiplicitate

Daca f I Q X si este radacina a lui f atunci:

este radacina a lui f

si au acelasi ordin de multiplicitate.

Daca f I Z X , radacinile intregi ale lui f sunt divizori ai termenului liber.

Daca f I Z X si p/q este o radacina rationala a lui f atunci p divide termenul liber, iar q divide coeficientul dominant.

Permutari, aranjamente, combinari

Fie a,bI N*. Numarul sirurilor cu b elemente apartinand unei multimi cu a elemente este a^b.

Fie A o multime cu a elemente si B o multime cu b elemente. Numarul functiilor definite pe A, cu valori in B este b^a.

Fie A o multime cu n elemente. Multimile ordonate formate cu cele n elemente ale lui A se numesc permutari de n elemente. Numarul permutarilor de n elemente este:

P_n = n! = 1 n, n I N*; 0! = 1

Fie A o multime cu n elemente. Submultimile ordonate ale lui A, avand fiecare k elemente, se numesc aranjamente de n elemente luate cate k. Numarul aranjamentelor de n elemente luate cate k este:

Fie A o multime cu n elemente. Submultimile lui A avand fiecare k elemente se numesc combinari de n elemente luate cate k.

Numarul combinarilor de n elemente luate cate k este:

Binomul lui Newton

, 0 k n T termenul de rang k+1