FUNCTII TRIGONOMETRICE ALE ARCULUI DUBLU

Vom deduce valorile sin2x, cos2x, tg2x, apoi ca aplicatie valorile sin3x, cos3x.

sin2x = 2sinx cosx , ( ) x I R a.i. cosx 0, cos2x

Avem urmatoarele formule:

Demonstratie

sin2x = sin(x+x) = sinx cosx + sinx cosx = 2sinx cosx

(am aplicat formula sin(a b) = sina cosb + sinb cosa, inlocuind a b = x )

cos2x = cos(x+x) = cosx cosx - sinx sinx = cos²x - sin²x

(am aplicat formula cos(a b) = cosa cosb - sinb sina, inlocuind a b = x )

cos2x = cos²x - sin²x = cos²x - (1-cos²x) = 2 cos²x -1 sau

cos2x = cos²x - sin²x = 1 - sin²x - sin²x = 1 - 2 sin²x

tg2x = tg(x+x) =

(am aplicat formula tg(a b) = )

Aplicatii

sin3x = sinx (3 - 4sin2x) , ( ) x I R cos3x = cosx (4cos2x - 3) , ( ) x I R

Vom deduce prima formula, pentru cea de-a doua procedandu-se analog.

sin3x = sin(2x+x) = sin2x cosx + sinx cos2x = 2sinx cos²x + sinx(1 - 2sin²x) = 2sinx (1 - sin²x) + sinx - 2sin³x = 3sinx - 4sin³x = sinx (3 - 4sin²x).

Din formula cos2x = 1 - 2sin²x, deducem , ( ) x I R,

iar din formula cos 2x = 2cos²x - 1, decucem , ( ) x I R.

Aceste doua ultime formule se mai numesc formule de liniarizare si ele sunt utile in aplicatii intrucat permit trecerea de la patrate de functii trigonometrice la functii trigonometrice la puterea intai, insa avand argumentul dublu.

In multe aplicatii sunt utile si formulele:

care sunt deduse imediat din formullele ce exprima sin3x, respectiv cos3x.

2. Probleme rezolvate

1) Demonstrati identitatile trigonometrice:

a)     (cos a + cos b)² + (sin a + sin b)² = 4 c) (cos a - cos b)² + (sin a - sin b)² = 4

b)     (cos a + cos 2a) (2cos a - 1) = cos 3a + 1

Rezolvare

Vom verifica b), a) si c) verificandu-se analog.

(cos a - cos b)² + (sin a - sin b)² = cos²a + cos²b - 2cos a cos b + sin²a + sin²b - 2sin a sin b =

= 2 - 2(cos a cos b + sina sin b) = 2 - 2cos(a-b) = 2[1 - cos(a-b)] = 4

2) Demonstrati ca:

Rezolvare

Folosim formula

3) Sa se arate ca:

cos6⁰ cos66⁰ cos42⁰ cos78⁰ = , demonstrand mai intai 4 cos a cos(60⁰ - a cos(60⁰ + a) = cos 3a

Rezolvare :

cos a cos(60⁰ - a cos(60⁰ + a cos a (cos60⁰ cos a + sin60⁰ sin a ( cos60⁰ cos a - sin60⁰ sin a

In identitatea verificata inlocuim a = 6⁰ si a = 18⁰ si obtinem:

4cos6⁰ cos54⁰ cos66⁰ = cos18⁰ 4cos18⁰ cos42⁰ cos78⁰ = cos54⁰

Inmultind membru cu membru cele doua egalitati obtinem rezultatul dorit.

4) Demonstrati ca

Rezolvare:

Impartim prin

Evident alegem numai solutia pozitiva, intrucat

5) Demonstrati identitatea:

Rezolvare:

Membrul stang se scrie astfel:

7) Calculati valoarea produsului P = cosx cos2x cos2²x . .cos2ⁿx.

Rezolvare:

Calculam

Observatie

Retineti modalitatea de calcul a acestui produs de cosinusuri in care argumentele formeaza o progresie geometrica. Pentru calculul sau, a fost necesar un "bobarnac" acesta fiind sinx, cu care am inmultit egalitatea, factorii din membrul drept "consumandu-se" doi cate doi pe baza formulei

sin a cosa= sin2a

8) a) Demonstrati identitatea trigonometrica

b) Deduceti valoarea produsului:

Rezolvare:

3. Probleme propuse

1) Demonstrati identitatile trigonometrice:

a) sin 6x = 2sin 5x cosx - sin 4x c)

b) cos 6x = 2cos 5x cos x - cos 4x

2) Sa se arate ca:

a) e) sin(a + b) sin c + sin(b - c) sin a = sin(a + c) sin b

b) cos² (x + y) - cos²(x - y) + sin 2x sin 2y = 0 f) sin(a + b) cos c - cos(b - c) sin a = cos(a + c) sin b

c) [sin²(x + y) + sin²(x - y)] [cos²(x + y) + cos²(x - y)] = 1 - cos² 2x cos² 2y

d) (1 + tgx)² + (1 + ctgx)² = 4 g) (sin 2a + sin 4a)² + (cos 2a + cos 4a)² = 4 cos² a

3) Demonstrati identitatile:

4) Demonstrati ca:

a) cos² 2x + cos² (x - y) - 2 cos(x - y) cos(x + y) cos 2x = sin² x + sin² y + 2sin x sin y cos(x + y) , ( ) x, y I R

b) cos x < , ( ) x I p

c) sin(x + y) sin(y + z) sin(z + x) sin 2x sin 2y sin 2z, ( ) x, y, z, I [0, ]

5) Calculati:

6) Calculati produsul:

Exprimarea functiilor trigonometrice in functie de tangenta arcului pe jumatate

Functiile trigonometrice sin, cos, tg, ctg se exprima rational in functie de tangenta semiunghiului dupa urmatoarele formule:

Demonstram primele doua egalitati:

Probleme rezolvate

1) Determinati imaginea functiei f : R R, f(x) = a sin x + b cos x ; a, b I R.

R. Notam si atunci functia f in variabila t este f(t) = .

Notam f(t) = y si obtinem 2at + b - bt² = y + y t² sau (b+y) t² - 2at - b + y = 0, care este o ecuatie de gradul al doilea in variabila t. Intrucat t I R se impune conditia D ≥ 0 sau 4a² - 4(y² - b²) ≥ 0.

Deci

2) Daca tg a = 2, calculati sin 4a si cos 4a

R. Calculam si

Analog pentru cos 4a

5. Transformarea sumei (diferentei) de functii trigonometrice in produs.

Au loc urmatoarele identitati:

Demonstratie:

sin(a+b) = sin a cos b + sin b cos a    sin(a-b) = sin a cos b - sin b cos a

Notam a+b = x ; a-b = y , rezulta .

Adunam primele egalitati membru cu membru si obtinem:

Pentru y -y rezulta, tinand cont de imparitatea sinusului:

Pentru celelalte doua identitati folosim:

cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b    cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b

si cu aceleasi notatii, adunand si scazand egalitatile membru cu membru obtinem rezultatele anuntate.

Observatie

Deduceti formulele:

6. Transformarea produselor de functii trigonometrice in sume.

Au loc urmatoarele identitati:

Folosind formulele deduse anterior si calculand membrul drept, sau folosind formulele ce dau functiile trigonometrice ale sumei sau diferentei (tot calcul in membrul drept) obtinem rezultatele anuntate.

7. Probleme rezolvate

1) Calculati

R.

2) Demonstrati identitatile:

Rezolvare

a)

b)

c)

3) Simplificati fractiile:

;

R.

4) Demonstrati ca:

a) , ( ) x, y I p b) ( ) x, y I p

Rezolvare

a)     Inegalitatea propusa este echivalenta cu

, ambii factori fiind pozitivi, deci inegalitatea se verifica.

Analog se verifica si cea de-a doua.

Aceste inegalitati sunt de tip Jensen pentru functiile sinus si cosinus, restrictionate la [0,p], respectiv [0, p

5) Demonstrati ca:

"n" radicali ( ) n I N*

R. Notam , n IN*

x₁=1

Demonstram prin inductie ca

P(n) : x_n = , n I N*

Observam ca , ( ) n I N, n ≥ 2.

P(1) este o propozitie adevarata.

Presupunem P(k) adevarata ( ) si demonstram ca P(k+1) este adevarata, deci ca

. Dar

Tinand cont ca x_k > 0, obtinem , deci P(k+1) este adevarata.

6) Calculati urmatoarele sume:

a)     S₁ = sin x + sin 2x + . .+ sin nx; c) S₃ =

b)     S₂ = cos x + cos 2x + . .+ cos nx;

Rezolvare

Observam in cazul primelor doua sume ca argumentele functiilor trigonometrice (sinus si cosinus) formeaza o progresie aritmetica de ratie r = x.

Pentru a le calcula, inmultim ambii membri cu (in general cu ).

Calculam S₁, pentru ca S₂ se calculeaza in mod asemanator.

c) Vom demonstra mai intai identitatea: (*)

Membrul drept se scrie succesiv :

Conform (*), S₃ = (ctg x - ctg 2x) + (ctg 2x - ctg2²x) + . ..+(ctg2^n-1x - ctg2ⁿx) = ctg x -ctg2ⁿx.

7) demonstrati ca daca a + b+ c = , atunci

Rezolvare

, deci sin a = cos(b+c) si inegalitatea se scrie:

care este evidenta.

8.Probleme propuse

1) Calculati, scriind rezultatul sub forma de produs: a) sin 105⁰ + sin 75⁰;

b) cos 75⁰ + cos 15⁰.

2) Verificati identitatile:

3) Sa se precizeze semnul numerelor:

a) sin 5 + sin 4; b) cos 2 + cos 4; c)

a) Daca x = y+z, sa se arate ca: tg x + ctg y + ctg z = tgx ctgy ctgz

b) Daca x+y+z = p, sa se arate ca: tg x + tg y + tg z = tg x tg y tgz

c) Daca x+y+z= 2p , sa se arate ca: sin x + sin y + sin z = 4

5) Demonstrati ca:

1-cos²x - cos²y - cos²z + 2cosx cosy cosz = 4

) x, y, z I R.

6) Calculati produsul:

7) Calculati urmatoarele sume:

a) S₁= b) S₂ = cos x + cos 3x + cos 5x + . .+cos(2n-1)x.

8) Demonstrati identitatile:

a) b) sin20⁰ sin40⁰ sin60⁰ sin80⁰ =

Solutii probleme2.3

Expresia devine

Inegalitatea de demonsrat este:

care este adevarata.

Solutii probleme propuse2.5

Solutii probleme propuse2.8

1) a) Expresia este egala cu

b) Expresia devine: , etc .

2) Membrul stang al egalitatii este:

3) a) tg1⁰ tg89⁰= tg1⁰ ctg1⁰ = 1 => tg2⁰ tg88⁰ = tg2⁰ ctg2⁰ = 1 => tg44⁰ tg46⁰ = tg44⁰ tg44⁰ = 1 => tg45⁰ = 1

b) Membrul stang este: , iar membrul drept este:

Solutii probleme propuse3.3

1) sin15⁰ = sin(45⁰ - 30⁰) = sin45⁰ cos30⁰ - sin30⁰ cos45⁰ = , analog celelalte.

2) sin105⁰ = sin(90⁰ + 15⁰) = cos(90⁰ - 90⁰ - 15⁰) = cos15⁰, etc .

3) a) sin(a+b) sin(a-b)= (sina cosb + sinb cosa)(sina cosb - sinb cosa)= sin²a cos²b - sin²b cos²a = =sin²a(1-sin²b) - sin²b(1-sin²a) = sin²a - sin²a sin²b - sin²b + sin²a sin²b = sin²a - sin²b

b) Analog cu a)

a b este in cadranul II, deci a b =

a b g sunt in cadranul I si toate mai mici decat p/4 (justificati)

Deoarece tg(a b g) > 0, rezulta ca a b g I p/2) sau a b g I p p/2), ultima incadrare nefiind posibila. Ramane a b g p

8) Membrul drept al egalitatii se scrie succesiv:

(In demonstratie am folosit , care se prezinta mai tarziu, dar care se poate deduce si cu formulele utilizate pana la acest moment)

9) cosx sin(y-z) = cox(siny cosz - sinz cosy) = cosx siny cosz - cosx sinz cosy

cosy sin(z-x) = cosy sinz cosx - cosy sinx cosz

cosz sin(x-y) = coz sinx cosy - cosz siny cosx Prin adunare se obtine 0.

a) Membrul stang este:

b) Membrul stang este:

c) Membrul stang este:

d) Membrul stang este:

11) Se poate folosi si gasim

Solutii probleme propuse3

1) a) sin 6x = 2sin 5x cos x - sin 4x sin(5x + x) = 2sin 5x cos x - sin 4x sin 5x cosx + sinx cos 5x - 2sin 5x cos x = -sin 4x sin 5x cos x = sin x cos 5x + sin 4x sin 5x cos x - sin x cos 5x =

= sin 4x sin(5x - x) = sin 4x, evident.

b) Analog cu a).

c) Membrul stang se scrie succesiv:

2) a)

Membrul stang va fi:

b) cos²(x + y) - cos²(x - y) + sin 2x sin 2y=

c) Membrul stang este:

d)

e) sin(a + b) sin c + sin(b - c) sin a = sin a cos b sin c +sin b cos a sin c + sin b cos c sin a - sin c cos b sin a = sin b(sin a cos c + sin c cos a) = sin b sin (a+c).

f) Analog ca e)

g) (sin 2a + sin 4a)² + (cos 2a + cos 4a)² = sin² 2a + cos² 2a + sin² 4a + cos² 4a + 2(sin 4a.sin 2a + cos 4a cos 2a) = 2 + 2cos(4a - 2a) = 2 + 2cos 2a = 2(1+cos 2a) = 4 cos² a.

3) a)

b)

c) Vezi exercitiul rezolvat nr. 7

d) P = cos 20⁰ cos 40⁰ cos 60⁰ cos 80⁰

e) , f) se fac calcule in membrul stang.

g)

4) a) Membrul stang se scrie astfel:

cos² 2x -2cos 2x cos(x-y) cos(x+y) + cos² (x-y) cos²(x+y) + cos² (x-y) - cos² (x-y) cos²(x+y)=

[cos2x - cos(x-y) cos(x+y)]² + cos² (x-y) sin²(x+y) = [cos 2x - (cos x cos y + sin x siny) (cos x cosy - sin x sin y)]² + cos²(x-y) sin2(x+y)= (cos 2x - cos² x cos² y + sin² x sin² y)²+ cos²(x-y) sin²(x+y)= (cos² x - cos²x cos²y + sin²x sin²y - sin² x)²+ cos²(x-y) sin² (x+y) = (cos² x sin²y -

- sin² x cos² y)² + cos² (x-y) sin² (x+y) = (sin x cos y - sin y cos x)² (sin x cos y + sin y cos x)²+

+ cos²(x-y) sin²(x+y) = sin² (x-y) sin² (x+y) + cos² (x-y) sin² (x+y) = sin² (x+y).

Membrul drept este:

sin² x + 2sin x sin y cos (x+y) + sin² y cos² (x+y) - sin² y cos² (x+y) + sin² y =

= [sin x + sin y cos(x+y)]² + sin² y sin² (x+y) = (sin x + sin y cos y - sin² y sin x)² + sin²y sin²(x+y)= (sin x cos² y + sin y cos x cos y)² + sin² y sin² (x+y) = cos² z(sin x cos y

+ sin y cos x)² + sin² y sin² (x+y) = cos² y sin² (x+y) + sin² y sin² (x+y) = sin² (x+y).

b) Inegalitatea este echivalenta cu:

care este adevarata in conditiile problemei

5) Vezi exercitiul rezolvat nr. 4

6) , api se procedeaza ca la exercitiul rezolvat nr. 6. Se gaseste

Solutii     probleme propuse8

1) a) sin105⁰ + sin75⁰ =

b) Analog a)

2) a)

b)

3)

5) Membrul stang este:

7) a) Se cauta o descompunere a termenului general de tipul f(k) - f(k+1).

In acest sens, verificam identitatea:

sumand egalitatea, obtinem :

b) Vezi exercitiul rezolvat nr. 6)

a) Se poate aplica metoda de la 7 b), adica se poate inmulti egalitatea cu , etc . .

b) P = sin20⁰ sin40⁰ sin60⁰ sin80⁰ =