	Biologie	Chimie	Didactica	Fizica	Geografie	Informatica
	Istorie	Literatura	Matematica	Psihologie

Matematica

Index » educatie » Matematica
» REZOLVAREA ECUATIILOR IN NUMERE INTREGI

REZOLVAREA ECUATIILOR IN NUMERE INTREGI

REZOLVAREA ECUATIILOR IN NUMERE INTREGI

Clasa: a IX-a, 4 ore pe saptamana

Subdisciplina: Algebra

Scopul: Dobandire de noi cunostinte si aprofundarea cunostintelor acumulate anterior

Competente:

Competente generale:

Identificarea unor date si relatii matematice si corelarea lor in functie de contextul in care au fost definite

Prelucrarea de tip cantitativ, structural, contextual cuprinse in enunturi matematice

Utilizarea algoritmilor si a conceptelor matematice pentru caracterizarea locala sau globala a unei situatii concrete

Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situatii concrete si a algoritmilor de prelucrare a acestora

Analiza si interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situatii problema

Modelarea matematica a unor contexte, probleme variate, prin integrarea cunostintelor din diferite domenii

Competente specifice:

Indentificarea in limbaj cotidian sau in probleme a unor notiuni specifice logicii matematice si teoriei multimilor

Utilizarea proprietatilor algebrice ale numerelor, a estimarilor si aproximarilor in contexte variate inclusiv folosind calculatorul

Alegerea formei de reprezentare a unui numar real si utilizarea de algoritmi pentru optimizarea calculului cu numere reale

Caracterizarea unor multimi de numere si a relatiilor dintre acestea utilizand limbajul logic matematic si teoria multimilor

Analiza unor contexte uzuale si matematice( de exemplu: redactarea solutiei unei probleme) utilizand limbajul logicii matematice si teoria multimilor

Transpunerea unei situatii-problema in limbajul matematic, rezolvarea problemei obtinute si interpretarea rezultatului

Obiective operationale:

La sfarsitul lectiei elevii vor fi capabili sa rezolve ecuatiile in multimea numerelor intregi

Sa precizeze si o alta forma de utilizare a metodei inductiei matematice decat cea utilizata frecvent

Metode, mijloace, tehnici de instruire si materiale:

Dupa cum se stie de la cursul de pedagogie sarcinile didactice se realizeaza cu ajutorul metodelor, tehnicilor si procedeelor didactice. Folosirea judicioasa a metodelor are o deosebita importanta pentru reusita maxima a muncii profesorului, caci metoda aleasa influenteaza in mare masura calitatea cunostintelor

Continutul nou al matematici scolare a determinat largirea evantaiului de metode utilizate pentru invatarea lui. Matematica trebuie prezentata ca o stiinta deschisa in dezvoltare. Este daunator sa fie predate sub forma unor suite de cunostinte prefabricate statice. Este necesara formarea la elev a unor notiuni semnificative bine structurate si cu mari probabilitati de transfer

Strategii didactice:

Conversatia pentru captarea atentiei, reactualizarea principiului si pentru enuntarea titlului lectiei si a obiectivelor

Explicatia, expunerea pentru prezentarea continutului propriu-zis

Exercitiul, munca in grup, invatarea prin descoperire pentru a asigura transferal conexiunea inversa si retinerea informatiei si pentru a dezvolta capacitatea de a opera cu cunostintele asimilate

Mijloacele folosite in aceasta lectie:

Pentru atingerea obiectivelor propuse, folosim urmatoarele mijloace materiale: creta, tabla, manualul, culegerea de probleme si fisele de lucru, aceasta din urma avand rolul de a imbina in secventa de predare-invatare si activitati bazate pe efortul individual al elevului.

Forme de organizare a activitatii:

Folosirea metodelor de comunicare (conversatia, expunerea, explicatia ) impune o organizare frontal a clasei care fiind centrata pe profesori favorizeaza transmiterea cantitativa a informatiei de la profesor spre elevi (tot continutul lectiei este transmis la toti elevi intr-un timp relativ scurt), iar folosirea exercitiului, a muncii independente favorizeaza organizarea individuala, care il transforma pe elev in coparticipant la propria instruire.

Continutul notional matematic:

Problema rezolvarii ecuatiilor in numere intregi nu prezinta numai un interes teoretic, aceste ecuatii sunt strans legate de multe probleme din teoria numerelor. Asemenea ecuatii se intalnesc uneori in fizica.

1.ECUATII CU O SINGURA NECUNOSCUTA

Exemplu: Sa examinam o ecuatie de gradul intai cu o necunoscuta

a₁x+a₀=0 (1)

a₁, a₀ Z

Este clar ca solutia acestei ecuatii

x= -

va fi un numar intreg numai in cazul cand a₀ se imparte exact la a₁ . Prin urmare ecuatia (1) nu poate fi intotdeauna rezolvata in Z; astfel de exemplu, dintre urmatoarele doua ecuatii 3x-27=0 si 5x+21=0, prima are o solutie intreaga x=9, iar a doua nu poate fi rezolvata in Z.

Acelasi fapt il observam si la ecuatii de grad mai mare decat unu: ecuatia de gradul al doilea x²+x-2=0 are solutii intregi x₁=1 si x₂=-2; ecuatia x²-4x+2=0 nu poate fi rezolvata in Z, deoarece radacinile sale x_1,2=2± sunt irationale.

Problema gasirii radacinilor intregi ale ecuatiei de gradul n cu coeficienti intregi

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ . +a₁x+a₀=0 (n≥1) (2)

se rezolva usor.

Fie x=a Z =>

a_naⁿ+a_n-1a^n-1+ . +a₁a+a₀=0

a₀=-a(a_na^n-1+a_n-1a^n-2+ . +a₁)

Din ultima egalitate se vede ca a₀ se imparte exact cu a. Prin urmare, fiecare radacina intreaga a ecuatiei (2) este un divizor al termenului liber al ecuatiei.

Pentru gasirea radacinilor intregi ale ecuatiei, trebuie alesi acei divizori ai lui a₀ care inlocuiti in ecuatie o transforma intr-o identitate. Astfel, de exemplu dintre numerele 1,-1,2 si -2 care reprezinta toti divizorii termenului liber al ecuatiei

x¹⁰+x⁷+2x+2=0

numai -1 este o radacina a acestei ecuatii. Prin urmare, ecuatia de mai sus are o singura radacina intreaga x=-1.

2.ECUATIA DE GRADUL INTAI CU DOUA NECUNOSCUTE

Exemplu: Sa se rezolve ecuatia

ax+by+c=0 (3)

unde a, b Z a≠0, b≠0 iar c un numar intreg oarecare.

Vom considera ca a si b nu au divizori comuni in afara de unu. Intr-adevar daca cel mai mare divizor comun al acestor coeficienti d=(a,b) este diferit de unu atunci sunt valabile egalitatile a=a₁d si b=b₁d, ecuatia (3) devine

daca

Sa examinam prima data cazul I cand c=0. Ecuatia (3) devine

Este clar ca x va avea valori intregi numai in cazul I cand y se imparte exact cu a. Dar orice numar intreg y multiplu a lui a poate fi scris sub forma

Y=at

unde t ia valori intregi arbitrare (t=0, ±1, ±2, . )

Inlocuind aceasta valoare a lui y in ecuatia de mai sus obtinem

=-bt

si deci obtinem formulele care contin toate radacinile intregi ale ecuatiei (3):

x=-dt (t=0, ±1, ±2, . )

y=at

Cazul II c≠0

Sa aratam in primul rand, ca pentru a gasi toate solutiile intregi ale ecuatiei (3) este suficient sa gasim o solutie oarecare a acestei ecuatii, adica sa gasim doua numere intregi x₀ si y₀ pentru care sa fie satisfacuta relatia:

ax₀+by₀+c=0

TEOREMA 1: Fie a si b doua numere prime intre ele si [x₀,y₀] o solutie oarecare a ecuatiei ax+by+c=0 (3)

In acest caz formulele

x=x₀-bt (4)

y=y₀+at pentru t=0, ±1, ±2, .

ne dau toate solutiile ecuatiei (3).

3.ECUATII DE GRADUL AL DOILEA CU TREI NECUNOSCUTE

Exemplu: Sa examinam ecuatia

x²+y²=z² (5)

Notam: d=(x,y) . In acest caz putem scrie

x=x₁d

y=y₁d =>

x₁²d²+y₁²d²=z²

De aici rezulta ca z² se imparte exact cu d² si prin urmare z e un multiplu al lui d:

z=z₁d

Acum putem scrie ecuatia (5) sub forma

:d²

Prin urmare fie (x,y)=1. In acest caz, cel putin una dintre marimile x si y va fi impara. Mutand pe y² in membrul al doilea al ecuatiei (5) obtinem:

x²=z²-y²

x²=(z+y)(z-y) (6)

Notam cu d₁ cel mai mare divizor comun al expresiilor z+y si z-y. In acest caz, avem

z+y=ad₁

z-y=bd₁ (7)

unde a si b sunt numere intregi prime intre ele. Inlocuind in (6) valoarea lui z+y si z-y din (7) obtinem:

x²=abd₁²

Deoarece numerele nu au divizori comuni, egalitatea de mai sus este posibila numai in cazul cand a si b vor fi patrate perfecte

a=u²

b=v²

x²=u²v²d₁²

x=uvd₁ (8)

Sa gasim y si z din ecuatiile (7). Prin adunarea acestor egalitati obtinem:

2z=ad₁+bd₁

=u²d₁+v²d₁

z=d₁ (9)

Prin scaderea celei de a doua egalitati (7) din prima, obtinem:

2y=ad₁-bd₁

=u²d₁-v²d₁

y=- -d₁ (10)

Pe baza faptului ca x este impar, rezulta din (8) ca u,v si d₁ sunt de asemenea numere impare. Mai mult decat atat d₁=1 deoarece in caz contrar din egalitatile

x=uvd₁

y=d₁

ar rezulta ca numerele x si y au un divizor comun d₁≠1 ceea ce contrazice ipoteza facuta, ca numerele respective sunt prime intre ele.

Numerele u si v sunt legate de numerele prime intre ele a si b prin egalitatile

a=u²

b=v²

si din aceasta cauza ele sunt prime intre ele; v<u, deoarece b<a, dupa cum rezulta clar din egalitatile (7). Inlocuind in egalitatile (8),(9) si (10) valoarea d₁=1 obtinem formulele

, , (11)

care pentru u si v (v<u) impare si prime intre ele, ne dau toate grupele de trei numere pozitive si intregi, fara divizor comun x, y si z, care satisface ecuatia (5). Prin simpla inlocuire a valorilor x,y si z din (11) in (5), se poate verifica usor ca pentru orice valori ale lui u si v formulele (11) satisfac aceasta ecuatie.

Pentru primele valori ale lui u si v formulele (11) duc la urmatoarele egalitati:

(v=1, u=3)

(v=1, u=5)

(v=3, u=5)

Formulele (11) dau numai acele solutii ale ecuatiei

x²+y²=z²

pentru care numerele x, y si z nu au divizor comun. Toate celelalte solutii intregi si pozitive ale acestei ecuatii se obtin prin inmultirea solutiilor date de formulele (11) cu un factor arbitrar d.

4.ECUATIILE DE FORMA x²-Ay²=1

Exemplu: Sa se gaseasca toate solutiile ecuatiei de forma

x²-Ay²=1 AєZ A>0

insa A nu este patrat perfect.

Dar mai intai va trebui sa dezvoltam in fractii continue numerele irationale de tipul

(12)

etc.

Din metoda formarii reduselor succesive rezulta

In general, daca este data o dezvoltare in functie continua infinita a unui numar irational oarecare α

Pentru redusele acestei fractii sunt satisfacute inegalitatile

(13)

scriem redusa sub forma

(14) (relatia dintre doua fractii reduse vecine)

Sa aratam acum valabilitatea inegalitatii

(15)

Partea stanga a acestei inegalitati se obtine imediat, deoarece conform inegalitatii (13) avem:

Demonstratia partii drepte a inegalitatii (15) se face de asemenea usor. Din (13) rezulta

de aici inlocuind pe , obtinem

Sa folosim acum rezultatele obtinute pentru rezolvarea ecuatiei

(16)

Transformam membrul intai al acestei ecuatii

Inlocuim:

(17)

Ambii membri ai acestei egalitati sunt numere intregi. Sa aratam ca sunt numere intregi egale cu 1. In acest scop folosim inegalitatea (15) pentru

(18)

De aici reiese ca ambii factori din membrul al doilea al relatiei (17) sunt pozitivi si prin urmare

Pe de alta parte

Dar, pe baza relatiei (13)

Inmultind intre ele aceste inegalitati obtinem:

rezulta din relatia(18)

si deoarece pentru avem

Am demonstrat ca numarul intreg , satisface inegalitatile:

adica, numarul si sunt pentru _{o solutie a ecuatiei}

Nu stim inca daca solutiile gasite de noi pentru ecuatiile (16) reprezinta toate solutiile acestei ecuatii.

Acum se pune in mod natural problema de a gasi toate solutiile intregi si ale ecuatiei

(19)

Pentru , si numar irational.

Vom incerca sa gasim o solutie minima a ecuatiei (19)

Presupunem ca ecuatia (19) are o solutie nebanala si

(20)

Vom numi aceasta solutie minima daca pentru si binomul va avea valoarea cea mai mica dintre toate valorile posibile pe care le poate primi inlocuind pe si cu toate solutiile intregi si pozitive posibile ale ecuatiei (19).

Sa presupunem ca doua solutii pentru care binomul ar avea aceeasi valoare

(21)

Insa, este un numar irational, iar ,,, . Prin urmare, dupa cum rezulta direct din egalitatea (21)

contradictie

Sa observam, inca o proprietate a solutiilor ecuatiilor (19)

Fie o solutie a ecuatiei (19). Atunci

sau (22)

(23)

(24)

si sunt solutii ale ecuatiei (19).

Schimband semnul lui din egalitatea (24) obtinem

(25)

Inmultind termen cu termen egalitatile (24) si (25) si folosind egalitatea (13) obtinem:

(26)

TEOREMA 2. Orice solutie a ecuatiei (19)

pentru A pozitiv, irational, este de forma unde:

(27)

Iar este solutia minima.

5. ECUATII CU DOUA NECUNOSCUTE DE GRAD MAI MARE DECAT AL DOILEA

Exemplu: (28) unde ,

Impartind ambii membri ai ecuatiei (28) cu , ecuatia noastra ia forma:

(29)

Pentru simplitatea expunerii, vom presupune nu numai ca toate radacinile ecuatiei

Sunt diferite si ca , ci si ca radacinile acestei ecuatii nu pot fi radacini ale ecuatiilor cu coeficienti intregi de grad inferior.

In algebra superioara se demonstreaza ca orice ecuatie algebrica are cel putin o radacina rezultand ca orice polinom se imparte exact cu , daca , este radacina a sa.

Polinomul poate fi scris sub forma produsului

Unde , , . , sunt toate cele n radacini ale polinomului respective. Folosind aceasta reprezentare a polinomului sub forma unui produs, ecuatia (29) devine:

(32)

Sa admitem ca exista o infinitate de solutii ale ecuatiei (32). Aceasta inseamna ca exista solutii cu valori absolute oricat de mari ale lui . Daca ar exista o infinitate de perechi cu valori ale lui , limitate, mai mici in valoare absoluta decat un numar oarecare determinat, si cu valori ale lui oricat de mari, atunci pentru asemenea valori ale lui membrul intai al ecuatiei ar fi oricat de mare, iar membrul al doilea ar fi limitat, ceea ce este imposibil. Fie foarte mare. In acest caz membrul al doilea al ecuatiei (32) va fi mic si prin urmare si membrul intai al acestei ecuatii trebuie sa fie mic. Dar membrul intai este produsul a factori care contin pe si care fiind un numar intreg va fi cel putin egal cu 1. Prin urmare, faptul ca membrul intai este mic se poate datora numai faptului ca una din diferentele

este mica in valoare absoluta. Este clar ca aceasta diferenta poate fi mica numai in cazul cand cu alte cuvinte cand nu exista , . In caz contrar modulul diferentei nu poate fi oricat de mic

Doua din diferentele care constituiesc factori ai membrului intai al ecuatiei (32) nu pot avea in acelasi timp un modul

(33)

mic deoarece printre numerele nu exista doua numere egale.

Daca o diferenta are un modul sau o valoare absoluta mai mica decat , cealalta, pe baza relatiei (33) trebuie sa fie mai mare decat . Notand valoarea acestei diferente cu 2d, rezulta ca pentru un suficient de mare avem relatia

, (34)

Dar, daca vom inlocui in aceasta egalitate fiecare din diferentele , cu marimea mai mica d, iar pe il vom inlocui cu unu, membrul intai al ecuatiei (35) devine mai mic decat membrul al doilea si obtinem inegalitatea

(36)

unde c nu depinde de si . Numarul valorilor nu este mai mare decat n, iar perechile pentru care trebuie sa fie valabila inegalitatea (36) pentru un m determinat astfel incat pentru un corespunzator, inegalitatii (36) este satisfacuta de o infinitate de ori. Altfel spus, daca ecuatia (28) are o infinitate de solutii in numere intregi, ecuatia algebrica (30) cu coeficienti intregi, are o radacina , pentru care la valori ale lui q oricat de mari va fi satisfacuta inegalitatea

(37)

unde A numar constant care nu depinde de p si q, iar n este gradul ecuatiei pe care o satisface . Daca ar fi un numar real oarecare, el ar putea fi astfel ales incat ar exista intr- adevar o infinitate de solutii ale inegalitatii (37) in numerele intregi p si q. In cazul nostru insa este radacina unei ecuatii algebrice si se bucura de anumite proprietati.

S-a demonstrat ca pentru un numar algebric de gradul n, inegalitatea

Poate avea numai un numar finit de solutii in numerele intregi p si q. Dar daca membrul al doilea al inegalitatii (37) pentru un q suficient de mare, devine mai mic decat membrul al doilea al inegalitatii (38) deoarece . De accea daca inegalitatea (37) poate avea numai un numar finit de solutii intregi p si q, inegalitatea (37), cu atat mai mult poate avea numai un numar finit de solutii. Rezulta ca ecuatia (28) poate avea numai un numar finit de solutii in, cand toate radacinile ecuatiei (30) nu pot fi radacini ale unei ecuatii cu coeficienti intregi de grad mai mic decat n. Dupa cum se poate usor stabili pentru n=2 inegalitatea (37) poate avea intr- adevar o infinitate de solutii pentru o valoare anumita a lui A.

Aceasta demonstratie nu da posibilitatea de a gasi limita valorilor solutiilor, in schimb ea permite gasirea unei limite pentru numarul solutiilor ecuatiei (30).

Pentru anumite clase de ecuatii de tipul (30) aceasta limita poate fi mult mai precizata.

Exemplu: Matematicianul B.N.Delone a aratat ca ecuatia

pentru , poate avea in afara de solutia banala x=0, y=1, cel mult o solutie in numerele intregi x si y. In afara de aceasta, el a aratat ca ecuatia

poate avea cel mult cinci solutii in numere intregi x si y dacs a, b, c, d

Fie un polinom oarecare cu coeficienti intregi ai lui x si y, cu alte cuvinte

unde sunt numere intregi . este ireductibil.

Matematicianul K. Siegel a demonstrat ca ecuatia

unde cuprinde un termen de forma in care si poate avea o infinitate de solutii in numere intregi, numai in cazul cand exista numerele si care introduce in locul lui x si y in ecuatia noastra

Ne dau identitatea

In raport cu t. oarecare

6. ECUATII ALGEBRICE DE GRAD MAI MARE DECAT AL DOILEA CU TREI NECUNOSCUTE SI CATEVA ECUATII EXPONENTIALE

TEOREMA IV. Ecuatia lui Fermat

(39)

Nu poate fi rezolvata in numere intregi si ,

Demonstratie: Vom demonstra ca ecuatia

( 40)

Nu poate fi rezolvata in , . Din (40) rezulta ca ecuatia ( 39) nu are solutii. Daca ecuatia (40) are ca solutii numerele , , se poate presupune ca aceste numere sunt doua cate doua prime intre ele. Rezulta

, cand unde

Impartind ambele parti ale ecuatiei (40) cu obtinem

(41)

Dar =>

Daca si ar avea un divizor comun , atunci pe baza relatiei (41) ar trebui sa se imparta exact cu k si prin urmare si k nu ar putea fi prime intre ele. Presupunem ca ecuatia (40) are o solutie in si prime intre ele doua cate doua.

In 3 , am demonstrat ca toate solutiile ecuatiei (5)

(42)

In numere intregi pozitive si prime intre ele doua cate doua sunt determinate cu ajutorul formulei (11) fiind de forma

(43)

Unde u si v sunt doua numere oarecare pozitive impare prime intre ele. Deoarece u si v sunt numere impare scriind

(44)

Determinam numerele u si v din egalitatile

(45)

Unde a si b numere intregi de paritate diferita. Egalitatile (44) si (45) arata ca oricarei perechi de numere impare prime intre ele u si v ii corespunde o pereche de numere prime intre ele a si b de paritate diferita si reciproc.

De aceea inlocuind in (43) pe u si v in functie de a si b rezulta

(46)

Cand x>0.

Daca ecuatia (40) are o solutie aceasta inseamna ca

In acest caz trebuie sa existe doua numere a si b , a>b, (a,b)=1 si de paritate diferita astfel incat

Admitem totodata ca este impar si par. Se stie ca patratul unui numar impar impartit la 4 da ca rest 1. De aceea din egalitatea

(47)

Rezulta ca a este impar iar b este par. Deoarece a este impar si (a,b)=1 => (a,2b)=1, atunci din egalitatea

=> (48)

Unde . Dar din relatia (47) => ca este o solutie a ecuatiei (42). Prin urmare

Unde (m,n)=1 si de paritate diferita. Din (48) =>

De unde tinand seama ca m si n sunt prime intre ele rezulta

, , , (49)

Deoarece si =>

(50)

Dar

(51)

Inlocuind pe q cu , pe p cu si , observam ca exista si o alta solutie , iar

Metoda poate fi continuata nelimitat si obtinem sirul de solutii

Unde numerele intregi pozitive vor fi monoton descrescatoare.

Dar numerele intregi pozitive nu pot forma un sir infinit monoton descrescator, deoarece acest sir nu poate contine mai mult decat termeni. Deci afirmatia ca ecuatia (40) are cel putin o solutie in este falsa. Ecuatia (40) neavand nici o solutie in => ca nici ecuatia (39) nu are solutii in numerele intregi pozitive

Metoda de demonstrare a acestei teoreme se numeste metoda cascadei.

Modalitati de evaluare:

Evaluarea este un proces continuu

Evaluarea initiala care se realizeaza la inceputul unei secvente, unui capitol, ciclul de invatare

Evaluarea continua care are loc pe tot parcursul desfasurarii procesului de invatare

Aceasta vizeaza nu atat competentele finale ale elevului cat mai ales formarea unei judecatii asupra eficacitatii invatarii

Metode si procedee in evaluarea continua:

Observarea si aprecierea verbala

Chestionarea orala

Lucrare scrisa

Evaluarea cumulativa, sumativa sau globala (la sfarsitul unitatii de invatare, oferindu-se posibilitatea aprecierii modului in care au fost atinse obiectivele, folosind testul standardizat si portofolii)

Evaluarea acestei parti se face printr-un raport in care fiecare elev va interpreta datele clasei referitoare la disciplina matematica pe semestrul trecut si printr-o lucrare de 15-20 de minute.

Exercitii evaluative:

Sa se gaseasca toate solutiile ecuatiilor: