Tangenta si planul normal intr-un punct al unei curbe

Tangenta si planul normal intr-un punct al unei curbe

Ca si in cazul curbelor plane, tangenta in punctul al curbei Γ se defineste ca pozitia limita a secantei cand punctul P de pe curba Γ tinde catre .

Planul normal la curba Γ in punctul este planul care trece prin punctul si este perpendicular pe tangenta in acest punct la curba.

Pentru a gasi reprezentarea analitica a tangentei vom considera doua cazuri, dupa cum curba este definita prin ecuatii implicite sau prin ecuatii parametrice.

Tangenta si planul normal intr-un punct al unei curbe definite
prin ecuatii implicite

Fie si un punct al curbei Γ, adica: .

Derivabilitatea functiilor F si G in inseamna ca exista o vecinatate a acestui punct in care au loc urmatoarele egalitati:

(3.1)

in care α si β sunt functii care tind catre zero cand punctul tinde catre punctul , iar inseamna distanta de la punctul la punctul P.

Daca punctul P din vecinatatea lui se afla si el pe curba, inseamna ca , iar din (3.1) rezulta:

(3.2)

Consideram vectorii:

(3.3)

Mentionam ca acesti vectori se numesc gradientii functiilor F si G in si au notatia consacrata.

Folosind relatiile (3.2) si (3.3), obtinem cosinusurile unghiurilor dintre acesti vectori si vectorul definit de sageata cu sursa in si capatul in P:

Deoarece si tind catre zero cand punctul P de pe curba Γ tinde catre punctul , rezulta ca atunci cand P tinde catre
secanta devine perpendiculara pe gradientii in ai functiilor F si G.

Asadar ecuatiile tangentei la curba Γ in se obtin punand conditia ca, pentru orice punct de pe tangenta, vectorul de sursa si capat Q
sa fie perpendicular pe gradientii in ai functiilor F si G:

(3.4)

In ceea ce priveste planul normal la curba Γ in punctul , cunoastem deja doi vectori situati in acest plan, si anume gradientii in ai functiilor F si G, care am vazut ca sunt perpendiculari pe tangenta.

Prin urmare, notand tot coordonatele unui punct Q aflat de asta data in planul normal, conditia ce trebuie sa o indeplineasca aceste coordonate este ca vectorul sa fie coplanar cu gradientii in ai functiilor F si G. Asadar produsul mixt al celor trei vectori trebuie sa fie egal cu zero.

Folosind formula de calculare a produsului mixt a trei vectori, obtinem ecuatia planului normal la curba Γ in punctul :

(3.5)

Tangenta si planul normal intr-un punct al unei curbe definite
prin ecuatii parametrice

Fie Γ o curba definita prin ecuatii parametrice:

Reamintim ca sunt coordonatele carteziene ale unui punct P al curbei, iar sunt functiile ale caror valori sunt coordonatele . Domeniul de definitie este o reuniune finita de intervale ale dreptei reale.

Curba Γ se poate defini si sub forma vectoriala:

.

Fie un punct al curbei si astfel ca:

. (3.6)

Din expresiile vectorilor si obtinem:

, (3.7)

de unde rezulta:

. (3.8)

Deoarece directia unui vector nu se schimba prin inmultirea sa cu un scalar (avem in vedere impartirea cu ), rezulta ca directia vectorului obtinut in (3.8) este directia limita a secantei cand punctul P de pe curba tinde
catre . Asadar vectorul are directia tangentei la curba Γ, deci coordonatele sale sunt parametrii directori ai tangentei.

Putem scrie ecuatiile tangentei sub forma canonica:

, (3.9)

in care sunt coordonatele carteziene ale unui punct Q situat pe tangenta in punctul .

Vectorul , avand directia tangentei, este perpendicular pe planul normal la curba Γ, deci coordonatele acestui vector sunt parametrii directori ai normalei acestui plan. Deci ecuatia planului normal la curba Γ in punctul este:

, (3.10)

in care sunt coordonatele carteziene ale unui punct Q situat, de data asta, in planul normal al curbei Γ in