MULTIMI

MULTIMI

MULTIME. ELEMENTE.

Prin multime, in viata de zi cu zi intelegem o grupare, colectie, ansamblu etc.

Exemplu: multimea elevilor dintr-o clasa, multimea oraselor tarii, multimea florilor dintr-un buchet etc.

Multimea este o notiune care nu se defineste ci se formeaza pe baza de exemple, descriere. Obiectele care formeaza o multime se numesc elemente.

Multimile se noteaza cu literele mari ale alfabetului, A, B,. .Daca un obiect face parte dintr-o multime, atunci spunem ca acel obiect apartine acelei multimi .

Daca elementul a apartine multimii A scriem .Daca elementul b nu apartine multimii A scriem .

REPREZENTAREA UNEI MULTIMI

1. Prin enumerarea elementelor Elementele unei multimi se scriu intre doua acolade astfel: . Cand o multime se scrie prin enumerarea elementelor acestea pot fi scrise in orice ordine, dar numai o singura data. Daca vrem sa scriem multimea numerelor naturale care se noteaza cu N vom scrie Multimea numerelor naturale este infinita, adica putem sa scriem un numar infinit de elemente fara a le repeta.
2. Prin scrierea propritatilor elementelor sale. De exemplu daca vrem sa scriem multimea     M copiilor x din clasa a 5- A vom scrie astfel: si vom citi multimea M formata din elementelex, pentru care x apartine clasei a 5-a A. Bara verticala se citeste" pentru care".

Se noteaza cu multimea numerelor naturale fara elemental 0. Atunci putem scrie:

3.Cu ajutorul unei diagrame. Pentru a reprezenta graphic o multime se utilizeaza un contur inchis numita diagrama VENN-EULER.

Multimea care nu are elemente se numeste multime vida si se noteaza cu simbolul .

Numarul de elemente ale unei multimi finite A se numeste numarul cardinal al lui A sau cardinalul lui A.Se noteaza: card A .

EXERCITII.

Reprezentati multimile urmatoare folosind unul din modelele aratate.

i)            A=multimea literelor ce alcatuiesc cuvantul elev.

ii)         B=multimea numerelor naturale pare mai mici decat 15.

iii)      C=multimea numerelor naturale impare mai mici decat 16.

iv)        D=multimea divizorilor naturali ai lui 18.

v)          E=multimea multiplilo rmai mici ca 31 ai lui 5.

vi)       

vii)    

viii)          

Folositi diagramele pentru a reprezenta multimile aflate mai sus.

Scrieti cardinalul fiecarei multimi de mai sus.

Aflati multimea

RELATII INTRE MULTIMI.

Observam ca diagrama verde a multimii B formata din triunghiuri este in interiorul diagramei rosii a multimii A formata din triunghiuri si patrate. Putem spune in acest caz ca multimea B este inclusa in multimea A.

Notam acest lucru . Multimea B este o submultime a multimii A sau o parte a lui A.

Daca orice element al unei multimi B apartine si altei multimi A care are si alte elemente care nu apartin lui B spunem ca multimea B este inclusa strict in multimea A si scriem     . Acest lucru este ilustrat de diagramele de mai sus.

OBSERVATII

1. Cand intre doua multimi M si N exista relatia de incluziune stricta spunem ca M este o submultime proprie a lui N.

2. Orice multime este inclusa in ea insasi:

3. Multimea vida este considerata o submultime proprie a oricarei multimi nevide.

Multimea formata din toate partile unei multimi A se numeste multimea partilor lui A si se noteaza

Daca intre doua multimi A si B avem simultan relatiile atunci putem spune ca cele doua multimi sunt egale: .

Doua multimi sunt egale daca au aceleasi elemente; fiind egale au acelasi cardinal.

Deci intre doua multimi A si B putem avea urmatoarele relatii:

i)            Multimea A este egala cu multimea B.

ii)           Multimea A nu este egala cu multimea B.

iii)         Multimea A este inclusa in multimea B.

iv)         Multimea A este inclusa sau egala cu multimea B.

v)          Multimea A nu este inclusa in multimea B.

vi)         Multimea A include multimea B.

EXERCITII

1.Scrieti valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii:

i)

ii)

iii)

iv)

v)

2. Scrieti toate submultimile multimii

3. Determinati multimea A stiind ca   

4. Se dau multimilesi.Determinati a si b astfel incat multimile sa fie egale.

5.Se dau multimile si . Sa se afle x astfel incat

6. Se da multimea . Sa se scrie multimea N formata din toate submultimile multimii M.

7. Sa se determine multimile(si cardinalul lor) si .Sa se scrie relatia dintre cele doua multimi.

8. Sa se determine multimilesi .Sa se scrie cardinalul lor si relatia dintre ele.

OPERATII CU MULTIMI

REUNIUNEA

Multimea formata din elementele care apartin cel putin uneia dintre multimile A si B se numeste reuniune. Se noteaza

Reprezentarea prin diagrame este: reuniunea celor doua multimi este formata din portiunea rosie, verde si maron.

Se dau

Reuniunea multimilor este comutativa:

INTERSECTIA

Multimea formata doar din elementele comune celor doua multimi formeaza intersectia Se noteaza

Reprezentarea prin diagrame: intersectia celor doua multimi este reprezentata de portiunea verde a diagramei.

Se dau multimile

Intersectia este o operatie comutativa:

Daca atunci multimile sunt disjuncte.

DIFERENTA

Multimea formata din elementele multimii A care nu apartin si multimii B. Se noteaza .

Reprezentarea prin diagrame: reprezentarea diferentei este portiunea rosie din figura.

Se dau multimile

Observam ca diferenta nu este comutativa.

PRODUSUL CARTEZIAN

Multimea formata din toate perechile care au primul element din multimea A si al doilea element din multimea B se numeste produs cartezian al multimilor A si B. Se noteaza

Se dau si

Observam ca produsul cartezian nu este comutativ.

OBSERVATIE

1. Cardinalul produsului cartezian este egal cu produsul cardinalelor celor doua multimi

Card Card ACard B

2. Un alt mod de reprezentare a produsului cartezian este diagrama carteziana.

Se dau

Prima componenta

se ia pe axa

orizontala, iar

a doua se ia pe axa

verticala.

Am reprezentat

astfel produsul cartezian