VARIABILE ALEATOARE DISCRETE

1. Variabile aleatoare. Functie de repartitie.

Definitie: Variabila aleatoare este o functie notata X sau f : E R care asociaza evenimentelor eIE, numerele reale X(e)IR

Altfel spus, X : E R este variabila aleatoare daca pentru fiecare xI R, evenimentul definit de X^-1(x)= apartine multimii K.

Observatie: Denumirea de variabila aleatoare data acestei notiuni importante din teoria probabilitatilor nu are nimic aleator; ea este perfect determinata pentru evenimentele din E. De asemenea ea nu este o variabila ci este o functie asa cum rezulta si din definitie.

Definitie: Functia F_X : R [0, 1] definita prin: F_X(x)= P(eIE, X(e) x) se numeste functia de repartitie a variabilei aleatoare X.

Proprietati ale functiei de repartitie :

a)      F_X(x) I [0, 1], F_X(x) = 1, F_X(x)= 0

b)      F_X(x + h) F_X(x) pentru h > 0

c)      P(eIE, a < X(e) b) = F_X(b) - F_X(a)

Daca valorile luate de variabila aleatoare X sunt in numar finit sau numarabil, spunem ca X este o variabila aleatoare discreta. Ea este perfect determinata daca se cunosc valorile luate de variabila aleatoare precum si probabilitatile cu care se iau aceste valori.

Putem scrie: X : , p_n = P(X = x_n), n= 1, 2,.. si p₁+p₂++p_n+ = 1

Definitie: Un asemenea tablou se numeste repartitia variabilei aleatoare X.

2. Exemple de repartitii discrete

1.Repartitia uniforma este data de:X :

2.Repartitia hipergeometrica Se obtine plecand de la problema:

Consideram un lot de "N" piese dintre care "Nq" cu 0 < q < 1 sunt defecte. Dintre acestea se aleg la intamplare "n". Care este probabilitatea ca printre cele "n" piese "k" sa fie defecte?

X : k = 0, 1, , min (Nq, n).

3.Repartitia binomiala (X Bi(n,q)). Se obtine din repartitia hipergeometrica in cazul in care "N" ia valori foarte mari ( deci N).

X:

Modelul asociat este: un experiment, al carui rezultat este realizarea sau nerealizarea evenimentului A cu probabilitatea de realizare a lui A egala cu p, se repeta de n ori in aceleasi conditii. Ne intereseaza probabilitatile de realizare a evenimentului A in cele n probe.

4. Repartitia Poisson sau legea evenimentelor rare (X Po(l

Daca in repartitia binomiala n astfel ca nq l l constanta reala pozitiva) obtinem repartitia variabilei

X:

Observatie: Din relatia nq l rezulta ca atunci cand n q 0 deci, probabilitatea de a obtine un defect este foarte mica.

5. Repartitia geometrica

Daca experimentatorul este interesat in aparitia unui anumit eveniment posibil de a se produce ca urmare a experientei, vrea sa stie de cate ori trebuie sa repete experienta pana cand apare evenimentul A.

Variabila aleatoare X = numarul de repetari ale experientei, are repartitia.

X:

unde "p" = probabilitatea ca evenimentul A sa se produca intr-o experienta.

6. Repartitia binomiala negativa

Fie "p" probabilitatea de realizare a evenimentului A intr-o singura proba si q=1-p probabilitatea de aparitie a evenimentului . Fie variabila aleatoare Z care da numarul minim de repetari ale experientei pentru ca evenimentul A sa se realizeze de "k" ori (k fixat).

P(Z=n) = cu n = k, k+1, k+2, .

7.Repartitia latice: Variabila aleatoare X = nh ,n=1,2,..cu

.Repartitia logaritmica se utilizeaza in teoria riscului in asigurari.

P(X=k) = , k=1,2,p

3. Operatii cu variabile aleatoare discrete

Definitia 1: Daca X si Y sunt definite pe acelasi camp de probabilitate (E, B, P) atunci:

(X + Y)(e) = X(e) + Y(e)

(aX)(e) = aX(e) pentru a I R

(XY)(e) = X(e)Y(e)

daca Y(e) pentru orice e I E.

Daca  atunci

unde p_ij = P((e I E, X(e) = x_i ) (e I E, Y(e) = y_j )).

Daca evenimentele (e I E, X(e) = x_i ) si (e I E, Y(e) = y_j ) sunt independente pentru orice 1 i n, 1 j m spunem ca v.a. X si Y sunt independente. In acest caz p_ij= p_{i *} q_j 

Analog :

,y_j j =1,2, ,m.

4. Momente. Definitii

Notam (E,K,P) spatiul de probabilitate pe care este definita variabila aleatoare discreta X. Definitie: Fie X este o v.a. discreta X:E R. Numim valoare medie a variabilei X :

a) daca X ia un numar numarabil de valori si seria este convergenta

b) daca X ia un numar finit de valori.

Definitie: Momentul de ordinul "r" al v.a. "X" este =M_r(X) = M(X^r).

Definitie: Momentul centrat de ordin "r" al v. a. "X" este m_r(X) = M(X - M(X))^r

Pentru r = 2, m (X) = M(X - M(X))² se numeste dispersia sau varianta v. a. X.

O vom nota cu D(X) sau VarX si ea da o masura imprastierii valorilor variabilei X in jurul valorii medii.

Definitie: Cantitatease numeste coeficientul de variatie pentru v.a. X.

Definitie: Cantitatea M(X-M(X))³/Var^3/2(X) se numeste coeficientul de asimetrie pentru variabila X.

Definitie: Cantitatea se numeste coeficientul de aplatizare sau de exces pentru variabila X.

Exemplu : Calculati M(X), Var(X) pentru urmatoarele repartitii :

a)hipergeometrica b) binominala c) Poisson calculam M(X) si Var(X).

Solutie a) Din definitia valorii medii:

si

b) Daca la punctul a) N obtinem M(X) = qn si Var(X) = nq q

c) Facand nq l si n obtinem M(X) = Var(X) = l

5. Proprietati ale valorii medii

Propozitie: M(aX + b) = aM(X) + b, a, b I R.

Propozitie: M(X + Y) = M(X) + M(Y)

Propozitie: Daca X si Y sunt v.a. independente, atunci M(X Y) = M(X) M(Y)

Probleme rezolvate

Fie urmatoarele 2 variabile aleatoare repartizate discret:

a)      Sa se determine astfel incat tabloul corespunzator lui X sa reprezinte repartitia unei variabile aleatoare

b)      Sa se determine media, dispersia, momentul necentrat de ordin 2 pentru variabila X

c)      Sa se determine si astfel incat M(Y)=0,7. Cu si astfel determinate, sa se determine repartitiile urmatoarelor variabile: 2X, Y², 2X+Y,XY

Solutie:

a)      0,3+0,4+=1 => =0,3

b)      M(X)== -1*0,3+0*0,4+1*0,3=0

Var(X)==(-1-0)²*0,3+(0-0)²0,4+(1-0)²*0,3=0,6

c)      Pe de o parte M(Y)= 0+ =0,7. Pe de alta parte 0,5+ =1. Este necesar sa rezolvam sistemul: ce are ca solutie: =0,3 respectiv

2X~; Y²~

2X+Y~

XY~

Un investitor are de ales intre a vinde un pachet de actiuni acum cu 300.000lei sau a pastra actiunile, stiind a doua zi exista sanse 30% ca pretul pachetului sa devina 500.000 lei, 15% sa devina 350.000 lei respectiv 55% sa devina 250.000lei. Daca decizia se ia pe baza pretului mediu al pachetului de actiuni, ce decizie va lua?

Solutie: Fie X=pretul pachetului de actiuni (este variabila aleatoare deoarece nu se cunoaste, cu siguranta, ce pret va avea pachetul de actiuni, a doua zi)

X~

M(X)=250.000*0,55+ 0,15*350.000+0,3* 500.000=340.000lei

Asadar este mai avantajos sa nu tranzactioneze pachetul de actiuni astazi.

La un casino, se face o verificare a unui zar de catre corpul de control. S-a executat experimentul de 6000 de ori si s-au gasit urmatoarele frecvente:

Fie X=numarul fetei ce apare la executarea experientei. Consideram ca este relevant acest numar de aruncari a zarului. Este zarul omogen? Care sunt sansele de aparitie, la o aruncare a zarului, a fiecarei fete? Care este sansa ca, aruncand zarul, sa apara o fata para? Dar o fata mai mica decat 3? Dar cel putin 5? Calculati M(X), Var(X).

Care este necesar sa fie numarul de aparitii al fiecarei fete pentru ca zarul sa fie "corect" ? Cat va fi media si dispersia in acest caz?

Solutie: Zarul nu este considerat omogen deoarece probabilitatile de aparitie a diferitelor fete sunt diferite. Desigur pentru o alta repetare a experimentului (de ex.de 100000ori) rezultatele vor fi altele.

X~

P(X=nr par)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=(0,999+1,001+1)/6=1/2

P(X=nr. impar)=1-P(X=nr. par)=1/2

P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=1,999/6

P(X5)=P(X=5)+P(X=6)=1,998/6

M(X)=

M(X)=3,499

M(X²)=

Var(X)=M(X²)-M²(X)= 15,1607-3,499²=15,1607-12,243=2,9176

Zarul ar fi fost "corect" daca probabilitatea de aparitie a fiecarei fete ar fi fost aceeasi : 1/6. Fie Y=fata ce apare la aruncarea zarului omogen

Y~

P(Y=nr. par)= P(Y=2)+P(Y=4)+P(Y=6)=(1+1+1)/6=1/2

P(Y=nr. impar)=1-P(Y=nr. par)=1/2

M(Y)=

M(Y²)=

Var(Y)= 15,1666-3,5²=2,9166.

Observatie: Mediile teoretice sunt egale, repartitiile celor 2 variabile X si Y sunt diferite.

V.a. X si Y sunt independente si repartizate astfel:

a)      Sa se determine repartitia v.a. Z = max(X, Y) si functia ei de repartitie.

b)      Sa se determine P(X < Y).

Solutie:

a)      Fie urmatoarele tabele: primul contine, in celule, valorile posibile ale lui Z iar cel de-al doilea valorile probabilitatilor corespunzatoare. Valorile din celulele primului tabel sunt obtinute astfel:

daca X=0 si Y=1 atunci Z=max(X,Y)=1 si P(X=0,Y=1)=0,2*0,4=0,08

Asadar valorile posibile ale lui Z sunt: 1,2,3,4

P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=0,08+0,12=0,2

P(Z=2)=P(X=2,Y=1)=0,04 si asa mai departe.

In consecinta, repartitia variabilei Z este data de tabloul:

Z~. Functia de repartitie a variabilei Z este:

F_Z(z)=P(Zz)=

b)      P(X<Y)=P(X=0,Y>0)+ P(X=1,Y>1)+P(X=2, Y>2)=P(X=0,Y=1)+P (X=0,Y=3)+P(X=0,Y=4)+P (X=1,Y=3)+P(X=1,Y=4)++ P(X=2,Y=4)=0,44 (cifrele marcate din primul tabel respectiv suma probabilitatilor marcate din al doilea tabel)

Un sistem este construit din 3 unitati. O defectare a unitatii k in intervalul de timp T se realizeaza independent de celelalte cu probalitatea p_k = 0,2 + (k 1) 0,1. Sa se determine probabilitatea ca cel putin o unitate sa se defecteze. Sa se determine media si dispersia numarului de unitati ce se defecteaza in intervalul de timp T.

Solutie: Fie N = variabila aleatoare ce reprezinta numarul de unitati ce se defecteaza.

P(N = 3) = p₁ p₂ p₃ = 0,2

P(N = 2) = p₁ p₂ (1 p₃ ) + p₁ p₃ (1 p₂ ) + p₂ p₃ (1 p₁ ) = 0,188

P(N = 1) = p₁ (1 p₂ ) (1 p₃ ) + p₂ (1 p₁ )(1 p₃ )+ p₃ (1 p₁ ) (1 p₂ ) = 0,452

P(N = 0) = (1 p₁ ) (1 p₂ ) (1 p₃ ) = 0,336

Asadar N

P(Y1)=1-P(Y=0)=1-0,336=0,664

M(Y)=

M(Y²)= 0,024 =1,42 =>

Var(Y) = M(Y²)-[M(Y)]² = 0,61

Sa se afle x I R astfel ca v.a. X sa aiba repartitia

. Sa se determine apoi

Solutie: Este necesar ca 5x²-2x²+x+x=1, 0<x-2x²<1, 0<x<1 => x=1/3

Valoarea x=1/3 este cea cautata deoarece x [0,1] ca probabilitate.

P(X²<X)=P(X²-X<0)=P(X(X-1)<0)=P(X(X-1)= -2)+ P(X(X-1)= -1)=20/81

,

X(X-1):

12 frigidere, achizitionate de la o firma, au fost returnate producatorului din cauza zgomotului mare pe care acestea il produceau, cand erau in functiune. S-a constat ca 4 dintre ele au compresorul defect iar celelalte 8 au defectiuni mai mici. Daca ele au fost verificate in ordine aleatoare si notam X=numarul de frigidere cu compresoare defecte printre primele 6 verificate. Sa se calculeze P(X=1) si P(1<X3).

Solutie :X~Hipergeometrica cu N=12, k=4, N-k=8.

P(X=1)==8/33 respectiv P(1<X3)=P(X=2)+P(X=3)=.

Pana la intrarea in functiune a legii circulatiei rutiere, 40% dintre soferi purtau centura de siguranta in mod curent. Un sondaj asupra a 500 de conducatori auto se efectueaza de catre agentii de circulatie.

a)      Care este probabilitatea ca intre 180 si 230 dintre ei sa poarte cu regularitate centura de siguranta?

b)      Sa se afle numarul mediu de conducatori auto care poarta in mod regulat centura de siguranta si dispersia acestui numar

Solutie:Fie X=numarul conducatorilor care poarta centura de siguranta.

X urmeaza o repartitie binomiala de volum 500 si cu probabilitatea 0,4.

Cum X~Bi(n,p), n=500 si p=2/5 =>

a)      Atunci:

b)      Numarul mediu de conducatori care poarta in mod regulat centura de siguranta este:

Dispersia numarului de conducatori care poarta in mod regulat centura de siguranta: Var(X)=M(X²)-M²(X)=np(1-p)=500*2/5*3/5=120

Un student din ultimul an de studii la Politehnica incearca sa decida la cate firme ar fi necesar sa aplice pentru o slujba. O firma de consiliere, evaluand experienta de munca, activitatile extracurriculare si notele obtinute, determina faptul ca are sanse 85% sa fie chemat la interviu la o firma la care a aplicat. Studentul isi propune insa sa aplice pentru un post doar la 6 firme. Sa se afle probabilitatea ca:

a)      Nici o firma nu il cheama la interviu

b)      Cel putin 2 firme il cheama la interviu

c)      Intre 2 si 5 firme il cheama la interviu

d)      Toate firmele il cheama la interviu

Sa se calculeze numarul mediu si dispersia numarului de firme care il cheama la interviu.

Solutie: X=numarul de firme, din 6, care il cheama pentru interviu X~Bi(6, 0,85)

a)      P(X=0)=0,15⁶=1,139*10^-5

b)      P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0,15⁶-6*0,15⁵*0,85=0,999601=99,9601% sanse sa fie chemat de cel putin 2 firme.

c)      P(2<X5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1-P(X=0)-P(X=6)-P(X=1) =

62,245% sanse sa fie chemat de cel putin 2 firme si de cel mult 5 firme

d)      P(X=6)= 0,85⁶=0,37715=37,715%

M(X)=np=0,85*6=5,1 si Var(X)=np(1-p)=0,85*0,15*6=0,765

Un student are posibilitatea sa-si aleaga intre 2 proiecte notate A si B. Daca isi alege proiectul A, are materiale bibliografice mai bine sistematizate in 4 carti iar daca isi alege proiectul B, trebuie sa consulte 6 carti. El considera ca pentru a i se accepta proiectul, trebuie sa consulte cel putin jumatate din bibliografie. Studentul stie ca probabilitatea ca o carte comandata sa ajunga in timp util este 0,9. Care dintre cele 2 proiecte credeti ca ar trebui ales pentru ca probabilitatea de a scrie un proiect bun sa fie maxima?

Solutie: p=0,9; q=0,1

X=numarul de carti necesare pentru a scrie referatul A corect

Y=numarul de carti necesare pentru a scrie referatul B corect

P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=

P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)=

Fie X o variabila aleatoare. Punctul p_k/100(k=1,2,..,100) pentru care:

P(X< p_k/100)k/100 si P(X p_k/100) k/100 se numeste percentila k pentru v.a. X

Sa se calculeze percentilele indicate pentru urmatoarele repartitii discrete:

a)      X~Bi(20, 0,5) k=25

b)      X~Bi(10, 0,2) k=50

Solutie

a)      P(X< p_0,25)0,25 si P(X p_0,25)0,25 din tabelele repartitiei binomiale, rezulta ca p_0,25=8 deoarece P(X<8)=0,1316 si P(X8)=0,2517.b)se rezolva la fel.

Numarul mediu de accidente de munca, ce au loc intr-o mina, este de 24 pe an. Sa se calculeze probabilitatea ca:

a)      Sa aiba loc 2 accidente de munca intr-o luna

b)      Sa aiba loc intre 3 si 6 accidente pe trimestru (inclusiv)

Sa se afle abaterea medie patratica a numarului de accidente ce au loc intr-o luna (dar intr-un trimestru?).

Indicatie:Modelam fenomenul cu repartitia Poisson.

a)      Fie X= numarul de accidente de munca, ce au loc intr-o luna

X~Po() => X~

M(X)==24 accidente/an = 2 accidente/luna; P(X=2)= =

b)      Fie Y= numarul de accidente de munca, ce au loc pe trimestru

Y~Po() => M(Y)==24 accidente/an = 6 accidente/timestru

P(3Y6)=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)=0,5443=54,43% sanse sa se produca intre 3 si 6 accidente pe trimestru.

Var(X)==2 respectiv Var(Y)==6

Conducatorii auto au fost impartiti in 3 categorii. Numarul de cereri de despagubire urmeaza o repartitie Poisson cu parametrul . Sa se determine numarul mediu de cereri de despagubire si dispersia acestui numar de cereri de despagubire depuse de un conducator auto ales la intamplare.

Solutie:Fie N=v.a. numarul cererilor de despagubire depuse de un conducator auto.

Clasa 1 : P(N=x | p=0,25)= ; Clasa 2 : P(N=x | p=0,25)= ;

Clasa 3 : P(N=x | p=0,50)= iar P(N=x)=)

P(N=x)=0,25+0,25+0,50, x

D(N)=

D(N)=0,25*9+0,25*3+0,50*3=4,5

O variabila aleatoare repartizata Poisson ia valorile 0 si 1 cu probabilitati egale. Sa se afle valoarea parametrului repartitiei Poisson si apoi sa se determine: P(XI

Solutie: X Po l) daca P(X = k) = unde k

P(X=0)=P(X=1) => e le^-l => l

P(XI(2,6))=P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5) = e^-1

Variabila aleatoare X, numarul de electroni care sunt eliberati dintr-un catod incalzit al unui tub de vaccum in timpul t, are o repartitie Poisson cu parametrul lt (unde l este numarul mediu de electroni emisi in unitatea de timp). Sa se determine probabilitatile evenimentelor:

A=numarul de electroni emisi in intervalul de timp t₁ este mai mica decat m, m fiind un numar natural

B=un numar par de electroni va fi eliberat in intervalul de timp t₂.

Sa se determine numarul mediu de neutroni emisi in intervalul de timp t₁ si abaterea medie patratica.

Solutie: X=numarul de electroni emisi in intervalul de timp t₁

Y=numarul de electroni emisi in intervalul de timp t₂

X si Y sunt variabile aleatoare repartizate Poisson.

Asadar P(A)=P(X<m) respectiv P(B)=P(Y este numar par)

X Po(lt₁) daca P(X = k) = unde k

Y Po(lt₂) daca P(Y = k) = unde k

P(A) = P(X<m)= e^-l

P(B)=P(Y este numar par)=

M(X)= lt₁ numarul mediu de electroni emisi in intervalul t₁

D(X)=M(X²)-M²(X)= lt₁ dispersia numarului de electroni emisi in intervalul t₁

=abaterea medie patratica

Se executa un numar de incercari pentru a porni un motor. Fiecare incercare poate fi considerata ca succes, independent de celelalte incercari, cu probabilitatea p=0,7. Fiecare incercare dureaza 1 minut. Gasiti repartitia variabilei T=timpul necesar pentru a porni motorul. Calculati probabilitatea sa aiba loc cel mult 3 incercari. Care este numarul mediu de incercari necesare pana la pornirea motorului? Dar dispersia?

Solutie:probabilitatea de succes al unei incercari este p=0,7

probabilitatea de esec al unei incercari este q=0,3.

T=1 motorul a pornit la prima incercare P(T=1)=p

T=2 motorul a pornit la a doua incercare(deci prima data s-a inregistrat esec) P(T=2)=pq

Astfel se deduce ca repartitia lui T este:

T~ repartie geometrica Geom(p).

P(T3)=p+pq+pq²=0,7(1+0,3+0,3²)=0,973=>sunt sanse de 97,3% ca motorul sa porneasca dupa cel mult 3 incercari

M(T)=p(1/1-q)'=1,4285

D(T)=M(T²)-M²(T)=(1-p)/p² =0,6122

Probleme propuse:

Companiile de asigurari folosesc teoria probabilitatilor pentru a calcula primele corespunzatoare pentru asigurarile de viata si de bunuri. Probabilitatile sunt calculate pe baza tabelelor in care se regasesc numarul mediu de barbati americani la 100.000 ce pot deceda in decursul anumitor intervale de varsta. Astfel ca, din 100.000 copii de sex masculin nascuti vii, este probabil ca 1527 vor muri inainte de implinirea unui an si 29.721 vor trai peste varsta de 80 de ani. Aceste valori le gasiti in tabelul de mai jos.

a)      Care este probabilitatea ca un nou nascut de sex masculin sa ajunga la varsta de 50 de ani?

b)      Care este probabilitatea ca un barbat american sa ajunga la varsta de 70 de ani , stiind ca tocmai a implinit 50 de ani?

c)      Care este probabilitatea ca un barbat american sa atinga varsta de 70 de ani, daca tocmai a implinit 60 de ani?

La examenul de conducere auto se stie ca 40% dintre candidati au sanse de succes.Care este probabilitatea ca ,intr-un grup de 10 candidati :

a)sa nu fie admis niciunul dintre candidati ?

b)sa fie admisi cel mult doi candidati ?

c)Sa fie admisi toti cei 10 ?

Folosind datele din trecut, managerul de resurse umane al unei companii a determinat repartitia variabilei aleatoare X=numarul de angajati ce au absentat intr-o anumita zi :

a)      Sa se reprezinte grafic functia de repartitie a lui X

b)      Discutati asupra asimetriei acestei repartitii

c)      Calculati P()

d)      Calculati probabilitatea ca in ziua respectiva, sa existe cel putin un angajat absent.

La un examen de licenta, ce presupune un test grila, sunt 20 de intrebari cu 4 raspunsuri posibile, dintre care unul singur este corect.

a)      Care este probabilitatea ca un student sa raspunda corect la 10 intrebari?

b)      Care este probabilitatea sa raspunda corect la cel putin 7 intrebari si cel mult 14 intrebari?

c)      Ce valoare are numarul mediu de intrebari la care raspunde corect? Dar dispersia?

Un profesor de la cercul de istorie cere elevilor sa redacteze referate scurte pe diverse teme si sa le prezinte intr-o saptamana cu precizarea ca acest referat sa nu contina mai mult de 4 pagini. Fie: Y= v.a. ce ia ca valori numarul de pagini scrise de elevi.

Sa se scrie M(Y). Presupunand ca profesorului ii sunt necesare ore pentru a verifica informatiile din referat, sa se determine M() adica timpul mediu necesar pentru a corecta referatele.

In timpul unei luni de primavara (martie-mai) au loc, in medie 10 licitatii de vanzare de spatii comerciale intr-o statiune de pe litoral. Presupunand ca aceste licitatii au loc in mod aleator si independent, sa se calculeze probabilitatea ca

a)      Sa aiba loc 5 licitatii in timpul lunii respective?

b)      Sa aiba loc intre 10 si 12(inclusiv) licitatii in lunile martie si aprilie?

c)      Sa nu aiba loc nici o licitatie?

Sa se calculeze numarul mediu si dispersia numarului de licitatii ce au loc in luna respectiva.

Un mesaj este trimis printr-un canal de comunicatii, el fiind supus zgomotului ce altereaza calitatea lui. Sansa de a putea decodifica acest mesaj este p=0,6. Mesajul este trimis pana cand se primeste confirmarea de decodificare completa( T=v.a. ce reprezinta timpul necesar pentru a primi un mesaj ce poate fi decodificat complet). Durata de transmitere a acestui mesaj este de 2 minute.

Sa se calculeze probabilitatea ca

a)      sa fie necesare 8 minute pana la receptionarea unui mesaj complet

b)      sa fie necesare cel putin 3 incercari pana la receptionarea unui mesaj complet

c)      sa se calculeze media si dispersia lui T.Care este interpretarea lor intuitiva?

Fie ecuatia x² - 6x - m + 7 = 0, m I Z. Sa se determine probabilitatea ca ecuatia sa aiba radacinile supraunitare.

9.Fie X~Bi(n₁,p) si Y ~Bi(n₂ ,p),variabile aleatoare independente .Sa se calculeze

P(X=k | X+Y=n) si sa se determine repartitia v.a.Z=X+Y.

10.Fie X~Po() si Y~Po() variabile aleatoare independente.Sa se determine repartitia variabilei Z=X+Y si sa se calculeze P(X=k | X+Y=n).