![]() | Aeronautica | Comunicatii | Constructii | Electronica | Navigatie | Pompieri |
Tehnica mecanica |
Filtre Butterworth
Metoda de proiectare
prezentata in paragraful anterior se bazeaza in esenta pe
ideea conectarii in cascada a unui numar de celule elementare,
fizic realizabile obtinand in final un filtru realizabil fizic si care raspunde cerintelor de
atenuare si defazare impuse. O alta modalitate de abordare a
problemei este aceea de aproximare a functiei de transfer a F.T.J. ideal,
data de (1.8) printr-o functie de transfer realizabila fizic,
urmata de sinteza circuitului corespunzator. In general functia
de circuit aproximata este descrisa prin patratul modulului 2 si respectiv argumentul
. In cazul filtrului LC acestea sunt de forma :
2 =
(
) = arctg
Diferenta dintre functia de transfer ideala si functia aproximata reprezinta eroarea de aproximare. Pentru F.T.J., plecand de la (1.8) rezulta eroarea relativa la modul :
H(
)=
(1.34)
si
eroarea relativa la faza : =-
.
Erorile de aproximare si
ordinul de complexitate al functiei aproximante reprezinta indicii de
calitate ai procesului de aproximare, fiind de dorit ca acestea sa fie cat
mai mici. Intervalul de aproximare reprezinta multimea punctelor de
pe axa frecventelor fizice pentru care se
realizeaza aproximarea functiei de transfer ideale. In cazul general
acest interval coincide cu axa frecventelor. Uneori acesta se reduce doar
la banda de trecere sau la cea de blocare. Functie de repartitia
erorii in intervalul de aproximare exista mai multe criterii de
aproximare. Criteriul aplatizarii maxime numit si criteriul maximplat
determina parametrii functiei aproximate prin dezvoltarea erorii
in serie Taylor in
jurul unui punct
.
Prin anularea primelor derivate ale
functiei eroare se obtin ecuatiile necesare pentru determinarea
parametrilor functiei aproximante. In acest mod eroarea este nula in
punctul si creste
spre capetele intervalului (Fig. 1.10 a).
Acest criteriu este convenabil pentru benzi inguste de frecventa.
Criteriul Cebasev numit si
criteriul mini-max permite aproximarea functiei de transfer ideale cu o
eroare ce nu
depaseste o limita de
pe intreg intervalul
de aproximare. Extremele erorii sunt egale si alternante ca semn (Fig. 1.10 b).
Un astfel de criteriu este convenabil pentru intervale mari de aproximare (benzi de frecventa largi).
Pentru F.T.J. functia
aproximanta de tip Butterworth, obtinuta pentru este data de
relatia :
(1.35)
Inlocuind (1.35) in (1.34) se obtine eroarea de aproximare :
(1.36)
In (1.35), (1.36) precum si in
relatiile deduse din acestea s-au omis, pentru a nu aparea confuzii,
indicele inferior n ce specifica frecventa normata
fata de .
In Fig.1.11 sunt reprezentate grafic caracteristica tip Butterworth
si respectiv eroarea pentru frecventele pozitive ale axei
frecventelor. Indiferent de ordinul n al filtrului se observa ca
eroarea este nula la frecventa si maxima la
frecventa de tacere.
Daca gradul n al functiei aproximante (1.35) se mareste, caracteristica F.T.J. se imbunatateste.
Din (1.35) se poate obtine atenuarea :
(1.37)
In banda de blocare la frecvente mari (1.37) devine :
(1.38)
Daca se considera
frecventele si
din banda de blocare
situate la distanta de o octava intre ele
din (1.38)
rezulta panta de crestere a caracteristicii de atenuare :
dB/octava
Figura 1.11
Aproximarea de tip Butterworth nu permite realizarea cerintelor filtrului pentru banda de trecere si banda de blocare in mod independent. Functia aproximanta (1.35) este definita de un singur parametru n care se determina fie din conditiile impuse benzii de trecere, fie din cele impuse benzii de blocare.
In Fig. 1.12 sunt reprezentate grafic cerintele impuse patratului modulului functiei de transfer si respectiv atenuarii unui F.T.J. si care sunt date analitic de relatiile :
unde
: ;
.
Frecventele si
reprezinta
limitele benzilor de trecere, respectiv de blocare iar intervalul
este banda de
tranzitie.
Presupunand gabaritul de atenuare reprezentat in Fig. 1.12 b ca fiind dat in dB din (1.37) rezulta:
;
(1.39)
unde
s-a tinut cont ca aM si am corespund
frecventelor respectiv
.
Figura 1.12
Din (1.39), explicitand rapoartele si
si
impartind membru cu membru relatiile astfel obtinute
rezulta :
(1.40)
Introducand
notatiile : ;
(1.41)
relatia (1.40) devine : ka=(kf )m (1.42)
Fiind impuse deci extremele benzii
de tranzitie si
si
atenuarile corespunzatoare aM si am , cu
(1.41) se calculeaza ka
si kf , iar din (1.42) rezulta ordinul
filtrului :
n (1.43)
Se alege pentru n cea mai mica valoare intreaga ce satisface relatia de mai sus.
Frecventa teoretica de
taiere rezulta din oricare din relatiile (1.39) astfel : (1.44)
Cunoscand
ordinul n al filtrului relatia (1.35) determina patratul
modulului functiei de transfer ce
corespunde unui F.T.J. care respecta gabaritul din Fig. 1.12.b si
care in plus ester realizabil fizic. Plecand de la
se pot obtine
schema si valorile elementelor de circuit ale filtrului corespunzator
prin metode riguroase (algoritmice). O prima etapa consta
in deducerea functiei de circuit
a filtrului realizabil
fizic plecand de la
dupa care
printr-o metoda de sinteza ce nu constituie
obiectul cursului se obtine filtrul propriu-zis.
Copyright © 2025 - Toate drepturile rezervate