Filtre Butterworth

Filtre Butterworth

Metoda de proiectare prezentata in paragraful anterior se bazeaza in esenta pe ideea conectarii in cascada a unui numar de celule elementare, fizic realizabile obtinand in final un filtru realizabil fizic si care raspunde cerintelor de atenuare si defazare impuse. O alta modalitate de abordare a problemei este aceea de aproximare a functiei de transfer a F.T.J. ideal, data de (1.8) printr-o functie de transfer realizabila fizic, urmata de sinteza circuitului corespunzator. In general functia de circuit aproximata este descrisa prin patratul modulului ² si respectiv argumentul . In cazul filtrului LC acestea sunt de forma :

² =

() = arctg

Diferenta dintre functia de transfer ideala si functia aproximata reprezinta eroarea de aproximare. Pentru F.T.J., plecand de la (1.8) rezulta eroarea relativa la modul :

_H()= (1.34)

si eroarea relativa la faza : =-.

Erorile de aproximare si ordinul de complexitate al functiei aproximante reprezinta indicii de calitate ai procesului de aproximare, fiind de dorit ca acestea sa fie cat mai mici. Intervalul de aproximare reprezinta multimea punctelor de pe axa frecventelor fizice pentru care se realizeaza aproximarea functiei de transfer ideale. In cazul general acest interval coincide cu axa frecventelor. Uneori acesta se reduce doar la banda de trecere sau la cea de blocare. Functie de repartitia erorii in intervalul de aproximare exista mai multe criterii de aproximare. Criteriul aplatizarii maxime numit si criteriul maximplat determina parametrii functiei aproximate prin dezvoltarea erorii in serie Taylor in jurul unui punct .

Prin anularea primelor derivate ale functiei eroare se obtin ecuatiile necesare pentru determinarea parametrilor functiei aproximante. In acest mod eroarea este nula in punctul si creste spre capetele intervalului (Fig. 1.10 a). Acest criteriu este convenabil pentru benzi inguste de frecventa.

Criteriul Cebasev numit si criteriul mini-max permite aproximarea functiei de transfer ideale cu o eroare ce nu depaseste o limita de pe intreg intervalul de aproximare. Extremele erorii sunt egale si alternante ca semn (Fig. 1.10 b).

Un astfel de criteriu este convenabil pentru intervale mari de aproximare (benzi de frecventa largi).

Pentru F.T.J. functia aproximanta de tip Butterworth, obtinuta pentru este data de relatia :

(1.35)

Inlocuind (1.35) in (1.34) se obtine eroarea de aproximare :

(1.36)

In (1.35), (1.36) precum si in relatiile deduse din acestea s-au omis, pentru a nu aparea confuzii, indicele inferior n ce specifica frecventa normata fata de .

In Fig.1.11 sunt reprezentate grafic caracteristica tip Butterworth si respectiv eroarea pentru frecventele pozitive ale axei frecventelor. Indiferent de ordinul n al filtrului se observa ca eroarea este nula la frecventa si maxima la frecventa de tacere.

Daca gradul n al functiei aproximante (1.35) se mareste, caracteristica F.T.J. se imbunatateste.

Din (1.35) se poate obtine atenuarea :

(1.37)

In banda de blocare la frecvente mari (1.37) devine :

(1.38)

Daca se considera frecventele si din banda de blocare situate la distanta de o octava intre ele din (1.38) rezulta panta de crestere a caracteristicii de atenuare :

dB/octava

Figura 1.11

Aproximarea de tip Butterworth nu permite realizarea cerintelor filtrului pentru banda de trecere si banda de blocare in mod independent. Functia aproximanta (1.35) este definita de un singur parametru n care se determina fie din conditiile impuse benzii de trecere, fie din cele impuse benzii de blocare.

In Fig. 1.12 sunt reprezentate grafic cerintele impuse patratului modulului functiei de transfer si respectiv atenuarii unui F.T.J. si care sunt date analitic de relatiile :

unde : ; .

Frecventele si reprezinta limitele benzilor de trecere, respectiv de blocare iar intervalul este banda de tranzitie.

Presupunand gabaritul de atenuare reprezentat in Fig. 1.12 b ca fiind dat in dB din (1.37) rezulta:

; (1.39)

unde s-a tinut cont ca a_M si a_m corespund frecventelor respectiv .

Figura 1.12

Din (1.39), explicitand rapoartele si si impartind membru cu membru relatiile astfel obtinute rezulta :

(1.40)

Introducand notatiile : ; (1.41)

relatia (1.40) devine : k_a=(k_f )^m    (1.42)

Fiind impuse deci extremele benzii de tranzitie si si atenuarile corespunzatoare a_M si a_m , cu (1.41) se calculeaza k_a si k_f , iar din (1.42) rezulta ordinul filtrului :

n (1.43)

Se alege pentru n cea mai mica valoare intreaga ce satisface relatia de mai sus.

Frecventa teoretica de taiere rezulta din oricare din relatiile (1.39) astfel : (1.44)

Cunoscand ordinul n al filtrului relatia (1.35) determina patratul modulului functiei de transfer ce corespunde unui F.T.J. care respecta gabaritul din Fig. 1.12.b si care in plus ester realizabil fizic. Plecand de la se pot obtine schema si valorile elementelor de circuit ale filtrului corespunzator prin metode riguroase (algoritmice). O prima etapa consta in deducerea functiei de circuit a filtrului realizabil fizic plecand de la dupa care printr-o metoda de sinteza ce nu constituie obiectul cursului se obtine filtrul propriu-zis.