inductia elecrtomagnetica si conversia electromagnetica a energiei

Fie doua sine conductoare intr-un plan orizontal si, sprijinita pe ele, o tija metalica AB care poate sa alunece cu coeficientul de frecare m ramanand mereu perpendiculara pe directia sinelor (fig. 1). Masa tijei se noteaza cu m. La capetele sinelor se aplica o tensiune constanta U. Rezistenta circuitului inchis astfel format se presupune constanta si concentrata in tija AB, fiind notata cu R. Asupra tijei actioneaza o forta orizontala G cauzata de de o greutate atarnata de un fir prin intermediul unui scripete, iar intreg sistemul se considera intr-un camp magnetic de inductie B perpendicular pe planul sinelor cu orientarea din fig. 1.

Ne propunem sa studiem miscarea tijei, atat in regim stabilizat cat si in regim tranzistoriu si sa interpretam apoi rezultatele din punct de vedere al conversiei electromecanice a energiei.

Consideram situatia initiala cand greutatea G este blocata, sursa U deconectata, iar tija AB este in stationare. La momentul t=o se conecteaza sursa si se deblocheaza greutatea. In tija apare un curent I₀ care interactioneaza cu campul B creand o forta initiala F₀. Daca aceasta forta este suficient de mare pentru a invinge greutatea G si frecarile, tija va fi accelerata, avand la momentul t>0 viteza v. La deplasarea tijei in camp apare o t.e.m de inductie care tinde sa micsoreze curentul, respectiv forta si deci acceleratia. Are loc un fenomen de autoreglare a vitezei tijei: daca la un moment dat F>G mmg, atunci viteza creste, dar datorita fenomenului invers al t.e.m. de inductie curentul scade si deci si forta electromagnetica tinde sa scada. Dimpotriva, daca la un moment dat avem F<G mmg, atunci viteza scade, de asemenea influenta t.e.m. de inductie si atunci curentul si forta tind sa creasca. Este deci logic ca o situatie stabila de echilibru are loc atunci cand viteza tijei este constanta. fenomenul se caracterizeaza matematic prin urmatoarele ecuatii:

Tensiunea electomagnetica indusa in tija la viteza v este:

E=Blv (1)

Curentul care strabate tija atunci cand ea se deplaseaza cu viteza v este:

I=(U-E) / R=(u-Blv) / R (2)

iar forta electromagnetica ce actioneaza asupra tijei este:

F=Bil=Bl*(U-Blv) / R (3)

Forta care accelereaza tija este forta rezultanta care actioneaza asupra ei, adica:

F_s=F-G-mmg (4)

semnul fortei de frecare fiind determinat de sensul de miscare al tijei (s-a considerat ca tija se deplaseaza spre dreaata, ca in figura 1.

Acceleratia tijei, respectiv variatia tijei in timp va fi data de:

m*dv / dt= F_s

Dependenta vitezei de forta electromagnetica se poate extrege din ecuatia (3) si rezulta sub forma:

v=(U-FR / Bl) / Bl (6)

care prin derivare, devine:

dv / dt = -R*dF / B²l²*dt = -R*d F_s / B²l²*dt    (7)

Avand variatia in timp a fortei totale rezulta din (4) si (6) expresia vitezei, care se poate pune sub forma:

v = R / Bl * (U/R - (G mmg)/Bl) * (1- e^-t/t (12)

Notand cu v limita vitezei cand t -> si cu F_s for'a totala asupra tijei la t=0 se poate scrie:

F_s = F_s * e^-t/t (13 a)

v = v * (1- e^-t/t (13 b)

si variatiile lor in timp sunt prezentate in figura 2.

Din cele aratate rezulta ca tija transforma energia electrica primita de la sursa de tensiune U in energie mecanica ce se inmagazineaza in energia potentiala a energiei G care se ridica. Dupa terminarea regimului tranzistoriu viteza tinde spre viteza limita,

v U/Bl - (G mmg)*R/B²l² = v₀ - Dv (12')

care se exprima printr-o diferenta de doua viteze: viteza limita in cazul cand tija ar fi eliberata de fortele rezistente date de frecari si de greutatea G, notata v₀ si "caderea de viteza" Dv datorata sarcinii.

Am presupus initial ca tija se deplaseaza spre dreapta. Din ecuatia generala a vitezei (12) se pot extrage acum conditiile de deplasare a tijei. Astfel, daca tensiunea U si greutatea G sunt astfel incat:

(G-mmg)/Bl < U/R < (G mmg)/Bl (13)

atunci tija, la conectarea sursei, va ramane in stationare, forta electromagnetica neputand sa invinga greutatea G si fortele de frecare mmg. Semnul mobil al fortelor de frecare din (13) provine dupacum se stie din aceea ca ele se opun totdeauna miscarii. Daca insa avem:

U/R > (G+mmg)/Bl

atunci tija functioneaza in regim de motor, deplasandu-se spre dreapta si ridicand greutatea G.

Sa studiem si curentul care trece prin tija in regim tranzistoriu si in regim stabilizat. Inlocuind in (2) viteza v data de (12), curentul I se poate pune in cele din urma sub forma:

I = (U/R - (G+mmg)/Bl)* e^-t/t + (G+mmg)/Bl    (14)

curent tranzistoriu curent stabilizat

Se constata ca sunt doua componente ale curentului, una care este variabila in timp si scade la zero si a doua, curentul stabilizat care este functie de sarcina mecanica a tijei (fig. 3).

Curentul la t=0, I_k=U / R, se numeste curent de scurtcircuit sau curent de pornire. Tinand cont de (2) si (12') curentul stabilizat se mai poate scrie:

I_st = (G+mmg)/Bl = (U-Blv ) / R (14')

Luand in discutie cazul ideal cand nu exista frecare (m=0) iar sarcina tijei se scoate (G=0) rezulta ca in regim stabilizat tija se deplaseaza cu o viteza limita v₀ = U / Bl, nefiind parcursa de curent. Este cazul cand t.e.m. indusa E=Blv se suprapune in intregime peste tensiunea aplicata U si are semn contrar acesteia. In orice alt regim de sarcina viteza limita este mai mica, tija fiind parcursa de un curent dat de (14).

Relatia dintre viteza v si forta electromagnetica F ce actioneaza asupra tijei data de relatia (6) este reprezentata in figura 4. Pe aceasta caracteristica se observa evolutia tijei in procesul de pornire: la t=0, v=0 si F=F_max=BI_kl=Bul / R, iar la t -> viteza se stabilizeaza conform sarcinii.

Sa analizam bilantul puterilor in regim stabilizat. Sistemul, in regim de motor primeste puterea electrica UI_st de la sursa, transmite puterea Gv greutatii G pe care o ridica cu viteza v , pierzandu-se in procesul de conversie puterea mmg v prin frecari si puterea RI²_st prin efect Joule in tija. Bilantul puterii este:

UI_st = Gv mmgv + RI²_st    (15)

putere putere putere putere

electrica mecanica mecanica electrica

absorbita utila pierduta pierduta

relatie care se verifica observand ca puterea mecanica totala se poate scrie:

(G+mmg)v = BI_stl*v = EI_st

si deci relatia (15) dupa simplificarea cu I_st devine:

U = E + RI_st    (16)

ceea ce caracterizeaza in general functionarea sistemului in regim de motor. Regimul de motor se caracterizeaza asa cum s-a vazut de:

U / R > (G+mmg) / Bl deci 0<v <v₀

Curentul I prin tija este in sensul dat de tensiunea U, care este in valoare absoluta mai mare ca t.e.m. E.

Sa analizam in continuare cazul cand tija, alimentata in acelasi fel se deplaseaza spre stanga. Este cazul cand:

U / R < (G-mmg) / Bl

adica greutatea G este atat de mare incat depaseste forta electomagnetica si fortele de frecare. Viteza v este negativa, t.e.m E asi schimba semnul si deci se aduna cutensiunea de la borne U. Curentul prin tija va fi, la aceiasi valoare a tensiunii U mai mare decat curentul de scrutrcircuit I_k. Sistemul, care primeste energie electrica de la sursa si energie mecanica de la greutatea G care coboara, disipa toata energia in rezistenta R. Este regimul de functionare ca frana, cand greutatea G este franata in coborarea ei de sistemul electric. In figura 4 regimul de frana corespunde cadranului 4 (v<0, F>0), deoarece forta electromagnetica isa pastreaza sensul din cazul regimului de motor.

Bilantul puterilor in regim de frana se scrie,

UI_st + G(-v mmg(-v ) + RI²_st    (17)

putere totala putere pierduta

electrica mecanica mecanica electrica

viteza stabilizata in acest caz fiind:

v = R / Bl * (U/R - (G-mmg)/Bl) < 0 (12'')

iar fortele de frecare si-au schiombat semnul odata cu schhiombarea sensului de miscare a tijei.

Sa presupunem, in fine, ca greutatea G in loc sa se opuna fortei electromagnetice, se aduna cu aceasta. Este cazul cand, de exemplu scripetele fix trece in partea dreapta a tijei si, prin caderea greutatii G tija este trasa spre dreapta. In acest caz, viteza limita v se obtine tot din (12) prin schimbarea semnului lui G, deci:

v = R / Bl * (U/R + (G-mmg)/Bl)    (18)

Se constata ca in acest caz avem v > v₀ si ca urmare curentul prin tija devine:

I_st = (U-E) / R = (U-Blv ) / R = - (G-mmg) / Bl < 0    (19)

Curentul isi schimba sensul atat prin tija cat si prin sursa de tensiune U. Daca tensiunea U este data de o baterie de acumulatoare atunci tija lucreaza in regim de generator incarcand bateria in contul energiei mecanice preluate de la greutatea G. Bilantul puterilor in acest caz:

Gv = U(-I_st) + mmgv + R(-I²_st)    (20)

putere putere putere putere

mecanica electrica mecanica electrica

totala utila pierduta pierduta

In cazul functionarii in regim de generator, curentul fiind inversat, si forta electromagnetica va avea un semn contrar adica se va opune caderii greutatii. In fig. 4 functionarea in regim de generator are loc in cadranul 2 unde v > v₀ iar F< 0

Daca generatorul lucreaza in gol (sursa U complet deconectata) atunci curentul I=0 si de asemenea F=0 adica tija nu este franata pe partea electrica si deci viteza ei creste uniform.

Daca in locul sursei U pentru sistemul lucrand in regim de generator se pune o rezistenta de sarcina R_s, ecuatia tensiunilor devine cea cunoscuta,

E = I_st (R + R_s) = U_b - I_st*R (21)

APLICATII

In raport cu figura 1 se dau urmatoarele elemente:

B=1T; l=0,5 m ; R=0,5W ; U=2V ; m=0,05 ; m=0,2 kg.

Se cere:

a.      intre ce limite variaza G pentru ca sistemul sa fie in echilibru din punct de vedere mecanic.

b.     greutatea G₁ care este ridicata de tija cu viteza v₁ = 1m/sec.

c.      greutatea G₂ coborata de tija cu viteza v₂ = 0,2 m/sec.

d.     bilantul puterilor in regimurile de la punctele b. si c.

Solutie: (calcule efectuate cu g = 10 m/ sec²)

a.      Din (13) rezulta pentru greutatea G:

U*Bl/R - mmg < G < U*Bl/R + mmg

de unde se gasesc limitele de variatie in conditiile cerute:

1,9N < G < 2,1N

b.     Din (12') rezulta:

G₁ = Bl / R * (U - Blv₁) - mmg = 1,4N

c.      Din (12'') se scoate greutatea G si rezulta:

G₂ = Bl / R * (U - Blv₂) + mmg

de unde inlocuind cu v₂=0,2 m/sec se obtine G₂=2,2N.

d.     In cazul functionarii ca motor (b) avem:

I_st= (U-Blv₁) / R = 3A.

si deci se obtin:

Puterea electrica absorbita P₁ = U*I_st = 6W.

Puterea mecanica utila P₂ = G₁v₁ = 1,4W.

Puterea pierduta prin frecari P_fr = mmgv₁ = 0,1W

Puterea pierduta prin efect Joule P_j = RI²_st = 4,5W.

Se constata ca 1,4+0,1+4,5'6W.

In cazul functionarii ca frana avem:

I_st= (U+Blv₂) / R = 4,2A.

si se obtin:

Puterea electrica absorbita P₁ = 2*4,8 = 9,6W.

Puterea mecanica utila P₂ = G₂v₂ = 0,44W.

Puterea pierduta prin frecari P_fr = mmgv₂ = 0,02W

Puterea pierduta prin efect Joule P_j = 0,5*4,2² = 8,82W.

Se constata ca avem 8,40+0,44=8,82+0,02-

Sa presupunem acum sa avem aceleasi elemente date, dar in locul sursei de tensiune U de la capetele celor doua sine se conecteaza un conductor de rezistenta R_s=1W. Sa se calculeze in acest caz: (greutatea G=1N).

a.      viteza cu care se deplaseaza tija.

b.     curentul prin tija.

c.      sa se verifice bilantul puterilor.

Solutie:

Relatia (18) in care se pune U=0 si R+R_s in loc de R devine:

v = (R+R_s) / B²l² (G - mmg)

si inlocuind cu datele numerice se obtine v=5,4m/sec.

Curentul prin circuit este:

I= Blv / (R+R_s) = 1,8 A.

Bilantul puterilor:

Puterea mecanica luata de la greutatea G₁ P₁ = Gv = 5,4W.

Puterea electrica utila transmisa sarcinii P₂ = R_sI² = 3,24W.

Puterea pierduta prin frecari P_fr = mmgv₂ = 0,54W

Puterea pierduta in sursa P_j = RI² = 1,62W.

Se constata ca avem 5,4W = 3,24+0,54+1,62 (W).