A.   DFT si FFT

Algoritmul folosit pentru a transforma esantioanele semnalului din timp in frecventa este cunoscut ca si transformata Fourier discreta DFT. Presupunem ca am achizitionat N esantioane dintr un semnal care s au obtinut prin esantionare cu frecventa f_s. Atunci intervalul dintre doua frecvente este Dt = 1 / f_s. Aplicand DFT semnalului x [ i ], cu i <= N obtinem

X_k=

Cu k intre 0 si N - 1. Atat in timp cat si in frecventa avem N esantioane. La fel ca si in timp intre doua esantioane ale semnalului exista o anumita distanta

Df = f_s / N = 1 / ( N*Dt ); Df fiind rezolutia de frecventa. Pentru a scadea rezolutia de frecventa trebuie sau sa marim numarul de esantioane sau sa marim frecventa de esantionare.

Exemplu de calcul pentru DFT:

Consideram semnalul x [0] = x [1] = x [2] =x

X [0] = = x[0] + x[1] + x[2] + x[3] = 4

X = X = X

Deci exceptand componenta continua celalalte valori sunt 0. Se observa ca pentru diferite valori ale lui N obtinem alte valori ale componentei continue : N = 4 rezulta X

N = 10 rezulta X

Deci pentru a avea o reprezentare corecta se imparte DFT la numarul de esantioane.

Informatia de amplitudine si de faza

DFT este simetrica fata de N / 2 cu urmatoarea proprietate:

X[ k | X[ N-k ]| si f[ k ] f [ N-k ]

Daca semnalul de intrare este complex DFT va fi nesimetrica, deci calculul transformatei nu se poate reduce la jumatate.

B. Simetria DFT / FFT

1)Fie N par, si p = N / 2 atunci se poate gasi corespondenta urmatoare:

Reprezentarea prin care se prezinta atat frecventele negative cat si cele pozitive poarta numele de transformare dubla ( 2 sided ).

2)Consideram N impar, si fie p = (N-1) / 2, atunci:

Se observa ca in acest caz nu exista componenta la frecventa Nyquist. Daca N = 2^m, se poate calcula DFT efectuand numai N * log₂(N) = N * m operatii. Un astfel de algoritm de calcul rapid al DFT este si FFT ( Fast Fourier Transform ). In cazul in care numarul de esantioane nu este o putere a lui 2 se foloseste un procedeu prin care se introduc zerouri pana cand numarul de esantioane ajunge la o putere a lui 2 ( aceasta are ca si consecinta si marirea rezolutiei de frecventa ).

Libraria de instrumente virtuale pentru calculul transformatei Fourier din cadrul LabVIEW contine urmatoarele instrumente:

Real FFT.vi: are la intrare un semnal real

Complex FFT.vi: are la intrare un semnal complex

iesirile ambelor instrumente sunt complexe.

C. Spectrul de putere

Pentru componenta de pe pozitia k din spectrul unui semnal puterea se calculeaza cu formula: P_k = | X[ k ]|² .

Deoarece spectrul de putere s a obtinut prin ridicarea la patrat a amplitudini transformatei Fourier ( DFT sau FFT ) spectrul de putere are intodeauna valori reale pozitive, deci se pierde informatia de faza.

Distanta in frecventa dintre doua esantioane este Df = f_s / N si constituie una dintre intrari instrumentului virtual in cazul calculului spectrului de putere. Acest instrument este Power Spectrum.vi si trebuie precizat ca are ca si unitate de masura V_rms = V / .