Modele de echilibru a activelor financiare si pretul riscului

Modele de echilibru a activelor financiare si pretul riscului

Selectarea unui portofoliu este in general precedata de analiza financiara a ansamblului actiunilor individuale. Daca obiectivul investitorului este de maximizare a castigurilor viitoare sau a sperantei sale in profituri viitoare, portofoliul sau nu va fi constituit decat dintr-o singura valoare, cea care ii asigura rentabilitatea separata maxima.

In acelasi timp, nici un investitor nu detine doar o valoare, ci un portofoliu diversificat. Daca rentabilitatea separata este mare, riscul ca ea sa nu se realizeze este in general ridicat si apare preferabil fiecaruia sa se repartizeze riscurile asupra unui ansamblu de valori "bune", deorece diversificarea reduce riscul total al unui portofoliu.

H. Markowitz intr-o analiza care contine cont de cistigurile separate si de variatiile posibile ale acestor castiguri, sugereaza urmatorul procedeu de selectare a unui portofoliu optim.

a) Rentabilitatea

Rentabilitatea unei actiuni R_t apare ca si suma plus-valorii de capital si a dividentelor raportata la cursul actiunilor la debutul perioadei:

- rentabilitatea separata pe o actiune (speranta matematica).

Rentabilitatea separata a unui portofoliu este egala cu media ponderata a rentabilitatilor preconizate pentru diferitele titluri care-l compun.

Rata de rentabilitate preconizata a unei actiuni poate sa difere in functie de performanta medie inregistrata de aceasta actiune in trecut. Din contra, daca ne asteptam la o distributie apriori a ratelor de rentabilitae trecute care se vor mentine in viitor, valoarea separata poate fi estimata pornind de la ratele de rentabilitate medii realizate in perioadele precedente.

Toti investitorii prefera sigur optiunile de investitii care ofera perspectivele cele mai interesante. Rata de rentabilitate privita izolat nu este suficienta pentru a caracteriza o oportunitate de investitie. Trebuie luate in considerare si devierile posibile ale ratei de rentabilitate in raport cu valoarea lor separata, ceea ce ne duce la conceptul de incertitudine sau risc.

b) Riscul unei actiuni

Riscul unei investitii in valori imobiliare provine din aceea ca sperantele de rentabilitate nu sunt intotdeauna realizate. Sigur, aceaste sperante pot fi depasite dar se poate si ca rentabilitatea unui titlu sau portofoliu sa fie net inferioara celei anticipate sau chiar puternic negativa. Dispersia rentabilitatii in jurul rentabilitatii medii sau operative va oferi incertitudinea sau riscul plasamentului. Dispersia tip sau variatia constituie o masura comoda a acestei dispersii si investitorii care incearca sa evite riscul prefera plasamentele a caror variatie este slaba.

Variatia nu poate fi calculata decat asupra flctuatiilor trecute ale ratei de rentabilitate. Putem deci in conditiile in care volatibilitatea variatiilor de curs ale actiunilor si a portofoliului este relativ stabila sa utilizam o estimare a riscului din trecut pentru a evalua riscul unui plasament actual.

Matematic, dispersia unei actiuni se calculeaza astfel:

unde:

R_it este rentabilitatea actiunii i in perioada t; R_i este rentabilitatea sa medie

c) Riscul unui portofoliu

Riscul total al unui portofoliu poate fi intotdeauna calculat prin determinarea variatiei sau a dispersiei tip a rentabilitatii sale. De obicei, el este inferior sumei ponderate a riscurilor titlurilor care-l compun. Deoarece variatiile cursului diferitelor actiuni care compun un portofoliu sunt in parte independente, ele au tendinta de a se compensa, deci de a reduce riscul total.

In figura (1), fluctuatiile celor doua actiuni sunt perfect si pozitiv corelate. Cand una creste, cealalta la fel si invers. In acest caz variatia portofoliului este aceeasi ca si cea a fiecarei actiuni luate individual. Combinarea celor doua intr-un portofoliu nu aduce nimic, deoarece dispersia ramane aceeasi ca si in situatia in care am fi contractat-o asupra uneia din cele doua actiuni.

In figura (2), presupunem ca cele doua actiuni sunt corelate negativ intre ele. Cand una creste, celalta scade si invers. Cand combinam aceste doua actiuni intr-un portofoliu, variatia portofoliului este total eliminata.

Deoarece riscul unui portofoliu se diminueaza in functie de talia sa, iar de obicei 35% din fluctuatiile de curs ale unei societati pot fi explicate prin fluctuatiile pietei si pentru ca toate cursurile sunt pozitive corelate, nu este posibil sa eliminam riscul pietei iar deoarece toate cursurile sunt pozitiv corelate, nu este posibil sa eliminam riscul pietei sau riscul sistematic de portofoliu.

O masura matematica a gradului de dependenta a fluctuatiei de curs a doua actiuni (sau portofoliu) este covariatia intre ratele de rentabilitate, care se exprima astfel:

unde: R_it si R_jt sunt ratele de rentabilitate a doua actiuni i si j, iar R_i si R_j sunt mediile lor respective.

Se poate utiliza si coeficientul de corelatie:

Acesta este egal cu 0 daca fluctuatiile de curs a doua actiuni sunt independente, +1 daca ele sunt perfect corelate (proprotionale) - figura (1) si -1 daca ele sunt negativ corelate ca si in figura (2).

Pentru un portofoliu in care am investit intr-o proportie x₁ intr-o actiune I si x2 intr-o actiune j; (x₁ + x₂=1), rentabilitatea sperata este:

iar riscul:

Cu cat σ₁₂ este mai slab (negativ), riscul portofoliului va fi mai redus.

d) Selectarea unui portofoliu

Markowitz in 1959 a dezvoltat o metoda generala de rezolvare a structurarii unui portofoliu care incorporeaza tratamentul cuantificat al riscului. El propune investitorului un ansamblu de portofolii eficiente, deci acela care pentru o rentabilitate globala posibila, prezinta riscul cel mai scazut si invers. Aceasta metoda utilizeaza conceptul de medie pentru rentabilitatea sperata si de variatie pentru incertitudinea asociata acestei rentabilitati.

Daca reprezentam pe un grafic fiecare actiune individuala cu riscul sau caracteristic si rentabilitatea sa sperata, obtinem figura (1).

Daca vom combina aceste actiuni in portofoliu putem ajunge la a reduce riscul pentru o anume rentabilitate.

Daca le combinam in proportii diverse obtinem un ansamblu de portofolii reprezentate printr-o curba (fig.2) care uneste punctele semnificative ale sectiunilor A si B.

Daca efectuam toate combinatiile posibile de portofolii de valori mobiliare, vom obtine un ansamblu de valori mobiliare, un ansamblu de portofolii optime, denumite in general "frontiera eficienta" - linia AB din figura (3). Aceste portofolii optime sau eficiente sunt acelea care pentru un nivel de risc dat, maximizeaza rentabilitatea sau pentru un nivel de rentabilitate sperat, minimizeaza riscul.

Este dificil si costisitor sa obtinem un ansamblu de portofolii eficiente prin aceasta metoda. Pentru 100 de valori mobiliare avem nevoie sa estimam 4950 de covariatii distincte intre rate de rentabilitate a actiunilor luate doua cate doua, deci in total 5050 termeni.

W. Sharpe in 1970, a sugerat o metoda simplificata prin care matricea de covariatie este inlocuita cu o matrice diagonala care tine cont de relatia dintre fiecare actiune si piata globala (β) si riscul specific.

Modelul Markowitz nu este un model de zi cu zi, ci un model de structura pe termen mediu (un an de exemplu).

Ajustarile portofoliilor care reflecta miscarile pe termen scurt nu devin decat marginale.

Acest model nu se substituie gestionarului portofoliului care totdeauna trebuie sa ia decizii, nici analistului care trebuie sa aduca informatii dar permite masurarea pretului si riscurilor politicii de investitii a primului, totul verificand coerenta previziunilor celui de al doilea. Fara a mecaniza decizia de selectie a portofoliilor, aceasta metoda face mai eficienta colaborarea celor doi.

e) Calcularea performantelor portofoliilor

Rata de rentabilitate r a unui portofoliu este usor de masurat atata timp cat nu intervine nici un aport sau retragere de fonduri. Ea se obtine raportand diferenta dintre valoarea portofoliului intre sfarsitul si inceputul perioadei de referinta (v₁-v₀) si valoarea sa la inceputul perioadei (v₀).

Aceasta metoda porneste de la ipoteza ca singura sursa de variatie a valorii portofoliului provine de la elementele sale componente. Dar valoarea portofoliului se poate modifica in urma aporturilor sau retragerilor de fonduri.

Exemplificand, putem presupune ca o retragere de fonduri (Ct) a intervenit la inceputul zilei t din intervalul masurat.

Parametrii de calcul sunt:

valoarea portofoliului la inceputul anului v₀ = 100; retragerea de fonduri in ziua t, Ct =50, t=30 de zile;

valoarea portofoliului la sfarsitul anului v₁ = 60.

Schimbarea valorii portofoliului in cursul anului este v₁ = Ct - v₀ = 10.

Pentru a calcula rata de rentabilitate este eronat sa impartim modificarea valorii portofoliului fata de valoarea sa initiala, la inceputul anului; in masura in care o suma de capital mult mai putin importanta a fost investita cea mai mare parte a anului (deoarece retragerea de fonduri a intervenit la sfarsitul primei luni a anului pentru care este calculata performanta).

Pentru a tine cont de acest fenomen exista mai multe metode de calcul a rentabilitatii care dau rezultate diferite:

1. Rata de rentabilitate ponderata cu capitalurilor investite

Exprima raportul variatiei portofoliului in medie fata de capitalul investit in perioada respectiva.

(v₁ + Ct - v₀) / (v₀ - ½ Ct) = (60 + 50 - 100) / (100 - 25) = 13,3 %

Aceasta presupune ca aportul de fonduri sa intervina la mijlocul perioadei de asa maniera incat contributia lor la rentabilitatea capitalului investit sa fie egala cu jumatate din valoarea lor. O metoda de calcul mai precisa consta in a nu imparti cu v₀ - ½ Ct, ci cu un termen care tine efectiv cont de timpul relativ pe parcursul caruia aporturile sunt investite iar retragerile neinvestite.

Pentru calcularea unei rate de rentabilitate anuale avem:

(v₁ + Ct - v₀) / [(365 - t) / 365 Ct] = [10/(100 - 335 / 36550)] = 18,48 %

In masura in care intervin mai multe aporturi sau retrageri de fonduri, fiecare dintre ele se gaseste afectat de o greutate relativa corespunzatoare timpului de prezenta in cadrul portofoliului. Aceasta metoda are dezavantaje in masura in care utilizeaza o rata de rentabilitate medie contabila fara a tine cont de o rentabilizare sau actualizare a aporturilor sau retragerilor intervenite intre diferitele date ale perioadei.

2. Metoda ratei interne de randament

Reprezinta rata de actualizare care tine seama de valoarea actualizata a tuturor fluxurilor de venituri egale cu suma capitalului initial.

Daca rata interna de randament este r,=> v₀ = Ct / (1 = r)^t/365 = v₁ / (1 = r) =>r = 18,9%

Este un calcul complicat in situatia in care aporturile sau retragerile de capital sunt frecvente. Chiar folosind mijloace informatice, introducerea exacta a datelor ramane dificila si indelungata.

Similar, o eroare de inregistrare contabila sau informatica, corectata in ziua urmatoare printr-o inregistrare de sens opus va determina aparitia unui puternic cash flow intr-o zi si opusul sau a doua zi.

Acest fenomen, neutru din punct de vedere contabil poate perturba total calculul ratei interne de randament. Aceasta metoda este imperfecta daca este utilizata pentru a evalua performantele gestionarii si compararea lor cu a altor gestionari.

Rezultatele sunt mult afectate de aporturile si retragerile efectuate de clienti si asupra carora cel care gestioneaza portofoliul nu are nici o influenta. Pentru a putea compara diferitii gestionari, trebuie calculate performantele lor in administrarea unor capitaluri identice. (evaluarea performantelor pe unitate monetara investita).

Aceasta metoda se utilizeaza cand nu stim valoarea portofoliului in momentul efectuarii aportului sau retragerii de fonduri.

3. Rata de rentabilitate ponderata in timp

Se foloseste daca valoarea valoarea portofoliului este cunoscuta de fiecare data cand intervin aporturi sau retrageri de fonduri.

Pentru a o determina este suficient sa descompunem anul pe parcursul caruia calculam performantele in perioada in care au loc aporturi sau retrageri de fonduri. In fapt, ratele de rentabilitate succesive sunt calculate si apoi inlantuite.

Astfel,

rata de de rentabilitate a primului interval:

rata de rentabilitate pentru al doilea interval:

rata de rentabilitate ponderata in timp:

La exemplul precedent, portofoliul avea o valoare de 95 in momentul cand a avut loc o retragere de 50. Prin urmare:

Din cele trei metode ultima ofera cele mai corecte rezultate.

In ce priveste calculul ratei de rentabilitate a pietei, evaluarea performantelor unui portofoliu consta in a compara rentabilitatea sa cu cea a unui portofoliu negestionat, avand acelasi nivel de risc.

Performantele portofoliului negestionat constituie astfel standardul de comparatie.

Sa presupunem ca se pot clasifica mai multe portofolii dupa performantele lor. In ipoteza ca pe parcursul perioadei evaluate, compozitia portofoliilor ramane neschimbata iar vectorul ratei de rentabilitate si matricea de variatie- covariatie este constanta, trebuie identificat un portofoliu de piata. Daca acesta este eficient in termeni de variatie medie, este usor de aratat ca toate portofoliile pentru care evaluam performantele, vor avea aceeasi clasificare, oricare ar fi indicele utilizat.

Daca un indice ineficient a fost ales ca reprezentativ pentru portofoliul de piata, orice clasament este posibil, acesta depinzand de compozitia indicelui utilizat.