 |
|
 |  |
|
|
| |
 | Biologie | Chimie | Didactica | Fizica | Geografie | Informatica |
| Istorie | Literatura | Matematica | Psihologie |
BAZELE PSIHOLOGICE SI METODOLOGICE ALE REZOLVARII PROBLEMELOR DE ARITMETICA
Aritmetia ramane unul dintre obiectivele esentiale ale predarii matematicii la nivel elementar, dar tendinta este de a-I elimina caracterul plicticos, dogmatic, pe care o avea alta data. Se lasa copilului mai multa libertate de a alege tehnicile si strategiile de calcul.
In cadrul complexului de obiective pe care le implica predarea invatarea matematicii in ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezinta o activitate de profunzime, cu character de analiza si sinteza superioara. Ea imbina eforturile mintale de intelegere a celor invatate si aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stapanirii unui repertoriu de cunostinte matematice solide ( notiuni, definitii, regului, tehnici de calcul) precum si deprinderi de aplicare a acestora.
Valoarea formativa a rezolvarii problemelor sporeste pentru a participarea si mobilizarea intelectuala a elevilor la o astfel de activitate este superioara altor demersuri matematice, elevii fiind pusi in situatia de a descoperi ei insisi modalitatile de rezolvare si solutia, sa formeze ipoteze si apoi sa le verifice.
Rezolvarea problemelor pune la incercare in cel mai inalt grad capacitatile intelectuale ale elevilor, le solicita acestora toate disponibilitatile psihice, in special inteligenta, motiv pentru care in ciclul primar programa de matematica acorda problemelor o mare importanta si atentie.
Aceasta activitate este domeniul matematicii optim pentru dezvoltarea gandirii logice, principalul process psihic datorita caruia omul poate realize cunoasterea realitatii.
Valoarea ei nu consta in numarul de probleme rezolvate, cat in efortul mintal solicitat printr-un antrenament continuu si sistematic.
Varietatea mare de probleme face imposibila gasirea unei singure cai de rezolvare, a unei singure metode, de aceea si metodele de rezolvare a problemelor sunt multiple si variate.
Notiunea de problema si etapele rezolvarii ei
Notiunea de problema are un continut larg cuprinzand o gama variata de preocupari si actiuni in diferite domenii. In general, orice chestiune de natura practica sau teoretica ce necesita o rezolvare, o solutionare, poarta numele de problema. Altfel spus, avand in vedere ca orice proces de gandire este declansat de o intrebare pe care si-o pune sau i se pune omului, se admite ca formularea unui raspuns clar si précis la o astfel de intrebare constituie o problema. Limitandu-se la matematica, admitem ca prin problema se intelege orice chestiune a carei solutionare se poate obtine prin procese de gandire si calcul.
Cuvantul isi are originea in limba latina si a intrat in vocabularul romanesc prin limba franceza.
Cuvantul folosit de matematicieni si psihologi " pro - ballein" are semnificatia " ceea ce ti se arunca in fata ca obstacol" sau provocare.
O problema de gandire apare atunci cand in fata omului apare un obstacol. Cand situatia se poate rezolva pe baza experientei de care dispune individual, a deprinderilor anterior formate, atunci gandirea nu mai este confruntata cu o problema.
Problema de matematica reprezinta transpunerea unei situatii practice sau a unui complex de situatii practice in relatiile cantitative si in care, pa baza valorilor numerice date si aflate intr-o anumita dependenta unele fata de altele si fata de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute.
A rezolva o problema inseamna a gasi o iesire dintr-o dificultate, a gasi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil.
A gasi solutia unei probleme este o performanta specifica inteligentei, iar inteligenta este apanajul specific speciei umane; se poate spune ca, dintre toate indeletnicirile omenesti cea de rezolvare a problemelor e cea mai caracteristica.
Partile principale ale unei probleme sunt: datele, necunoscutele si conditia. Datele sunt ceea ce se cunoaste ( ipoteza), necunoscutele sunt ceea ce trebuie aflat ( concluzia), iar conditia reprezinta legatura dintre ele.
Elevul trebuie ajutat sa inteleaga datele si conditia problemei, sa raporteze datele cunoscute la valoarea necunoscuta, sa construiasca sirul de judecati care conduc la gasirea solutiei problemei. Sarcina de a-l forma pe elev sa inteleaga si sa stie sa descopere solutiile problemei, de a-l conduce pe firul logic de rezolvare a acesteia revine invatatorului.
Capacitatea de a rezolva problemele depinde si de nivelul de pregatire al elevilor, de experienta de care dispun. Cunostintele pe care le au elevii trebuie reamintite atunci cand e nevoie, facute utile scopului urmarit, adaptate problemei pe care urmeaza sa o rezolve.
Rezolvarea oricarei probleme trece prin mai multe etape metodice. In fiecare etapa are loc un process de reorganizare a datelor si de reformulare a problemei, pe baza activitatii de orintare a rezolvatorului pe drumul si in directia solutiei problemei.
Aceste etape sunt:
A. Cunoasterea enunturilor problemelor se realizeaza prin actul cititului de catre invatator si de atre elevi a textului. Prin citirea problemei se urmareste retinerea datelor, stabilirea relatiilor dintre ele, fixarea necunoscutelor. Am pus accent pe delimitarea ipotezei de concluzie, a ceea ce se cunoaste de ceea ce trebuie aflat.
B. Intelegerea enuntului problemei - nu este posibil ca elevul sa formuleze ipoteze si sa construiasca rationamentul rezolvarii problemei decat in masura in care cunoaste termenii in care se pune problema. Enuntul problemei contine un minim necesar de informatii. Datele si conditia problemei reprezinta termenii de orientare a ideilor, a analizei si sintezei, precum si a generalitatilor ce se fac treptat pe masura ce se inainteaza spre solutie. Intrebarea problemei indica directia in care trebuie sa se orienteze formularea ipotezelor. Acest minim de informatii trebuiesc receptionate in mod optional de catre elevi prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu actiuni cand este cazul.
Prin discutiile purtate cu elevii, trebuiesc retinute elementele matematice importante: datele problemei, relatiile dintre date si intrebarea problemei. Nereceptionarea corecta a enuntului problemei genereaza multe dificultati in activitatea de rezolvare, cum ar fi: schimbarea sensului unei date, neglijarea unor date, luarea in consideratie a unor numere care nu au functie de date ale problemei.
C. Analiza problemei si intocmirea planului logic este etapa in care se produce eliminarea aspectelor ce nu au semnificatie matematica si se elaboreaza reprezentarea matematica a continutului problemei. Este etapa in care se construieste rationamentul de rezolvare a problemei, adica drumul de legatura intre datele problemei si necunoscuta. Prin exercitiile de analiza a datelor, a semnificatiei lor, a relatiilor dintre ele si a celor dintre date si necunoscuta se ajunge sa ne ridicam de la situatiile concrete pe care le reprezinta problema, la nivelul abstract care vizeaza relatiile dintre parte si intreg.
Transpunand problema intr-un desen sau intr-o imagine, scriind date cu relatiile dintre ele intr-o coloana, evidentiem esenta matematica a problemei, adica reprezentarea matematica a continutului ei.
In momentul in care elevii au transpus problema in relatiile matematice, solutia este ca si descoperita.
D. Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii judecatilor din planul logic - este etapa ce consta in alegerea si efectuarea calculelor din planul logic de rezolvare, cu constientizarea semnificatiei rezultatelor partiale ce se obtin prin calculele respective si a rezultatului final.
E. Activitati suplimentare - constituie ultima etapa a procesului rezolvarii. Se pot efectua urmatoarele activitati suplimentare :
- verificarea rezultatului;
- scrierea sub forma de exercitiu;
- gasirea altor cai sau metode de rezolvare;
- generalizare;
- compunerea de probleme dupa modelul celei rezolvate.
Procesul de rezolvare a problemelor antreneaza in system elementele ajunse la automatizare, dar mai ales coreleaza elementele ale caror actiune trebuie sa ramana in permanenta sub controlul constiintei.
Sarcina principala a invatatorului, cand pune in fata elevilor o problema, este sa-i conduca pe acestia la o analiza profunda a datelor, analiza care sa le permita o serie de reformulari. Necesitatea analizei riguroase a datelor este cu atat mai mare in clasele mici cu cat stim ca elevul intampina dificultati in aceasta directie, in special datorita unei lipsei unei vederi de ansamblu asupra problemei si constientizarii intregului rationament de rezolvare a acesteia.
O alta sarcina a invatatorului este sa -l ajute pe elev sa cuprinda imaginea de ansamblu a problemei. O problema este cu atat mai dificila cu cat ea difera mai mult problemele rezolvate anterior.
Rezolvarea problemelor constituie activitatea matematica cea mai bogata in valente formative, in ea concentrandu-se intreaga experienta dobandita de elev atat in studierea si cunoasterea numerelor, cat si al calculului, acestea devenind elemente auxiliare in rezolvarea problemelor.
2. Clasificarea problemelor de matematica in ciclul primar
Din unmghiul educarii creativitatii, W. Reitman clasifica problemele in cinci categorii:
A. Reproductive - necreative - sunt probleme de aplicare a algoritmului de lucru, de consolidare si intelegere matematica, care necesita doar o gandire reproductiva, rezolvarea lor implicand folosirea strategiilor algoritmice.
Exemplu:
Andreea are 12 baloane rosii si 11 baloane verzi. Cate baloane are Andreea in total?
B. Demonstrativ - applicative - sunt probleme ce include aflarea a doua numere cand se cunoaste suma si diferenta lor. In astfel de probleme rezolvarea finala este bine specificata, drumul spre rezolvare gasindu-se prin respectarea unor reguli de aplicare.
Exemplu:
Suma a doua numere este 435. Sa se afle cele doua numere stiind ca suma si diferenta lor este 19.
C. Euristic - creative - sunt problemele ce presupun specificarea notiunii solutiilor si cerintele pe care trebuie sa le satisfaca.
Exemplu:
Aflati numerele a, b si c, care sa satisfaca urmatoarele conditii:
a) sunt pare, iar "a" si "b" sunt mai mici decat 10;
b) b = 2a
c) C : a = 7 rest 3
D. Inventiv - creative - sunt problemele in care ipoteza este bine specificata, mentionand elementele prin care se presupune atingerea starii finale obtinute. Aici se incadreaza problemele cu variabile, compuse de elevi.
E. Probleme de optimizare - sunt probleme rar intalnite in ciclul primar. Acestea au un grad de dificultate sporit care solicita mai ales procesul de transfer al cunostintelor.
Problemele se mai pot clasifica si dupa alte criterii:
A Dupa finalitate si dupa sfera de aplicabilitate:
1) Probleme teoretice - ( probleme referitoare la numere, operatii si proprietatile operatiilor)
Exemplu:
Calculati : a x b x c x d stiind ca : a = 2; a x b = 16; b : c = 2 si c x d = 20
2. Probleme practice * probleme referitoare la marimi )
Exemplu:
La un deposit s-au adus intr-un transport 663 Kilograme de mere si piersici. Stiind ca mere au fost de doua ori mai multe decat piersici, aflati cate kilograme de fructe de fiecare fel s-au adus.
B.. Dupa continut problemele pot fi clasificate astfel:
1) Probleme de geometrie
Exemplu:
Perimetrul unui dreptunghi este de 982 metri. Daca lungimea este cu 223 metri mai mare decat latimea, cati metri are fiecare latura?
2) Probleme de aritmetica
Exemplu:
Suma a trei numere este 800. Al doilea numar este cu 30 mai mare decat primul, iar al treilea este cu 20 mai mare decat al doilea.. Sa se afle cele trei numere.
3) Probleme tipice ( de miscare)
Exemplu:
Un automobilist si un motociclist au pornit amandoi de la Bucuresti las Constanta ( 260Km). La ce distanta de Constanta se afla motociclistul in momentul cand automobilistul a ajuns la Constanta, dupa 5 ore de drum, Daca viteza motociclistului a fost de doua ori mai mica decat cea a automobilistului?
C. Dupa numarul operatiilor problemele pot fi clasificate astfel:
Probleme simple:
Exemplu:
Ana are 2 baloane. Andreea are 3 baloane. Cate baloane au cele doua fete impreuna?
2. Probleme compuse
Exemplu:
Mimi a primit de la mama 3 timbre, iar de la tata 5 timbre. Ea ii da fratelui sau 2 timbre. Cate timbre i-au mai ramas?
D. Dupa gradul de generalitate al metodei folosite:
1. Probleme generale in care se foloseste metoda analitica si sintetica
2. Probleme tipice care se rezolva printr-o metoda specifica: metoda grafica, metoda mersului invers, metoda comparatiei, metoda reducerii la unitate, etc.;
3. Probleme recreative, rebusistice, de perspicacitate si ingeniozitate.
3. Metode generale de rezolvare a problemelor
a ) Metoda sintetica
A examina o problema prin metoda sintetica inseamna a orienta gandirea elevilor asupra datelor problemei, astfel incat sa le grupeze dupa relatiile dintre ele si sa formuleze aceste probleme intr-o succesiune logica astfel alcatuita incsa se incheie cu acea problema simpla a carei intrebare coincide cu intrebarea problemei.
Metoda sintetica este mai accesibila dar nu solicita prea mult gandirea elevilor; se porneste de la cunoscut spre necunoscut.
Exemplu:
" La un magazin s-au adus 10 saci cu zahar a cate 87 Kg fiecare sac si 10 saci cu orez a cate 65 kg fiecare sac. Cate kg cantareasc in total toti sacii cu zahar si orez?"
In judecarea problemei pe cale sintetica se porneste de la aflarea cantitatii de zahar din cei 10 saci cunoscand ca un singur sac cantareste 87 kg, apoi aflarea cantitatii de orez din cei 10 saci cunoscand ca un sac cantareste 65 kg., dupa care se ajunge la ultima intrebare care coincide cu intrebarea problemei.
Pentru a ilustra mai bine procesele prin care au loc rezolvarea unei probleme pe cale sintetica , voi prezenta sub forma de schema problema prezentata mai sus.
Planul de rezolvare:
1. Cate kg cantaresc 10 saci cu zahar?
10 X 87 kg = 870 kg
2. Cate kg. cantaresc 10 saci cu orez?
10 X 65 kg = 650 kg
3. Cate kg cantaresc in total sacii cu zahar si orez?
870 kg + 650 kg = 1520 kg
Verificarea si punerea in exercitiu:
10 X 87 kg + 10 X 65 kg = 870 kg + 650 kg = 1520 kg
R: 1520 kg
b) Metoda analitica
A examina o problema prin metoda analitica inseamna a o privi in ansamblu, pornind de la intrebarea problemei. Se cauta sa se afle ce date sunt necesare pentru a raspunde la intrebarea problemei. Se alcatuieste o problema simpla. Daca aceasta problema nu are toate datele necesare rezolvarii ei se ajunge la datele problemei. Acest plan este construit din intrebarile problemelor simple, asezate in ordinea lor logica. Metoda analitica este mai complexa, poate fi mai dificila, dar solicita mai mult gandirea elevilor si folosind-o, ii ajuta pe copii sa priveasca problema in totalitatea ei, sa aiba mereu in atentie intrebarea problemei.
Ea este mai grea fiindca presupune un proces de gandire continua si de profunzime, fapt pentru care exista tendinta de a fi in general ocolita. Dar intrebuintarea acestei metode contribuie intr-o mai mare masura la dezvoltarea gandirii logice si numai cunoasterea si intrebuintarea ei creeaza posibilitatea rezolvarii de catre elevi a problemelor in mod independent. De aceea este necesar ca pe masura ce elevii dobandesc priceperea de a examina problemele prin metoda sintetica, sa se treaca treptat la utilizarea metodei analitice, mai ales in clasele a III - a si a IV - a.
Pentru a ilustra mai bine procesele prin care au loc rezolvarea unei probleme pe cale analitica , voi prezenta sub forma de schema problema propusa mai sus.
Planul de rezolvare:
1. Cate kg cantaresc 10 saci cu zahar?
10 X 87 kg = 870 kg
2. Cate kg. cantaresc 10 saci cu orez?
10 X 65 kg = 650 kg
3. Cate kg cantaresc in total sacii cu zahar si orez?
870 kg + 650 kg = 1520 kg
Verificarea si punerea in exercitiu:
10 X 87 kg + 10 X 65 kg = 870 kg + 650 kg = 1520 kg
R: 1520 kg
Metoda sintetica este mai usoara, mai accesibila elevilor datorita faptului ca nu necesita un process de gandire prea complex. Metoda analitica este mai dificila fiindca presupune un process de gandire amplu si din acest motiv este uneori ocolita.
Rezolvand probleme prin metoda sintetica, elevii isi dezvolta gandirea reproductiva, iar rezolvarea problemelor prin metoda analitica le dezvolta gandirea productiva, creativa.
Procesul analitic nu apare si nici nu se produce izolat de cel sintetic intrucat cele doua operatii ale gandirii se asesc intr-o stransa conexiune si interdependenta, ele conditionandu-se reciproc si realizandu-se intr-o unitate inseparabila. Astfel, descompunerea unei probleme compuse in probleme simple din care este alcatuita constituie in esenta un proces de analiza , iar formularea planului de rezolvare, cu stabilirea succesiunii problemelor simple, constituie un process de sinteza. Din aceste motive, cele doua metode apar deseori sub o denumire unica : metoda analitico - sintetica.
Legatura stransa dintre analitic si sintetic este pusa in evidenta chiar de felul de desfasurare si stabilire a concluziilor in examinarea problemelor cu ajutorul careia s-au exemplificat cele doua metode. Astfel, planul de rezolvare stability in urma examinarii problemei respective prin metoda analitica este identic cu cel stabilit prin metoda sintetica, problemele simple si succesiunea lor fiind aceeasi. Doar in cazul metodei sintetice planul de rezolvare reda sub o forma mai concisa desfasurarea procesului de examinare a problemei.
4. Rezolvarea problemelor simple
Primele probleme simple sunt acelea pe care si le propune elevul zilnic in scoala, in familie, in timpul jocului si care sunt illustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-I face sa vada inca din clasa I utilitatea activitatii de rezolvare a problemelor este necesar ca micii scolari sa inteleaga faptul ca in viata de toate zilele sunt situatii cand trebuie gasit unh raspuns la diferite intrebari.
Problemele simple sunt probleme a caror rezolvare se realizeaza prin efectuarea unei singure operatii. Ele se intalnesc cu precadere la clasa I, in scopul asimilarii notiunii de problema. Pentru elaborarea oricarei notiuni matematice exista trei etape:
Prima etapa are un caracter pur concret, elevii manipuland obiecte ce li se ofera intr-o multitudine de posibilitati.
A doua etapa corespunde materialului semiconcret ( adica a imaginilor a), prezentat sub forma unor scheme grafice, urmate de introducerea simbolurilor matematice.
Exemplu :
1. In prima etapa folosim ca material didactic fructe:
" Intr-un cos sunt 4 mere si 3 pere. Cate fructe sunt in cos?"
In continuare am luat merele si le-am cerut elevilor sa formuleze o problema care sa se rezolve, folosind operatia de scadere. Copii au formulat problema:
"Intr-un cos sunt 7 fructe, mere si pere. Cele 4 mere au fost luate. Cate pere au ramas in cos?"
2. In a doua etapa se formeaza probleme folosind material intuitive. Treptat se trece de la situatia concreta in care se opereaza cu obiecte ( mere, pere), la situatii desprinse de concret, la imagini si mai tarziu spre abstract.
Desenele contribuie la intelegerea continutului problemei si al orientarea atentiei copiilor catre ceea ce se cere in problema.
3. Dupa parcurgerea celor doua etape se trece la probleme in care se folosesc expresiile "cu atat mai mult" sau "cu atat mai putin" . Prin ilustrarea situatiilor se pot intelege mai usor aceste formulari matematice.
In rezolvarea problemelor simple, momentul cel mai important il constituie stabilirea operatiei corespunzatoare si justificarea alegerii acestei operatii. Deoarece activitatea de rezolvare a problemelor simple se introduce chiar din clasa I, rezolvandu-se la inceput probleme de adunare si scadere in concentrul 0 - 10, apoi in concentrul 0 - 20, stabilirea operatiei corespunzatoare constituie un process de gandire dificil, in desfasurarea caruia elevii trebuie initiati si condusi cu mult tact si deosebita rabdare.
Pentru stabilirea operatiei corespunzatoare fiecarei probleme simple este necesar ca in primul rand invatatorul si apoi elevii sa cunoasca toate cazurile in care procesele de gandire duc la operatia de adunare, toate cazurile care duc la operatia de scadere, astfel incat alegerea unei operatii sa poata fi justificata in mod rational.
In general, pentru alegerea operatiei pe careo comporta rezolvarea unei probleme simple, se porneste de la intrebarea problemei si cu ajutorul unui process de gandire se stabileste corespondenta dintre aceasta intrebare si unul dintre cazurile care cer aceasta operatie.
Pentru ca elevii sa constientizeze elementele componente ale problemei ca si notiunile de "problema" , rezolvarea problemei , "raspunsul la intrebarea problemei" , am prezentat elevilor probleme - actiune, fragmente autentice din viata. Scolarii mici trebuie mai intai sa traiasca problema, ca sa invete sa o rezolve.
Problema 1
" Dau unui elev doua caiete si altuia trei caiete. Cer primului copil ( Andrei) sa puna caietele pe masa." Dialoghez cu clasa.
Ce a facut Andrei? ( A pus pe masa doua caiete).
Cer celui de-al doilea copil ( Narcis) sa puna pe masa caietele sale.
Cate caiete a pus Andrei si cate caiete a pus Narcis pe masa? ( Andrei a pus 2 caiete si Narcis a pus 3 caiete).
Cate caiete sunt pe masa? ( Pe masa sunt 5 caiete. Elevii pot raspunde usor deoarece le vad.).
Cum ati aflat? ( langa cele 2 caiete pe care le-a pus Andrei, a mai pus Narcis 3 caiete si s-au facut in total 5 caiete. Deci, 3 caiete si inca 2 caiete fac 5 caiete. Pentru a afla numarul total de caiete facem operatia de adunare, 3 + 2 = 5 ).
Cer unui elev sa exprime actiunea facuta de colegii sai si sa formuleze intrebarea.
Cu acest prilej ii familiarizez pe elevi cu notiunile de "problema" si de "rezolvarea problemei" punctand totodata si partile componente ale problemei. Nu este inutil ca din aceasta etapa sa se strecoare si idea verificarii rezultatului ( vizul, prin numarare) ca o intarire imediata a corectitudinii solutiei.
Daca in problema anterioara rezultatul era vizibil, nu acelasi lucru se intampla si in problema urmatoare.
Problema 2
Cer elevilor sa fie atenti la Diana. Cer elevei sa arate elevilor 4 caiete si apoi sa le puna intr-un ghiozdan gol, aflat pe catedra, apoi ii cer sa mai arate 3 si sa le aseze tot in acel ghiozdan.
Dialoghez cu clasa.
Vedeti ate caiete sunt in ghiozdan? ( Nu.)
Atunci ce nu stim noi, sau ce trebuie sa aflam? ( Cate caiete sunt acum in ghiozdan.)
Se formuleaza enuntul problemei.
" Diana a pus intr-un ghiozdan 4 caiete si apoi a mai adaugat inca 3 caiete. Cate caiete sunt acum in ghiozdan?"
Pornind de la aceasta problema, le pot spune elevilor ca este formata din doua parti: o parte care ne arata ce cunoastem sau ce stim din problema ( ca Diana a pus in ghiozdan 4 caiete si apoi a mai pus inca 3 caiete) si o parte care ne arata ce nu cunoaste sau ce trebuie sa aflam. Aceasta se numeste "intrebarea problemei".
Ce nu cunoastem in problema? ( Cate caiete a pus Diana in ghiozdan?)
Deci, care este intrebarea problemei? ( Cate caiete a pus Diana in ghiozdan?)
Sa rezolvam acum problema! Cum vom gandi ? ( La 4 caiete pe care le-a pus mai intai Diana in ghiozdan, a ami adaugat inca 3 si s-au obtinut un numar de 7 caiete. Deci, 4 caiet + 3 caiete = 7 caiete.)
Ce am aflat? ( Ca Diana a pus in total 7 caiete in ghiozdan.)
Pentru a se convinge de corectitudinea rezolvarii problemei, Diana scoate caietele din ghiozdan si le numara ca sa vada intreaga clasa.
Conditia necesara pentru rezolvarea unei probleme simple, cunoasterea elementelor sale de structura nu trebuie sa se realizeze numai cu prilejul rezolvarii primelor probleme, ci este necesara o permanenta consolidare. Pentru aceasta se pot folosi diferite procedee:
Prezentarea unor "probleme" cu date incomplete pe care elevii le completeaza si apoi le rezolva ( Maria are 5 baloane rosii si 4 baloane albastre. Cate baloane are in total?)
Prezentarea "datelor problemei" la care elevii pun intrebarea ( Ioana culege 10 fragi si ii daruieste fratelui ei 3 fragi.)
Prezentarea intrebarii problemei la care elevii completeaza cu datele problemei ( Cat i-au mai ramas?)
La clasa I am avut grija sa prezint elevilor probleme treptat trecand prin urmatoarele etape:
Probleme dupa imagini;
Probleme cu imagini si text;
Probleme cu text.
Introducerea problemelor cu text a fost conditionata de invatarea de catre elevi a citirii scrierii literelor si cuvintelor.
Manualul de clasa I sugereaza modalitatea de redactare a rezolvarii unei probleme urmarind ca in absenta unui text scris invatatorul sa-I obisnuiasca pe elevi sa scrie doar datele si intrebarea problemei.
5. Rezolvarea problemelor compuse
Rezolvarea problemelor compuse nu inseamna numai rezolvarea succesiva a unor probleme simple. Dificultatea consta in legatura dintre verigi si constituirea rationamentului.
Problema compusa fiind alcatuita din mai multe probleme simple, cuprinde relatii in care se cere sa se determine o valoare numerica necunoscuta pe baza unor valori numerice date, care se gasesc intr-o anumita dependenta unele fata de altele si toate de marimea cautata.
La rezolvarea problemelor compuse se trece dupa rezolvarea unui numar sufficient de mare de probleme simple. Initial am ajutat elevii in rezolvarea problemelor, apoi am deplasat activitatea spre elev determinandu-l astfel sa-si formezepriceperea de a lucra independent. Pentru a trece treptat de la probleme simple la probleme compuse am procedat la contopirea in acelasi enunt a doua probleme simple.
Exemple:
1. De ziua lui, Dan a primit de la parintii sai 3 carti cu povesti si 2 carti de colorat.
Cate carti a primit Dan de la parintii sai?
De ziua lui,Dan a primit de la prietenii sai 2 carti cu povesti si 1 carte de colorat.
Cate carti a primit Dan de la prietenii sai?
Din contopirea celor doua probleme se obtine problema:
De ziua lui, Dan a primit de la parintii sai 3 carti cu povesti si 2 carti de colorat, iar de la prietenii sa a primit 2 carti cu povesti si 1 carte de colorat,
Cate carti a primit Dan in total?
Rezolvarea problemelor compuse solicita intr-o masura mai mare gandirea logica deoarece este necesara punerea in corespondenta a problemelor simple, sesizarea legaturilor organice dintre ele, a dependentei lor reciproce astfel incat sa se poata stabili succesiunea acestor probleme in vederea gasirii rezultatului final.
Pentru a asigura desfasurarea procesului de gandire prin care se caracterizeaza examinarea unei probleme compuse, este necesar sa se clarifice textul problemei, sa se ajunga la intelegerea de catre elevi a imprejurarilor care au generat acea problema, sa se arate pas cu pas care sunt judecatile care intervin in analiza problemei, cum se insiruiesc ele, cum depend una de alta si cum se conditioneaza reciproc, sa se recompuna apoi diferitele parti ale problemei intr-un tot unitar, sa se faca apoi abstractizari si generalizari.
Unii elevi intampina dificultati in rezolvarea problemelor compuse deoarece au o singura intrebare, aceasta fiind intrebarea ultimei probleme simple componente, restul intrebarilor care reprezinta celelalte probleme simple urmeaza sa fie descoperite si formulate de acestia.
Exemple de probleme compuse a caror rezolvare corespunde urmatoarelor formule:
1) a + ( a + b ) = c
La un concurs sportive au participat trei baieti si un numar de fete. Cati copii au participat la acel concurs daca numarul fetelor a fost mai mare cu 2 decat cel al baietilor?
2) a + ( a - b ) = c
Intr-un cos erau 7 mere si un numar de pere. Numarul perelor era cu 3 mai ic decat cel al merelor. Cate fructe erau in cos?
3) ( a + b ) - c = d
Ion avea intr-o cutie 7 creioane. A mai cumparat 3 creioane. A dat colegei sale 2 creioane. Cate creioane mai are Ion?
4) ( a - c ) + b = d sau ( a + b ) - c = d
Andrei avea 10 timbre, dar a pierdut 4 timbre. Bogdan are 3 timbre. Cate timbre au cei doi copii impreuna?
6. Rezolvarea problemelor tip
Problemele care se rezolva prin metode speciale sunt probleme tipice. Acestea difera de la un tip de problema la altul. Rezolvarea fiecarui tip de probleme se bazeaza pe fixarea relativa a unei scheme de lucru cu o sfera limitata de aplicare, prin utilizarea careia se va ajunge la o anumita limita de miscare a gandirii, al unui anumit fel tipic de orientare a rationamentului.
Pentru insusirea de catre elevi a metodei de rezolvare a fiecarui tip de problema, trebuie sa aiba in vedere respectarea urmatoarelor conditii:
in explicarea fiecarui tip de problema sa se aleaga probleme cu continut simplu si cu numere mici pentru ca elevii sa poata urmari metoda de rezolvare, nu calcule cu numere;
pentru a ajunge la metoda de rezolvare mai sigur, mai usor, judecata elevilor trebuie sa se sprijine pe reprezentarea intuitiva a enuntului problemei. In felul acesta elevii recunosc usor legaturile si raporturile dintre marimile date in problema;
pentru fiecare tip sa se rezolve cat mai multe probleme, iar periodic sa se revina la cele invatate pentru a se putea repeat cu elevii;
la fiecare tip, elevii sa fie ajutati si indemanati sa compuna probleme asemanatoare;
dupa studierea unui grup de probleme ce se incadreaza intr-un anumit tip sa se faca deductii si generalizari, pe intelesul si cu ajutorul elevilor, stabilindu-se astfel ce s-a gasit comun la toate problemele, deosebirile dintre una si alta, care este metooda prin care se rezolva aceste probleme.
Dupa metodele care se folosesc in rezolvarea problemelor de matematica in ciclul primar, aceste probleme sunt cunoscute sub numele de:
Probleme care se rezolva prin metoda figurativa;
Probleme care se rezolva prin metoda comparatiei;
Probleme care se rezolva prin metoda falsei ipoteze;
Probleme care se rezolva prin metoda mersului invers;
Problme care se rezolva prin metoda reducerii la unitate;
Probleme de miscare
Probleme nonstandard
A. Probleme care se rezolva prin metoda figurativa
Aceasta metoda consta in reprezentarea prin desen a marimilor necunoscute si fixarea in desen a relatiilor dintre ele si a marimilor date in problema. Ea ajuta la formarea schemei problemei, la concentrarea asupra tuturor conditiilor problemei.
In rezolvarea unei probleme care face apel la aceasta metoda ne sprijinim pe rationament, folosind intelesul concret al operatiilor.
Figura corespunzatoare problemei trebuie sa insemne o schematizare a enuntului pentru a pastra in atentie relatiile matematice si nu toate aspectele concrete ca intr-o fotografie.
Avantajele pe care le prezinta aceasta metoda o situeaza pe primul loc in ceea ce priveste utilitatea ei. Astfel:
are caracter general, aplicandu-se la orice categorie de probleme in care se preteaza figurarea si pe diferite trepte ale scolarizarii;
are caracter intuitive, intelegerea relatiilor dintre date facandu-se pe baza imaginilor vizuale, uneori intervenind actiunea directa, miscarea, transpunerea acesteia pe plan mintal.
In aplicarea metodei figurative se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau combinatii ale acestora cu conditia ca ele sa fie adecvate naturii datelor problemei si accesibile sau mai ales utile celui ce rezolva. Astfel, se pot folosi:
-desenele ( pentru clasele mici);
- figuri geometrice diferite : segmenete , triunghi, cerc, patrat;
- figurarea schematica a relatiilor matematice intre datele problemei;
- anumite semen conventionale;
- litere si combinatii de litere.
Exemple de probleme care se rezolva prin metoda grafica
Problema 1
Daca se aseaza cate un elev intr-o banca, raman 14 elevi in picioare. Daca asezam cate 2 elevi intr-o banca raman 3 banci libere. Cati elevi si cate banci sunt?
Rezolvare
Din analiza primei parti a problemei deducem ca daca fiecarei banci ii corespunde 1 elev raman 14 elevi in picioare, ceea ce putem figura astfel:
...... ...
14
Analizand partea a II - a a problemei din enuntul problemei, deducem ca asezarea a cate 2 elevi in banca poate fi facuta in mai multe moduri dar cel mai bine este sa completam ate un elev in fiecare banca, mai intai cu cei 14 elevi ramasi in picioare si apoi cu cei 3 din bancile care vor ramane libere. Vom avea 17 banci cu cate 2 elevi ( 14 + 3 ) , deci 34 elevi si 17 + 3 = 20 banci.
17
Problema 2
Trei echipe au recoltat cartofi. Intr-o ora, prima echipa a format 5 gramezi de cate 25 kg, iar a doua echipa 6 gramezi a cate 50 kg, iar a treia echipa 4 gramezi a cate 30 kg.
Ce cantitate de cartofi s-a recoltat in 10 ore de lucru?
Rezolvare
Pentru a descrie graphic datele problemei, vom utilize diferite cercuri. Astfel, pentru o ora de recoltat vom avea urmatoarea reprezentare grafica:
I echipa
a II - a echipa
a III - a echipa
25 kg x 5 = 125 kg ( cartofi recolteaza prima echipa intr-o ora)
50 kg x 6 = 300 kg ( cartofi recolteaza a doua echipa intr-o ora)
30 kg x 4 = 120 kg ( cartofi recolteaza a treia echipa intr-o ora)
125 kg + 300 kg + 120 kg = 545 kg (cartofi recoltati intr-o ora)
545 kg x 10 = 5450 kg ( cartofi recoltati in 10 ore)
R: 5450 kg cartofi
a. Probleme de aflare a doua numere cand se cunoaste suma si diferenta lor
Pentru ca elevii sa inteleaga rezolvarea acestui tip de probleme, se porneste de la intuitive prin scheme, desene, sau operand in fata elevilor cu marimile problemei.
Exemplu:
Problema 1
Intr-o livada sunt 10 pomi fructiferi : meri si peri. Meri sunt cu 4 mai multi decat peri.
Cati meri si cati peri sunt in acea livada?
Se analizeaza problema si se ajunge la concluzia ca in problema se da suma a doua numere si ca unul dintre numere este cu 4 mai mare decat celalalt.
" Ce putem face ca cele doua numere sa fie egale?"
Pentru a raspunde la aceasta intrebare, elevii trebuie dirijati sa reprezinte marimea celor doua numere astfel:
Meri
10 pomi
Peri 4
Ei vor observa ca daca numarul merilor ar fi cu 4 mai mic, atunci numarul lor ar fie gal cu cel al perilor si numarul total s-ar micsora cu 4.
Plan si rezolvare
1. Egalam numarul merilor cu cel al perilor.
10 - 4 = 6 ( pomi fructiferi)
2. Cati peri sunt?
6 : 2 = 3 ( peri)
3. Cati meri sunt ?
3 + 4 = 7 ( meri)
In acelasi
mod putem rezolva aceasta problema, dar de aceasta data adaugam la numarul
perilor 4 pomi, pentru a egala numarul celor doua categorii de pomi.
Meri Meri 4
10 pomi ? pomi
Peri 4 Peri 4
1. 10 + 4 = 14 ( pomi fructiferi )
2. Cati meri sunt ?
14 : 2 = 7 ( meri )
3. Cati peri sunt ?
7 - 4 = 3 ( peri )
V: 7 + 3 = 10 ( pomi fructiferi
R: 3 peri, 7 meri
Dupa ce am egalat marimile, prima aflare este a marimii nemodificate ( nu adaugam si nici nu scadem nimic din ea ).
Dupa ce se rezolva mai multe probleme de acest tip, cu numere la nivelul fiecarei clase, se poate cere elevilor sa resolve probleme fara reprezentarea grafica, folosind adaugarea la numar a diferentei numerelor, cat si scoaterea din suma a diferentei numerelor.
In clasele a II - a si a IV - a se pot rezolva probleme de acest tip, in care se da suma a trei numere si diferenta dintre ele.
Problema 2
"Suma a 4 numere consecutive este 806. Cat este fiecare numar?"
Se explica mai intai elevilor termenul de "consecutive" si se reprezinta grafic problema.
Problema 3
"Intr-o librarie s-au adus 850 de cartii caiete. Stiind ca numarul cartilor este cu 50 mai mare decat al caietelor, sa se afle cate carti si cate caiete s-au adus/"
Rezolvare:
Vom reprezenta grafic problema:
Carti
Caiete 850 ?
sau
2 = 400 ( caiete ) 900 : 2 = 450 ( carti )
400 + 50 = 450 ( carti ) 450 - 50 = 400 ( caiete)
b. Probleme de aflare a numerelor cand se cunosc suma/diferenta si raportul dintre ele
In rezolvarea acestor probleme vom porni de la rezolvarea unor probleme cu date numerice mai mici cu care elevii sa opereze calculand oral. In acelasi timp, ei isi pot reprezenta mai usor relatiile dintre marimi.
Problema 1
" Intr-o curte sunt 45 de pasari. Sttind ca numaarul curcilor este de 4 ori mai mare decat al gainilor, aflati cate gaini si cate curci sunt in acea curte."
Rezolvare:
Din reprezentarea grafica elevii observa
ca numarul gainilor este reprezenta printr-un singur segment, iar numarul
curcilor este reprezentat prin 4 segmente egale cu primul. Deci, in total 5
segmente de aceeasi lungime.
Gaini
Curci 45 pasari
Elevii isi dau seama ca pentru a afla o parte, impartim intregul la 5:
: 5 = 9 ( gaini)
x 4 = 36 ( curci )
V: 36 + 9 = 45 ( pasari)
R: 9 gaini si 36 curci
Problema 2
" Intr-o clasa numarul fetelor este de 3 ori mai mare decat numarul baietilor. Stiind ca in acea clasa sunt cu 8 mai multe fete decat baieti, sa se afle cate fete si cati baieti sunt in acea clasa?"
Rezolvare:
Figuram cu un segment numarul baietilor care este mai mic.
Numarul fetelor va fi figurat prin 3 segmente de aceeasi lungime cu primul deoarece este de 3 ori mai mare decat primul.
Baieti
Fete
8
Cum numarul fetelor este cu 8 mai mare decat cel al baietilor, cele doua segmente vor reprezenta 8 fete.
Deci un segment reprezinta:
8 : 2 = 4 ( baieti )
4 x 3 = 12 ( fete )
V: 12 - 4 = 8
R: 4 baieti si 12 fete
EXEMPLE DE PROBLEME CARE SE POT REZOLVA
PRIN METODA FIGURATIVA
1. Suma a 4 numere consecutive este 30. Aflati numerele.
2. In 3 lazi sunt impreuna 614 kg. marfa. In a doua lada este de doua ori mai multa marfa decat in prima si cu 4 kg mai putina decat in a treia.
Cate kg de marfa sunt in fiecare lada?
3. Ionel are cu 600 lei mai mult ca Adrian, Adrian are de 3 ori mai putin ca Victor, iar Victor are cu 200 lei mai mult ca Ionel.
Ce suma are fiecare?
4. Un numar este egal cu 1 / 6 din celalalt iar suma lor este 48. Aflati numerele.
5.. Doi frati au impreuna un numar de mingi de tennis. Daca le-ar imparti in mod egal, fiecaruia i-ar reveni cate 8 mingi. Stiind ca unul dintre frati are cu 2 mingi mai putine decat celalalt, sa se afle cate mingi are fiecare.
6.. Clasele I ale unei scoli totalizeaza 113 elevi. In clasa I A sunt cu 7 elevi mai putini decat in clasa I B, iar in clasa I C cu 20 de elevi mai multi decat jumatate din numarul elevilor clasei I B.
Cati elevi sunt in fiecare clasa?
7. Tata impreuna cu mine avem 45 de ani. Tata este de 4 ori mai in varsta decat mine. Cati ani avem fiecare?
8. O cantitate de capsuni trebuie pusa in lazi. Daca in fiecare ladae pun cate 5 kg raman 180 kg. daca se pun cate 6 kg in fiecare lada, raman 20 lazi goale si o lada cu numai 2 kg. Cate lazi si cate kg de capsuni sunt?
B. Probleme care se rezolva prin metoda comparatiei
Ca operatie a gandirii logice, comparatia intervine in multe momente si situatii ale actrivitatii matematice, dar cu deosebire in problemele in care doua marimi necunoscute sunt legate intre ele prin doua relatii liniare bine precizate, valorile unitare fiind aceleasi.
Metoda consta in a face ca una din cele doua marimi sa aiba aceeasi valoare si in acest fel problema devine mai simpla, cu o singura necunoscuta. Intr-o astfel de problema, asezarea datelor se face prin respectarearelatiilor stabilite intre marimi si astfel incat comparatia dintre valorile aceleiasi marimi sa fie pusa in evidenta in mod direct asezand valorile de acelasi fel unele sub altele.
Procedeele de rezolvare a unor probleme duc la eliminarea uneia dintre marimi prin reducere, adica prin adunare sau scadere. Daca valorile aceleiasi marimi sunt legate prin enuntul problemei, reducerea este imediata prin scaderea relatiei respective.
Daca din enuntul problemei nu rezulta valori egale atunci apare necesitatea aducerii la acelasi termen de comparatie. Prin aceasta metoda se rezola probleme de egalizare la o relatie cu o singura necunoscuta.
a. Metoda aducerii la acelasi termen al comparatiei
Problema 1
" Intr-o saptamana 12 baieti si 7 fete au cules 630 kg de cirese. In saptamana a doua, 12 baieti si 3 fete au cules 510 kg de cirese.
Cate kg de cirese a cules pe saptamana czte o fata si cate un baiat?"
Rezolvare:
Se scrie si se compara cele doua relatii:
baieti.........7 fete ...........630 kg cirese
baieti ........3 fete ..........510 kg cirese
baiat .........1 fata...........? kg cirese
Comparand relatiile intre ele se deduce cu usurinta ca echipa a doua a cules o cantitate mai mica de cirese, datorita faptului ca are mai putini copii decat prima. Adica, diferenta de 4 fete ( 7 - 3 ) corespunde diferentei de120 kg ( 630 kg - 510 kg). Rezulta ca 4 fete culeg impreuna 120 kg de cirese, iar o fata 30 kg ( 120 kg : 4 = 30 kg) . Introducand acest rezultat in oricare din relatii, rezolvarea problemei decurge astfel:
Cu cate fete sunt mai multe in prima echipa decat in a doua?
7 fete - 3 fete = 4 fete
2. Cu cate kg cirese culege mai mult prima echipa decat a doua?
630 kg - 510 kg = 120 kg ( cirese )
3. Cate kg de cirese a cules o fata?
120 kg : 4 = 30 kg ( cirese)
4. Cate kg de cirese culeg 7 fete?
30 kg x 7 = 210 kg ( cirese )
5. Cate kg de cirese culeg 12 baieti?
630 kg - 210 kg = 420 kg ( cirese )
6. cate kg de cirese culege 1 baiat?
420 kg : 12 baieti = 35 kg ( cirese )
V: ( 12 x 35 kg ) + ( 7 x 30 kg ) = 420 kg + 120 kg = 630 kg
( 12 x 35 kg ) + ( 3 x 30 kg ) = 420 kg + 90 kg = 510 kg
R: 30 kg - o fata; 35 kg - un baiat
Problema 2
"12 m de postav si 5 m de stofa costa 280 lei, iar 6 m de postav si 7 m de stofa costa 230 lei. Cat costa 1 m de postav si 1 m de stofa?
Rezolvare:
12 m postav.........5 m stofa .......280 lei / x 1
6 m postav........7 m stofa ...... 230 lei / x 2
Daca marim cantitatile de postav si de stofa de 2 ori, din a doua relatie obtinem urmatoarele date:
12 m postav ........5 m stofa .......280 lei
12 m postav.........14 m stofa .....460 lei
/ ............9 m stofa ......180 lei
1.Cat costa 1 m de stofa ?
180 : 9 = 20 lei
2. Cat costa 12 m de postav?
280 - ( 5 x 20 ) = 280 - 100 = 180 lei
3. Cat costa 1 m de postav?
180 : 12 = 15 lei
Putem calcula si invers, adica intai pretul unui metro de postav si apoi al unui metro de stafa. Indiferent de procedeul folosit, ajungem la acelasi rezultat.
Cat costa 1 m de postav?
180 : 12 = 15 lei
2. Cat costa 5 m de stofa?
280 - 180 = 100 lei
3. Cat costa 1 m de stofa?
100 : 5 = 20 lei
V: (12 m postav x 15 lei ) + (5 m stofa X 20 lei )= 180 lei + 100 lei = 280 lei
R: 1 m stofa costa 20 lei,
1 m postav costa 15 lei
b. Probleme de eliminare prin inlocuire
Problemele care se incadreaza in acest tip se rezolva inlocuind o marime prin alta, pe baza relatiilor cantitative dintre ele. Problemele care se rezolva prin inlocuire pot fi impartite in:
probleme a caror formulare utilizeaza expresiile comparative mai mare sau mai mic, mai mult sau mai putin, mai scump sau mai ieftin, cu o anumita marime, cantitate sau valoare, expresii carora le apartin operatii de adunare si scadere.
probleme a caror formulare utilizeaza expresiile comparative mai mare sau mai mic, mai mult sau mai putin, mai scump sau mai ieftin de un numar de ori, expresii carora le apartin operatiile de inmultire si impartire.
Problema 1
"Un kg de bomboane si 14 pungi de biscuiti costa 304 lei. Un kg de bomboane este de 5 ori mai scump decat o punga de biscuiti.
Cat costa un kg de bomboane si o punga de biscuiti ? "
Rezolvare:
In enuntul problemei se spune ca 1 kg de bomboane valoreaza de 5 ori mai mult decat o punga cu biscuiti. Deci, in loc de 1 kg de bomboane se pot cumpara 5 pungi de biscuiti. In total s-ar cumpara 14 + 5 = 19 pungi cu biscuiti cu 304 lei.
O punga de biscuiti costa 304 lei : 19 = 16 lei. Ceea ce inseamna ca 1 kg de bomboane costa 16 lei x 5 = 80 lei
R : 1 kg de bomboane costa 80 lei
1 punga biscuiti costa 16 lei
Problema 2
" 5 oi si 8 vitei consuma intr-o zi 83,5 kg nutret. Un vitel consuma cu 2,8 kg mai mult ca o oaie.
Cat consuma o oaie si cat consuma un vitel ?
Rezolvare:
Daca un vitel consuma cu 2,8 kg mai mult decat o oaie, 8 vitei consuma cu 2,8kg x 8 = 22,4 kg mai mult ca 8 oi. Considerand ca in locul viteilor ar fi fost oi s-ar fi consumat cu 22,4 kg mai putin, adica 13 oi consuma 83,5 kg - 22,4 kg = 61,1 kg; asadar, 1 oaie consuma 61,1 : 13 = 4,7 kg
Deci un vitel consuma 4,7 kg + 2,8 kg = 7,5 kg
R : o oaie consuma 4,7 kg nutret
1 vitel consuma 7,5 kg nutret
Problema 3
"Pentru 3 m de stofa si 2 perechi de pantofi s-au platit 395 lei. Cat costa 1 m de stofa si o pereche de pantofi, daca 1 m de stofa costa cu 10 lei mai putin decat o pereche de pantofi ?
Rezolvare:
m x 10 = 30 lei
395 + 30 lei = 425 lei ( ar costa r perechi de pantofi)
425 lei : 5 = 85 lei ( costa o pereche de pantofi )
85 - 10 75 lei ( costa 1 m de stofa)
V : 3 m x 75 lei + 2 x 85 lei = 225 lei + 170 lei = 395 lei
R : 1 m stofa costa 75 lei
1 pereche pantofi costa 85 lei
EXEMPLE DE PROBLEME CARE SE POT REZOLVA
PRIN METODA COMPARATIEI
1. Intr-o zi 12 baieti si 6 fete din clasa a IV - a au cules 150 kg de cirese. In a doua zi, 24 de baieti si 13 fete au cules 305 kg de cirese.
Cate kg de cirese au cules in medie pe zi o fata si un baiat ?
2. Pentru 4 kg de mere si 15 kg de portocale s-au platit 15600lei, iar pentru 3 kg de mere si 10 kg de portocale s-au platit 10050 lei. Cat costa 2 kg de mere si 2 kg de portocale la un loc ?
3. 17 saci cu faina si 12 saci cu cartofi cantaresc 1210 kg, iar 21 saci cu faina si 22 saci cu cartofi cantaresc 1410 kg.
Cate kg are u sac de fiecare fel ?
4. Pentru 11 cai, 10 vaci si 12 taurasi sunt necesare intr-o zi 223 kg fan. A doua zi se hranesc 10 cai, 8 vaci si 7 taurasi cu 180 kg de fan. Daca s-ar hrani intr-o zi 7 cai, 5 vaci si 4 taurasi s-ar consuma 118,5 kg fan.
Cat fan consuma pe zi un cal, o vaca si un tauras ?
5. Un iepure merge de 4 ori mai repede decat o broasca. Ambii pornesc in acelasi timp, spre acelasi loc dar la 300 m distanta unul fata de altul, ajungand in acelasi timp la destinatie.
Cat parcurge broasca si cat parcurge iepurele ?
C. Probleme care se rezolva prin metoda falsei ipoteze
Metoda falsei ipoteze este metoda prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei presupuneri, a unei ipoteze, confruntand apoi situatia reala cu cea creata prin introducerea datelor ipotetice.
Problemele a caror rezolvare se bazeaza pe metoda presupunerilor sau a ipotezelor, a falsei ipoteze, se pot clasifica in doua categorii, dupa numarul ipotezelor care sunt necesare pentru orientarea rationamentului si determinarea rezultatelor :
probleme pentru rezolvarea carora este suficienta o singura ipoteza ;
probleme pentru rezoolvarea carora sunt necesare doua sau mai multe ipoteze succesive.
Aceasta metoda consta in a emite o ipoteza oarecare ( desi de obicei se pleaca de la ipoteza " toate de acelasi fel"), nu in ideea de a gasi raspunsul, ci pentru a sesiza nepotrivirea cu enuntul si ce modificari trebuie sa facem asupra ei.
Deci, metoda se numeste a falsei ipoteze pentru ca se bazeaza pe presupunerea ca ipoteza nu ar fi conforma cu adevarul.
Daca am aplica o serie de incercari succesive, pana la gasirea solutiei, ar fi o rezolvare empirica. Comun cu astfel de rezolvare este numai faptul ca facem o incercare arbitrara ce o continuam printr-un rationament.
Problema 1
"In cadrul unui concurs, un elev raspunde la 10 intrebari si obtine 130 de puncte. Sa se afle cate raspunsuri au fost corecte si cate gresite stiind ca pentru un raspuns corect a obtinut 25 de puncte, iar pentru un raspuns gresit a pierdut 15 puncte.
Rezolvare:
Presupunem ca toate raspunsurile sunt corecte. Ar trebui sa detina:
10 x 25 = 250 puncte
In realitate a obtinut 130 de puncte. Deci, 250 - 130 = 120 puncte
Cele 120 puncte pierdute se datoreaza faptului ca la o intrebare cu raspuns gresit, in loc sa adune 25 de puncte, s-au pierdut 15 puncte, in total s-au pierdut 15 + 25 = 40 puncte. Deci au fost 120 : 40 = 3 raspunsuri gresite si 10 - 3 = 7 raspunsuri corecte.
R : 7 raspunsuri corecte
3 raspunsuri gresite
Problema 2
"Intr-o curte sunt gaini si oi, in total 100 de capete si 330 de picioare. Cate gaini si cate oi erau in curte ? "
Rezolvare :
Presupunem ca ar fi numai gaini :
100 x 2 = 200 ( picioare ar avea 100 de gaini)
330 - 200 = 130 ( picioare in plus)
130 : 2 = 65 ( oi )
100 - 65 = 35 ( gaini)
V : 35 x 2 + 65 x 4 = 70 + 260 = 330 ( picioare )
65 + 35 = 100 ( capete)
R : 65 oi si 35 gaini
EXEMPLE DE PROBLEME CARE SE POT REZOLVA
PRIN METODA FALSEI IPOTEZE
1. Intr-o clasa se afla un anumit numar de banci. Daca s-ar aseza in fiecare banca cate 2 elevi, atunci 7 dintre ei nu ar avea loc, daca in fiecare banca s-ar aseza cate 3 elevi, atunci 5 banci ar ramane neocupate. Sa se afle numarul elevilor si numarul bancilor din sala de clasa.
2. In 31 de apartamente cu 2, 3 si 4 camere sunt 105 camere. Numarul apartamentelor cu 4 camere este de 3 ori mai mare decat al celor cu 2 camere. Cate apartamente de fiecare fel sunt ?
3. Intr-o urna sunt 13 bile albe si negre. Daca extragem din urna o bila alba obtinem 3 puncte, iar daca extragem o bila neagra obtinem 5 puncte. Cate bile albe si cate bile negre a extras un copil din acea urna daca a totalizat 49 de puncte ?
4. Suma a cinci numere naturale este 500. Stiind ca primul numar este de 5 ori mai mic decat al doilea, cu 5 mai mic decat al teilea, cu 10 mai mare decat al patrulea si cu 2 mai mic decat al cincilea, sa se afle cele 5 numere.
5. Daca in fiecare lada se pun 35 kg cartofi, raman 600 kg cartofi netransportati, iar daca in fiecare lada punem cate 55 kg raman 40 lazi goale. Cate lazi si cate kg de cartofi erau ?
6. Intr-o cantina sunt 20 de mese cu 3 si 4 picioare. Stiind ca mesele au impreuna 67 de picioare, sa se determine cate mese de fiecare fel sunt.
D. Probleme care se rezolva prin metoda mersului invers
Prin aceasta metoda se rezolva unele probleme in care datele depind unele de altele succesiv.
Ea consta in faptul ca enuntul unei probleme trebuie urmarit de la sfarsit spre inceput. Analizand operatiile facute in problema si cele pe care le facem noi in rezolvarea problemei, constatam ca in fiecare etapa facem operatia inversa celei facute in problema.
Deci, nu numai mersul este invers, ci si operatiile pe care le facem pentru rezolvare sunt invers celor din problema. Proba se face facand asupra numarului gasit operatiile indicate in enuntul problemei.
Problema 1
"Un numar se inmulteste cu 10. La rezultat se adauga 532, apoi rezultatul obtinut se imparte la 2 si se obtine 501. Care este numarul ?
Rezolvare :
( a x 10 + 532 ) : 2 = 501
Care este ultima operatie facuta ? Citim din enunt: " se imparte la 2 si se obtine 501".
Deci, numarul pe care il impartim la 2 si obtinem 501 este : 501 x 2 = 1002
Problema data devine : " un numar se inmulteste cu 10. La rezultat se adauga 532 si am obtinut 1002 .
a + 10 + 532 = 1002
Ce numar am adunat cu 532 si am obtinut 1002? Acesta este:
Problema apare acum astfel: "Un numar se inmulteste cu 10 si se obtine 470. Care este numarul cautat ?
a x 10 = 470; a = 470 : 10; a = 47
V: ( 47 x 10 + 532 ) : 2 = 501
R: 47
Problema 2
"Un calator are de facut un drum. In prima zi merge 3 / 10 din drum, a doua zi 2 / 7 din rest, a treia zi 3 / 5 din noul rest si a patra zi ultimii 20 de km.
Care este lungimea drumului ? "
Rezolvare:
Vom reprezenta grafic astfel:
I zi
a II - a zi
a III - a zi
20 km
a IV - a zi
1. Cat reprezinta 1 / 5 din distanta parcursa a treia zi?
20 km : 2 = 10 km
2. Cati km a parcurs a treia zi ?
10 km x 3 = 30 km
3. Cati km a parcurs a doua zi ?
10 km x 2 = 20 km
4. Cati km a parcurs in prima zi ?
10 km x 3 = 30 km
5. Care este lungimea drumului ?
30 km + 20 km + 30 km + 20 km = 100 km
R : 100 km
Problema 3
" Irina are o anumita suma de bani. In prima zi a cheltuit 1 / 2 din ea, a doua zi 1 / din rest, a treia zi 1 / din noul rest, iar a patra zi 1 / 3 din suma ramasa. Dupa aceste cheltuieli ii mai raman 24 de lei.
Ce suma a avut la inceput?"
Vom reprezenta grafic astfel :
I zi
a II -a zi
a III-a zi
24
lei
Observam cu atentie reprezentarea grafica si constatam ca cei 24 lei reprezinta cele 2 / 3 din restul ramas din a treia zi.
24 : 2 = 12 lei
12 x 3 = 36 lei ( reprezinta 2 / 3 din restul ramas din a doua zi)
36 : 2 = 18 lei ( cheltuieste a treia zi )
x 3 = 54 lei ( reprezinta 2/3 din restul ramasdin prima zi )
54 : 2 = 27 lei ( cheltuieste a doua zi )
27 x 3 = 81 ( cheltuieste in prima zi si reprezinta jumatate din suma)
V : 81 lei + 27 lei + 18 lei + 12 lei + 24 lei = 162 lei ( suma initiala)
R : 162 lei
EXEMPLE DE PROBLEME CARE SE POT REZOLVA
PRIN METODA MERSULUI INVERS
1. Un biciclist parcurge un traseu in trei etape. In prima etapa el parcurge 1 / 6 din drum plus 5 km, in a doua etapa parcurge 1 / 5 din restul drumului, iar in a treia etapa parcurge 3 / 4 din restul drumului plus 9 km. Sa se determine lungimea drumului si cati km a parcurs biciclistul in fiecare etapa.
2. Intr-un siloz se afla o anumita cantitate de cereale : 1 / 6 grau, ¼ din rest porumb, 3/5 din noul rest ovaz, 2/3 din cel de-al treilea rest este secara, iar restul de 3,5 tone este orz. Ce cantitate de cereale se afla in siloz ?
3. O gospodina a plecat la piata cu o suma de bani, cu 2/4 din suma a cumparat cartofi, cu 3/5 din rest a cumparat ceapa, iar cu 3/4 din rest a cumparat morcovi. Gospodinei i-au mai ramas 250 lei. Aflati cu ce suma de bani a plecat gospodina la piata.
4. Ma gandesc la un numar, il inmultesc cu 5, impart produsul la 2, rezultatul il inmultesc cu 6, produsul il impart la 3, acest cat il impart la numarul initial, adaug la rezultatul obtinut acest numar si obtin 31. La ce numar m-am gandit ?
5. Cinci invatatoare cumpara pentru elevii lor toate revistele de matematica de la o toneta, astfel : prima un sfert din numarul revistelor, a doua un sfert din numarul revistelor ramase, a treia cat prima, a patra cat a doua, iar ultima 10 reviste.
Cate reviste a cumparat fiecare invatatoare ?
6. Un tractor ara intr-o zi 1/3 din suprafata unei parcele si inca 5 ha, a doua zi jumatate din ce a ramas, mai putin 5 ha si a treia zi ultimele 20 ha.
Sa se determine suprafata parcelei.
7. Un elev a rezolvat toate problemele dintr-o culegere in 5 zile. In prima zi a rezolvat 1/5 si inca 3 probleme, a doua zi 2/5 din rest si inca 3 probleme, a treia zi 3/5 din rest si inca 4 probleme, a patra zi 3/5 din rest si inca 5 probleme. Pentru a cincea zi au ramas de rezolvat 3 probleme.
Cate probleme a avut de rezolvat elevul?
E. Probleme care se rezolva prin metoda reducerii la unitate
Prin aceasta metoda se recurge la asezarea datelor problemei intr-o schema care usureaza procesul de gandire in examinarea si rezolvarea situatiilor intalnite.
Problemele de regula de trei simpla si de trei compusa se rezolva , de obicei, prin procedeul proportiilor si prin procedeul reducerii la unitate.
Prin regula de trei simpla, se rezolva acele probleme in care se dau doua marimi direct sau invers proportionale, A si B si in care se cunosc doua valori a1 si a2 ale marimii A si valoarea b1 a marimii B corespunzatoare valorii a1 si trebuie sa se gaseasca valoarea b2 a marimii B corespunzatoare valorii a2.
Regula de trei simpla se numeste astfel, deoarece in fiecare problema care se rezolva prin aceasta regula , sunt date trei numere si se cauta al patrulea, proportional cu numerele date.
Este necesar ca fiecare invatator sa ii obisnuiasca pe elevi cu modul de asezare schematica a datelor in desfasurarea procesului de gandire.
Problema 1
" Andreea a cumparat 5 buchete de frezii si a platit 7500 lei, Ana Maria a cumparat frezii in valoare de 10 500 lei. Cate buchete a cumparat Ana Maria daca buchetele cumparate au acelasi pret la vanzare?
Rezolvare :
Se vor aseza datele problemei pe doua siruri :
7 500 lei ................5 buchete
10 500 lei................ ? buchete
Rationam astfel : daca se platesc 7 500 lei pentru 5 buchete, atunci pentru un singur buchet cati lei se vor plati ? Mai multi sau mai putini ? De 5 ori mai putini, deoarece cele doua marimi sunt direct proportionale si daca una din ele ( numarul de buchete ) s-a micsorat, si cealalta ( suma platita) se va micsora de 5 ori.
Deci, pentru un buchet de frezii vor fi necesari : 7 500 lei : 5 = 1 500 lei ( buchetul)
Rezulta ca am redus la unitate ( in cazul nostru un buchet) marimea reprezentata prin numarul de buchete.
Introducem apoi datele problemei pe al doilea sir.
Pe noi ne intereseaza cate buchete vom putea cumpara cu cei 10 500 lei.
Daca pentru 1 buchet se platesc 1500 lei, atunci, cu cei 10 500 lei se vor cumpara 10 500 lei : 1 500 lei / buchet = 7 ( buchete )
R : 7 buchete de frezii
Problema 2
"5 kg de faina costa 25 lei. Cate kg de faina se pot cumpara cu 35 lei ?"
Rezolvare :
Se vor aseza datele problemei pe doua siruri :
5 kg faina ................25 lei
? kg faina ...............35 lei
Rationam astfel :
5 kg faina ................25 lei
1 kg faina ................25 lei : 5 = 5 lei
35 : 5 = 7 kg faina ...........35 lei
sau :
? = 5 x 35 = 175 = 7 kg
O mare atentie trebuie acordata de invatator acestor categorii de probleme pentru ca elevii sa poata sa-si dea seama daca numarul necunoscut va fi un numar mai mare sau mai mic decat numarul total.
La inceput am rezolvat asemenea probleme folosind planul de rezolvare si deci, metoda reducerii la unitate, apoi aceeasi metoda am simplificat-o, folosind asezarea schematica a datelor si operatiilor, cerand elevilor ca, oral, sa motiveze asezarea schematica a rezolvarii.
EXEMPLE DE PROBLEME CARE SE POT REZOLVA
PRIN METODA REDUCERII LA UNITATE
1. Din 24 kg visine se obtin 6 kg dulceata. Cate kg de visine sunt necesare pentru a obtine 10 kg de dulceata ?
2. Cati lei costa 4 prajituri, daca pentru 3 prajituri s-au platit 24 lei ?
3. Un biciclist parcurge cu bicicleta 51 km in 3 ore. Mergand la fel de repede, in cat timp va parcurge 85 de km ?
4. Deplasandu-se pe un fluviu in amonte, un vapor parcurge distanta de 72 km in 4 ore. Deplasandu-se in aval, pe acelasi fluviu, parcurge distanta de 144 km in 6 ore.
Cu cati km va parcurge mai mult in timp de 5 ore daca s-ar deplasa in aval decat daca s-ar deplasa in amonte ?
5. Un muncitor are de sapat un sant pe care trebuie sa-l termine in 7 zile. Daca sapa cu 2 m mai mult pe zi, temina santul de sapat in 5 zile.
Cati metri de sant a avut de sapat ?
6. Pentru o biblioteca s-au cumparat 3 dulapuri, 2 mese si 144 de scaune. O masa, un scaun si un dulap costa 2 808 000 lei.
Stiind ca o masa costa cat trei scaune, iar un dulap costa cat trei mese, aflati valoarea mobilierului cumparat.
F. Probleme de miscare
In structura problemelor de circulatie intervin cele trei marimi care caracterizeaza miscarea rectilinie : spatiul ( distanta ) , viteza si timpul. Pentru intelegerea acestui tip de probleme este necesar ca elevii sa-si formeze in primul rand notiuni clare in legatura cu cele trei marimi : sa cunoasca relatiile de interdependenta dintre ele si anume, cum se afla una dintre acestea, cand se cunosc celelalte doua.
Spatiul ( distanta ) ( S ) este lungimea drumului parcurs de un mobil ( tren, masina, om, etc ) exprimat prin unitatile de lungime ( metrul - multiplii si submultiplii acestuia)
Viteza ( v) este exprimata pri numarul de unitati de lungime parcurse de un mobil intr-o unitate de timp, exprimata prin unitati de timp ( m/s, km/h).
Timpul ( t ) este numarul de unitati de timp ( secunde, minute, ore, zile ) in care se parcurge o distanta.
In problemele de miscare se va vorbi despre miscarea uniforma a unui mobil, adica, in intervalle de timp egale mobilul va parcurge distante egale dupa relatia S = v x t. Din aceasta relatie se pot deduce : v = S : t si t = S : v
Notiunile respective se pot insusi usor de catre elevi prin analiza unor aspecte cat mai apropiate de preocuparile lor. In rezolvarea lor am pornit de la fapte cunoscute de elevi si folosind metoda figurativa, am facut elevii sa inteleaga repede aceste relatii.
Putem clasifica problemele de miscare in mai multe grupe :
a) probleme ce conduc direct la rezolvari simple de aflare a distantei, vitezei si timpului ;
b) probleme de intalnire ( cand mobilele se deplaseaza in sens contrar) ;
c) probleme de intalnire ( cand mobilele se deplaseaza in acelasi sens ) ;
d) probleme de compunere a vitezelor ;
e) probleme combinate.
Pentru intelegerea problemelor de miscare am insistat mult ca elevii sa inteleaga unii termeni precum: deplasarea in acelasi sens, deplasarea in sens invers, plecare simultana, succesiva, etc. Aceste notiuni au fost insusite de elevi pornindu-se de la rezolvarea unor probleme simple, legate de mediul inconjurator si folosind metoda figurativa, iar uneori demonstrand miscarea obiectelor pe tabla.
Problema 1
" Un autobuz parcurge distanta dintre doua orase in 4 ore, mergand cu viteza de 70 km/h. Care este distanta dintre cele doua orase ?
Rezolvare:
Utilizand figurarea distantelor printr-un segment de dreapta, se imparte acesta intr-un numar determinat de parti egale, fiecare parte reprezentand distanta parcursa in unitatea de timp, adica viteza autobuzului.
70 km 70 km 70 km 70 km
A B
Pentru a afla distanta dintre cele doua orase ( A si B ), inmultim numarul de km parcursi intr-o ora ( distanta parcursa in unitatea de timp) cu numarul orelor ( numarul unitatilor de timp) , adica:
S = 70 km x 4 ore = 280 km
Daca elevii cunosc destul de bine aceste relatii se pot trece la rezolvarea problemelor in care se cunosc alte doua relatii.
Problema 2
" Distanta dintre doua orase este de 280 km. Un autobuz parcurge aceasta distanta in 4 ore. Ce viteza are autobuzul ?
Rezolvare:
1 h 1 h 1 h 1 h
A B
280
km
Observam ca distanta este impartita in atatea parti egale cate unitati de timp sunt necesare autobuzului pentru a parcurge intreaga distanta.
v = S : t v = 280 km : 4 =
70 km / h
Dupa ce elevii afla relatiile dintre aceste notiuni, se rezolva problema, cerand elevilor atat aplicarea lor orala, cat si utilizarea formulelor. In acest fel contribuim la dezvoltarea gandirii lor, notiunile fiind insusite constient si putem trece usor la rezolvarea altor probleme de miscare.
Problema 3
"Doi turisti parcurg distanta de la A la B. Primul turist a sosit in B cu 2 ore mai tarziu decat al doilea. Viteza primului turist este de 4 km/h, iar viteza celui de-al doilea este de 6 km/h.
Sa se determine distanta de la A la B."
Rezolvare :
A B
V1 = 4 km / h
V2 = 6 km / h
V1 - V2 = 6 km/h - 4 km/h = 2 km/h
Deci, in fiecare ora, primul turist ramane in urma celui de-al doilea turist cu 2 km. Pana ce al doilea turist a ajuns in B, primul turist a ramas in urma cu o distanta pe care a facut-o in 2 ore, adica : S = 4 km/h x 2 ore = 8 km
Aceasta ramanere in urma s-a realizat intr-un anume timp:
T = 8 km : 2 km/h = 4 ore
Al doilea turist a mers o distanta de : S = 6 km/h x 4 ore = 24 km
V: T1 - 24 km : 4 km/h = 6 ore
T2 - 24 km : 6 km/h = 4 ore
6 ore - 4 ore = 2 ore
R : S = 24 km
Problema 4
"Un pieton care parcurge 5 km/h, pleaca din orasul A spre orasul B. In acelasi timp, un biciclist pleaca din orasul B spre orasul A cu viteza de 22 km/h. Intre orase este o distanta de 81 km.
Dupa cat timp se intalneste pietonul cu biciclistul?
La ce distanta de orasul B se intalnesc ?"
Rezolvare :
A B
5 km / h 22
km /h
5km + 22km =27 km (se micsoreaza distanta dintre pieton si biciclist in fiecare ora)
81 km : 27 km = 3 ore ( timpul dupa care se intalnesc)
22 km x 3 = 66 km ( se intalnesc la 66 km de orasul B ).
PROBLEME DE MISCARE
1. Ce viteza medie a avut un automobil care a parcurs distanta de 360 kilometri in 9 ore ?
2. Un automobil a plecat cu viteza de 18 km/h , urmand sa mearga 8 ore. Dupa ce a parcurs 54 de km, a trebuit sa se opreasca timp de 3 ore.
Cu ce viteza trebuie sa-si continue drumul pentru a ajunge la ora fixata ?
3. Distanta Bacau - Piatra Neamt este de 60 km. Din Bacau pornesc in acelasi timp o motoreta care merge cu viteza de 30 km/h si un biciclist care merge cu viteza de 12 km/h.
Dupa cat timp de la sosirea motoretei la Piatra Neamt va sosi biciclistul ?
4. Un lac are lungimea de 72 km. El este strabatut de o salupa in doua ore.
Ce distanta va strabate o barca cu vasle care se deplaseaza timp de 4 ore cu o viteza de 3 ori mai mica decat a salupei ?
5. Un ciclist se antreneaza pe soseaua AB. Merge 4 ore cu viteza de 18 km/h, apoi 3 ore urca o panta cu o viteza de 11 km/h. Distanta parcursa de ciclist o parcurge un motociclist in 3 ore. Cu ce viteza merge motociclistul ?
6. Din orasul A pleaca la ora 11 dimineata un biciclist, spre un alt oras B. El parcurge 16 km/h. Dupa 3 ore a plecat un al doilea biciclist din orasul B spre orasul A cu viteza de 12 km/h.
Cand si unde se vor intalni ei daca distanta dintre A si B este de 328 km ?
G. Metoda rezolvarii problemelor nonstandard
Denumite si recreative, rebusistice, de perspicacitate, problemele nonstandard sunt probleme - joc care nu se supun exigentelor vreunui criteriu de clasificare si care nu permit aplicarea vreunei metode invatate. Cel care le rezolva trebuie sa posede o gandire logica, sa fie creator.
In aceasta situatie gandirea si imaginatia lucreaza flexibil, rezolvitorul devenind, in situatia in care reuseste, un creator.
Diferite ipoteze care apar in legatura cu problema pusa nu tasnesc la intamplare in toate directiile, ci ele iau nastere pe baza asociatiilor, pe baza cunostintelor obtinute anterior.
Cu cat aceste cunostinte sunt mai vaste, mai profunde, cu atat sunt mai mari sansele ipotezelor care se nasc sa duca mai repede la gasirea solutiilor.
A sti sa rezolvi o problema presupune a avea capacitatile necesare analizei oricarei situatii care a dus la aceasta. Aceste capacitati se refera la intelegerea datelor si a ordinii acestora, la intelegerea conditiei problemei, a posibilitatii de elaborare a sirului de judecati pentru a construi rationamentul de rezolvare a problemei. In situatia rezolvarii unei probleme noi, activitatea de rezolvare poate fi in intregime un act de creatie.
Problema 1
" Ionel are o suma de bani. Dupa ce dubleaza suma, cheltuieste 20 lei, constatand ca i-au mai ramas 60 lei. Ce suma a avut Ionel la inceput ?
Rezolvare:
A = suma de bani
(A x 2) - 20 = 60 lei
A x 2 = 60 + 20
A x 2 = 80 lei
A = 80 : 2
A = 40 lei
V : (40 x 2 ) - 20 = 60 lei
Problema 2
" Alege o cifra de la 1 la 10. Adauga la aceasta numarul 29. Taie ultima cifra din suma obtinuta. Numarul ramas inmulteste-l cu 10. Mai adauga 4. Suma obtinuta inmulteste-o cu 3. Din rezultat scade 2. Ai obtinut 100 ?
Rezolvare:
De exemplu cineva a ales cifra 5.
5 + 29 = 34 ( taiem ultima cifra - 4)
3 x 10 = 30
30 + 4 = 34
34 x 3 = 102
102 - 2 = 100
Orice numar de la 1 la 10 am alege, adunandu-l cu 29 vom obtine la zeci 3, care, devin unitati, dupa ce taiem cifra unitatilor, apoi devin iar zeci, dar zeci intregi ( 30), in care adunand mereu 4 si rezultatul inmultindu-l cu 3 obtinem mereu 102, scazandu-l pe 2 vom obtine mereu 100.
EXEMPLE DE PROBLEME NONSTANDARD
1. La o cofetarie s-au adus 10 cutii cu bomboane, fiecare bomboana cantareste 10 g. Din greseala, o cutie contine bomboane in greutate de 9 g fiecare. Aflati dintr-o singura cantarire care ete cutia cu bomboane de 9g fiecare.
2. Un pescar amator, dar istet la matematica, se inapoia de la pescuit. Vazandu-l cam posomorat , fetita l-a intrebat :
- De ce esti suparat, tata ?
- Cum sa nu fiu suparat, raspunde el, cand stiu cati pesti am pescuit de data asta : 6 fara cap, 9 fara coada si 8 pe jumatate !
Cati pesti a pescuit tata ?
3. La o serata , au fost invitate 20 de persoane. Maria a dansat cu 7 tineri, Olga cu 8, Veronica cu 9 si asa mai departe, pana la Nina care a dansat cu toti tinerii.
Cati tineri ( barbati ) au fost la serata ?
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate
