Matematica are drept obiect formele spatiale si relatiile cantitative ale lumii reale, pe care le studiaza in forma lor pura, idealizata.

Preocuparea pentru continua perfectionare a predarii-invatarii matematicii in scoala, are in vedere o serie de consideratii privind functid sociala a disciplinei, semnificatiile ei culturale si filosofice, rolul ei in colaborarile interdisciplinare, in activitatea de cercetare, in pregatirea tehnica, pentru practicarea la nivel calitativ superior a meseriei, a profesiei, pe care o va alege tanarul ce se instruieste astazi in scoala.

Dezvoltarea la elevi a dragostei si interesului pentru insusirea matematicii, a raspunderii pentru pregatire, a increderii in posibilitatile lor, stimuladu-le permanent gandirea, spiritul de initiativa si creativitate, facandu-I sa inteleaga rolul determinant al matematicii in formarea intelectuala si profesionala sunt obligatii ale scolii.

Ca urmare a progresului in domeniul matematicii moderne, pe plan mondial se fac eforturu deosebite in adancirea si modernizarea continutului predarii, incepand cu primele notiuni, stiut fiind faptul ca la clasele mici receptivitatea copilului este mai mare.

Se apreciaza ca matematica scolara traditionala exagereaza rolul numerelor, promovand ideea falsa ca anumite notiuni de generalitate nu pot fi introduse decat pe suportul concret al numerelor. Problema esentiala a modernizarii matematicii inca din primii ani de scoala este tocmai de a gasi mijloacele de introducere a unor cunostinte de mare generalitate fara numere si inaintarea acestora, astfel incat sa permita derularea logica a tuturor cunostintelor matematice.

Numarul este una din notiunile importante ale matematicii. Caracterul abstract al conceptului de numar consta in faptul ca poate fi aplicat oricaror categirii de fenomene, exprimand determinarea lor cantitativa. Introducerea numarului natural, in conceptia actuala, se bazeaza pe notiunea de multime, aceasta avand un rol unificator al conceptelor matematice.

Numarul eate o proprietate a unei multimi si din punct de vedere psiho-pedagogic este indicat ca notiunea de multime sa preceada notiunea de numar, chiar de la inceputul scolarizarii.

Intelegerea numarului ca o proprietate a unei multimi, ca simbol al multimilor echivalente sau echipotente, se realizeaza in mai multe etape. Cunostintele despre multimi sunt extinse si aprofundate permanent, astfel ca pana la sfarsitul cursului gimnazial elevul este familiarizat cu notiunile referitoare la multimile N, Z, Q, R, precum si cu operatiile ce se pot realiza cu elementele acestor multimi. Fara sa cunoasca notiunile structurale de grup, inel, corp, opereaza cu elemente din aceste structuri tinand seama de particularitatile acestora. Cunoasterea acestor notiuni in ciclul gimnazial nu este posibila, ca urmare a gradului mare de abstractizare.

Folosirea literelor in calcul reprezinta o prima treapta de abstractizare a elementelor operante in matematica, reprezinta puntea de legatura dintre aritmetica si algebra.

Specialittii in domeniul invatamantului matematic, considera ca obiectivele modernizarii invatamantului matematic se exprima in:

a apropia matematica ce se invata in scoala de matematica epocii contemporane in privinta continutului, limbajului si metodei;

a organiza matematica elementara ca o constructie structurala

a face din matematica elementara un instrument de larga organizare in studii teoretice si in cativitatea practica;

a pune in lumina aspecte umane de ordin estetic si afectiv al studiului si muncii creatoare in matematica.

In continuare voi prezenta unele puncte de vedere cu privire la predarea elementelor de aritmetica in scoala.

Doua dintre cele mai importante teoreme din algebra sunt:

a)     Teorema impartirii cu rest pentru numere intregi;

b)     Teorema impartirii cu rest pentru polinoame.

Aceste doua teoreme sunt fundamentale, stand la baza aritmeticii numerelor intregi si a aritmeticii polinoamelor, pe baza lor se construieste algoritmul lui Euclid de determinare a celui mai mare divizor comun (atat pentru numere intregi cat si pentru polinoame), se obtine teorema de descompunere in factori primi la numere intregi si la polinoame, etc. Studiind alternativ cele doua teoreme se observa ca intre ele exista o mare asemanare, de unde se naste si intrebarea: nu exista si alte multimi de numere sau multimi ale caror elemente sunt de o natura oarecare si pentru care se poate da o teorema a impartirii cu rest, care sa ne permita sa construim si pentru ele o anumita aritmetica? Raspunsul la aceasta intrebareeste afirmativ. Aritmetica numerelor intregi, aritmetica polinoamelor intr-o nedeterminata cu coeficienti intr-un corp, cat si alte aritmetici se pot trata intr-un mod unitar cu ajutorul conceptului matematic de ' inel euclidian'.

Sa reamintim cele doua teoreme:

Teorema impartirii cu rest pentru numere intregi

Fie a si b doua numere intregi cu b 0. Atunci exista doua numere intregi q si r astfel incat

a = bq + r si 0 r |b|. (1)

In plus, numerele q si r sunt unice satisfacand proprietatile anterioare. In egalitatea data q si r se numesc catul si respectiv restul impartirii lui a la b.

Teorema impartirii cu rest pentru polinoame

Fie f si g doua polinoame cu coeficienti complecsi (reali sau rationali), cu g 0. Atunci exista polinoamele q si r cu coeficienti complecsi (reali sau rationali), astfel incat:

f = gq + r si grad r < grad g (2)

In plus, polinoamele q si r sunt unice, satisfacand proprietatile anterioare. In egalitatea anterioara q si r se numesc catul, respectiv restul impartirii lui f si g.

Ce se observa ?

Relatiile (1) si (2) sunt aproape identice. Este suficient sa schimbam cuvantul numar intreg cu cel de polinom si din (1) se obtine (2) cu o mica deosebire:

r |b|

din (1) se schimba in conditia grad r < grad g. In ambele teoreme se observa ca restul si catul sunt unic determinate.

Am prezentat anterior ca notiunea de numar reprezinta unul din conceptele fundamentale ale aritmeticii alaturi de notiunea de multime. In continuare voi prezenta introducerea acestui concept inca din primii ani de scolala, oglindit in programele si manualele scolare, pe clase si capitole.

Copii pot clasifica inca de la gradinita multimile cardinale echivalente, pot opera in plan mental cu factori logici ca negatia, disjunctia si conjunctia, datorita jocurilor logico-matematice.

Manualul de clasa intai introduce numarul natural folosind notiunea de succesor si notiunea de clasa de echivalenta. Apar chiar si unele elementele de topologie (interiorul unei curbe) si reprezentarea pe axa. Prin jocurile logico-matematice copiii invata sa respecte o regula, fie ea chiar de joc. In predarea primelor zece numere trebuie sa se realizeze urmatoarele obiective in cadrul fiecarei lectii:

cunoasterea multimilor concrete pe baza materialului intuitiv

compararea multimilor, precum si formarea multimilor cu 'atatea' elemente;

compunerea si descompunerea numarului, mai intai concret cu multimi de obiecte si apoi abstract

ordonarea numerelor, ceea ce duce la stabilirea notiunilor de ' mai mare', 'mai mic', precum si a semnelor corespunzatoare.

integrarea numarului respectiv in numerele naturale, numararea in ordine crescatoare si descrescatoare. Trecand de la 10 - 100 si asa mai departe, se realizeaza formarea conceptului de sistem de numeratie in baza zece, fara ca elevul sa cunoasca aceasta denumire pana in clasa a V-a.

Pana in clasa a cincea elevul ia cunostinta si cu notiunile de: doime, patrime, parte fractionara si fractii zecimale.

Tehnicile de calcul cu fractii ordinare si zecimale le aprofundeaza in clasa a V-a dupa ce se parcurge capitolul Divizibilitatea.

De reamarcat ca manualele ciclului gimnazial contin capitole ce conduc treptat la largirea notiunii de numar, care apare ca o necesitate fireasca in rezolvarea unor probleme ce apar imposibile in cadrul multimii de numere anterior studiata.

Exemplu: rezolvarea ecuatiilor

In clasa a VI-a la capitolul Extragerea radacinii patrate elevii se familiarizeaza cu notiunile de patrat perfect; radacina patrata cu aproximatie prin lipsa sau prin adaos, precum si cu notiunea de numar irational.

In clasa a VII-a elevii isi insusesc notiunea de rationalizare evident cea mai simpla, de forma:

iar in clasa a VIII-a iau cunostinta cu intervalele unde aplica in mod direct notiunea de modul, pe care si-au insusit-o in clasa a VI-a.