MULTIMEA NUMERELOR NATURALE

MULTIMEA NUMERELOR NATURALE

NOTIUNEA DE NUMAR NATURAL

Notiunea fundamentala cu care opereaza copiii inca din primele zile ale scolaritatii o constituie notiunea de numar natural. Introducerea acesteia se bazeaza pe conceptual de multimi echivalente.

Doua multimi care pot fi puse in corespondenta biunivoca se numesc multimi echivalente. Relatia de echivalenta grupeaza multimile in clase de echivalenta, fiecare clasa cuprinzand multimile care au acelasi numar de elemente, indiferent de natura lor. Prin urmare, o clasa de echivalenta este caracterizata printr-o proprietate comuna tuturor multimilor ce-i apartin, anume proprietatea de a contine acelasi numar de elemente. Aceasta proprietate se numeste puterea clasei de echivalenta si este reprezentata printr-un numar numit numar natural. Deci, numarul natural este simbolul care caracterizeaza, cu un grad inalt de generalitate, multimile echivalente.

Astfel, proprietatea caracteristica multimii vide este reprezentata prin numarul zero, de unde rezulta ca zero este un numar natural intrucat caracterizeaza clasa de echivalenta a multimilor care nu contin nici un element. Proprietatea caracteristica multimilor cu un singur element este reprezentata prin numarul 1, cea a multimilor cu un element si inca unul este reprezentata prin numarul 2, s.a.m.d. Prin urmare, numerele: 0, 1, 2, 3, . , n, caracterizeaza multimile echivalente formate, respectiv, din 0, 1, 2, 3, . , n, si se numesc numere naturale.

Intrucat clasa tuturor multimilor echivalente cu o multime A se numeste cardinalul multimi A, notat card. (A), rezulta ca numarul natural corespunde cardinalului multimilor finite de aceeasi putere.

Pentru multimile finite, identificam clasa multimilor de cate n elemente, deci cardinalul finit n, cu numarul natural n. Spre exemplu, multimii elevilor unei clase, multimii literelor din alfabetul latin etc., le corespunde cate un cardinal pe care il identificam cu numarul elementelor multimii respective, deci cu un numar natural.

Daca ne referim la multimile infinite, o clasa de multimi infinite echivalente se numeste cardinal transfinit.

CONSTRUCTIA MULTIMII NUMERELOR NATURALE

In matematica notiunea de multime este notiune primara. Unul din fondatorii teoriilor multimlor, CANTOR, a dat spre sfarsitul secolului al XIX-lea urmatoarea defintie: "o multime este reuniunea intr-un tot a unor obiecte ale intuitiei sau gandirii noastre bine determinate si care se pot deosebi intre ele."

Dezvoltarea in secolul trecut a teoriei multimilor a creat conditii favorabile definirii riguroase a numarului natural. Lucrari ale unor matematicieni celebri ca G. CANTOR sau W. R. DEDEKIND, contin diverse variante ale definitiei numarului natural in maniera constructivista. Acestia au pornit de la ideea compararii grupelor finite de obiecte, utilizand corespondenta bijectiva. Astfel, doua colectii finite, intre care se poate stabili o corespondenta bijectiva au, prin definitie, tot atatea elemente. Pornind de la aceasta definitie, numarul apare ca o idee abstracta comuna, asociata tuturor colectiilor finite de obiecte distincte care se pot pune, intre ele doua cate doua, in corespondenta bijectiva. In virtutea acestei definitii, numarul natural 2 se asociaza tuturor perechilor de obiecte distincte; numarul natural 3 se obtine prin adaugarea unui obiect la o pereche de obiecte distincte (triplete), etc. Aceasta definitie este foarte apropiata de ideea intuitiva despre numerele naturale, dar prezinta dezavantaje din punct de vedere logic si matematic, ce pot genera paradoxal.

Tinand cont ca in teoria multimilor nu dispunem decat de clase si multimi, putem lua ca multime "standard" pentru definirea numerelor naturale, multimea vida. Prin clasa se intelege o colectie de obiecte oarecare, nelegata de alte conditii. Termenul de multime genereaza acele clase care apartin ca element unei clase prealabil definite. Deci o clasa X este multime daca exista o clasa Y care sa o contina ca element. Vom nota cu U universul multimilor, continand toate multimile, reuniunea, intersectia sau produsul cartezian al oricaror multimi.

Oricare ar fi numerele naturale a, b, c, , ele au urmatoarele proprietati :

1. Reflexivitatea: Orice numar natural este egal cu el insusi, adica a=a,

a

Simetria: Daca un numar natural a este egal cu un numar natural b,

atunci si b=a; a , b , a=b b=a.

3. Tranzitivitatea: Daca un numar natural a=b, si daca b=c, atunci si a=c;

a , b , c , daca a=b si b=c a=c.

In continuare, vom prezenta doua axiome de baza ale teoriei multimilor, care sunt necesare in definirea conceptului de numar natural, respectiv, in construirea multimii numerelor naturale.

Fie U clasa tuturor multimilor.

AXIOMA INFINITULUI. Exista cel putin o multime A U care satisface conditiile:

A;

) multimea X A X A.

AXIOMA DE REGULARITATE. Oricare ar fi o multime X, avem X X (nici o multime nu se include ca element).

In definirea numarului natural, vom considera clasa multimilor care satisfac urmatoarele proprietati:

Contin multimea vida

Daca contin o multime ca element, atunci contin si succesorul acelei multimi.

Axioma infinitului asigura existenta unor astfel de multimi, pe care le numim multimi autosuccesoare.

Sa notam cu N clasa multimilor, construita dupa cum urmeaza: Ø, , {Ø, }, {Ø, , }} .

Cardinalul unei multimi X din N se numeste numar natural.

Prin urmare, |Ø| = 0 este numarul natural 0;

|| = 1 este numarul natural 1;

|{Ø, }| = 2 este numarul natural 2, etc.

Multimea cardinalelor elementelor multimii N o numim multimea numerelor naturale.

Fie n un numar natural. Conform definitiei, exista o multime A N astfel ca n=|A|, iar A si sunt disjunctive. Prin urmare: |A'|=|A | = |A|+|| = n+1.

Notam cu n'=n+1 si spunem ca n' este succesorul numarului natural n.

Mentionam 3 proprietati fundamentale ale multimii N, strict necesare pentru intelegerea conceptului de numar natural.

Multimea N are urmatoarele proprietati:

= N

Oricare ar fi si din N, daca exista o aplicatie: f:A→B injectiva, atunci A B;

Pentru orice doua multimi A, B N, avem A B A=B.

Vom nota cu =, multimea numerelor naturale. Este evident ca aplicatia care asociaza fiecarei multimi X N, numarul |X| este bijectiva, conform propozitiei precedente si, prin urmare, N . In baza acestor considerente au loc urmatoarele proprietati:

(P1): Pentru orice n avem 0≠n' (numarul natural 0 nu este succesorul   

nici unui numar natural). Daca n'=0, conform proprietatii 2, rezulta

ca Ø=X', unde n=|X|, X N; acest lucru este fals deoarce avem   

X X

(P2): Daca m =n, atunci m=n (doua numere naturale care au acelasi

succesor sunt egale.

(P3): Fie M care satisface conditiile: 0 M si n M n' M, atunci

M=N

Proprietatile (P1), (P2) si (P3) se numesc AXIOMELE LUI PEANO.

Prezentarea conceptului de numar natural permite definirea multimilor finite, respectiv, infinite. Se numeste multime finita, o multime al carei cardinal este un numar natural. Multimile al caror numar cardinal nu este un numar natural se numesc multimi infinite.

Multimea numerelor naturale include submultimi infinite, al caror cardinal este N

Aceasta proprietate este un caz particular al unei teoreme celebre (DEDEKIND), care afirma ca o multime este infinita daca este cardinal echivalenta cu o submultime proprie a sa.

In concluzie, multimea numerelor naturale este definita prin urmatoarele conditii:

Zero este un numar natural (0

Daca n , atunci n+1 (spunem ca multimea numerelor naturale este inchisa la adunarea cu 1)

este "cea mai mica" multime de numere care verifica I si II, adica multimea numerelor naturale este intersectia tuturor multimilor de numere care satisfac cele doua conditii.

Dezvoltarea teoriilor axiomatice a permis constructia multimii numerelor naturale pornind de la notiunile primare zero, notat cu 0 si numar natural, notat cu m, n, p, etc. Ca relatie primara se considera cea de succesor; succesorul unui numar natural ce se noteaza cu a'.

Giuseppe Peano, influentat de lucrari ale matematicienilor, Grassman si Dedekind, afirma, la finele secolului trecut ca, intreaga teorie a numerelor naturale are la baza cele 3 concepte primare si 5 axiome, in concordanta cu rationamentele logicii.

Axiomele sunt:

A1. Zero este numar natural.

A Orice numar natural admite un succesor unic, care este tot numar

natural. ( x X =X+1

A3. Zero nu este succesorul nici unui numar natural.

A4. Daca doua numere naturale au acelasi succesor, atunci ele coincid.

A5. Daca o multime de numere naturale il contine pe 0, si pentru fiecare   

numar din aceasta multime, succesorul sau apartine multimii, atunci

multimea considerata coincide cu multimea numerelor naturale.

3 SISTEME DE NUMERATIE

Numeratia a parcurs de-a lungul istoriei omenirii un lung sir de transformari pana s-a ajuns la forma acceptata in zilele noastre pentru scrierea si citirea numerelor naturale.

In urma cu 4 milenii, popoarele cele mai evoluate (egiptenii, caldeenii, etc.) stiau sa foloseasca numerele si sa le scrie. Odata cu aparitia literelor au aparut si cifrele, ca simbolurile speciale care sa faciliteze operarea in scris cu numere.

In esenta, din considerente practice, a fost necesar sa se defineasca o multime finita de simboluri distincte cu ajutorul carora sa se poata scrie orice numar.

Astfel este cunoscut sistemul de numeratie roman, care utiliza 7 semne grafice si reguli complicate de scriere a numerelor mai mari de 4000. Fara a insista asupra acestei scrieri amintim cifrele romane (corespondentele lor in paranteze): I(1); II(2); III(3); IV(4); V(5); X(10); L(50); C(100); D(500); M(1000).

Numerotatia pozitionala zecimala cunoscuta in India cu peste 1500 de ani in urma, s-a raspandit in Europa incepand cu secolul VII d.Hr., adusa de arabii care au cucerit teritoriile Spaniei. Numita scriere araba, scrierea care utilizeaza multimea de simboluri are un caracter practic ce permite operarea cu numere de orice tip. Faptul ca omul dispune de o masina de calcul naturala - cele zece degete de la maini - permite ca de la varsta cea mai frageda sa efectueze calcule simple, iar, odata cu insusirea constienta a scrisului sa opereze la nivel conceptual.

Numim sistem de numeratie ansamblul regulilor de grupare a elementelor unei multimi in scopul numararii lor si de reprezentare simbolica a numarului obtinut.

Simbolurile grafice cu ajutorul carora reprezentam unitatile de ordin diferit ale unui numar se numesc cifre.

Numarul care arata cate unitati de un anumit ordin formeaza o unitate de ordin imediat superior se numeste baza sistemului de numeratie.

Orice numar natural n≥2, poate fi considerat baza unui sistem de numeratie. Astfel, sistemul de numeratie cu baza 2 sau binar utilizeaza in scrierea numerelor naturale cifrele 0 si 1; sistemul de numeratie cu baza 10 sau zecimal, utilizeaza cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Deci, notand cu B baza sistemului de numeratie, numarul de simboluri utilizat in scrierea numerelor este egal cu B.

Un sistem de numeratie este pozitional, daca simbolurile grafice se caracterizeaza atat prin valoarea cifrica, cat si prin valoarea pozitionala.

Valoarea cifrica este data de cardinalul multimii considerate si este egala cu numarul indicat de simbolul respectiv. Valoarea pozitionala este data de locul pe care simbolul il ocupa in scrierea numarului.

Scrierea numerelor in baza 10.

In sistemul de numeratie zecimal, scrierea numerelor naturale se face, utilizand cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, care indica unitatile simple sau unitatile de ordinul I.

Unitatile de ordinul II sau zecile, se formeaza si se numara astfel:

0x10;    5x10;

1x10;    6x10;

2x10; 7x10;

3x10;    8x10;

4x10;    9x10;

Pentru sute sau unitati de ordinul III avem :

0x10²    5x10²

1x10²    6x10²

2x10²    7x10²

3x10²    8x10²

4x10²    9x10²

In general, pentru unitati de ordinul n, avem :

0x10ⁿ־¹    5x10ⁿ־¹

1x10ⁿ־¹    6x10ⁿ־¹

2x10ⁿ־¹    7x10ⁿ־¹

3x10ⁿ־¹    8x10ⁿ־¹

4x10ⁿ־¹    9x10ⁿ־¹.

Trei ordine consecutive formeaza o clasa. Pentru citirea numerelor naturale, grupam cifrele fiecarei clase, mentionand la sfarsitul fiecarui grup de 3 cifre clasa corespunzatoare. Astfel, numarul 34598 se va citi 34 de mii, 598. Precizarea unei pozitii libere se face cu cifre 0. Scrierea numerelor naturale prin punerea in evidenta a unitatilor de diferite ordine o numim scriere sistematica.

Din clasele primare este bine cunoscuta scrierea sistematica in baza 10 a numerelor de mai multe cifre, ca de exemplu:

679=6x100+7x10+9

In general, notand cu a ; a ; a ; a ; a ; ;an cifrele numarului an an­ an an an a a cu a , a≠0 scriem:

anan an a a =anx10ⁿ+an x10ⁿ ¹+a x10+a

Sisteme de numeratie pozitionale cu baza oarecare

Intr-un sistem de numeratie pozitional cu baza numarul natural K≥2, unitatile de diferite ordine se formeaza astfel:

Unitati de ordinul I: 0, 1, 2, , K-2, K-1.

Unitati de ordinul II: 0xK, 1xK, 2xK, , (K-2)xK, (K-1)xK.

Unitati de ordinul n : 0xKⁿ ¹, 1xKⁿ ¹, 2xKⁿ ¹, , (K-2)xKⁿ

(K-1)xKⁿ

Orice numar natural a se scrie in mod unic, in functie de baza K, in modul urmator:

a=bnxKⁿ+ bn xKⁿ ¹++b +K+b , unde: b , b , b , , bn si K≥2 sunt numere naturale satisfacand conditia K≥ai≥0, pentru i

Transformari ale unui numar natural din baza 10 intr-o baza oarecare

In unele domenii de aplicabilitate ale matematicii, informaticii, electronicii, teoria codurilor, se utilizeaza din ratiuni practice scrierea numerelor in baze diferite de baza 10.

Sa consideram numarul 379 scris in baza 10 si ne propunem sa-l scriem in baza Cifrele in baza 2 sunt 0, 1.

379=189x2+1 r0 = 1 unitate de ordinul I

189= 99x2+1 r1 = 1 unitate de ordinul II

99= 49x2+1 r2 = 1 unitate de ordinul III

49= 24x2+1 r3 = 1 unitate de ordinul IV

24= 12x2+0 r4 = 0 unitate de ordinul V

12= 6x2+0 r5 = 0 unitate de ordinul VI

6= 3x2+0 r6 = 0 unitate de ordinul VII

3= 1x2+1 r7 = 1 unitate de ordinul VIII

1= 0x2+1 r8 = 1 unitate de ordinul IX

Deci 379(10) = 11000111(2)

Scrierea se efectueaza in ordinea descrescatoare a ordinului unitatilor.

In general, transformarea unui numar natural A scris in baza 10, in baza B urmeaza urmatorul algoritm:

A=q1xB+r0, r0 = a0<B cu a0 - unitati de ordinul I

q1=q2xB+r1, r1 = a1<B cu a1 - unitati de ordinul n

La penultimul pas qn<B si vom avea:

qn=0xB+rn, rn = an<B cu an - unitati de ordinul n+1

Prin urmare A(10)=anan-1an-..a1a0(B).

Transformarea din baza B in baza 10

4x8=32 unitati de ordinul III

(32+3)x8=280 unitati de ordinul II

(280+7)=287 unitati de ordinul I

sau (4x8x3)x8+7=4x8+3x8+7=287

In general: anan-1an-..a1a0(B) = (((anxB+an-1)xB+an-2)xB++a1)xB+a0 = anxB+an-1xB++a1xB+a0.

Deci transformarea din baza B in baza 10 se obtine prin scrierea sistematica a numarului in baza data si efectuarea calculelor.

Transformarea unui numar natural din baza B in baza B' se efectueaza prin intermediul bazei 10.

Astfel, avem: X(10)=Y(10)=X'(B')

4 INTRODUCEREA SISTEMULUI ADITIV DE NUMERATIE

In clasa a IV-a se introduce sistemul de numeratie aditiv (roman), care este cel mai cunoscut sistem de numeratie. Acesta foloseste numai 7 simboluri (numite cifre romane) care corespund anumitor numere dupa cum urmeaza:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Toate celelalte numere se scriu alaturand semnele de mai sus incepand cu cel mai mare.

Ex.: 738 = DCCXXXVIII = 500+100+100+10+10+10+5+1+1+1

In cadrul unui numar scris in sistemul roman nu pot sa apara mai mult de 3 semne consecutive de acelasi fel.

Pentru acest motiv urmatoarele numere se scriu cu doua semne, primul reprezentand un numar care se scade din al doilea:

IV IX XL XC CD CM

9 40 90 400 900.

Astfel, numarul 3496 se va scrie in sistem roman: MMMCDXCVI.

Pentru numere foarte mari s-a facut conventia ca grupul de cifre ce reprezinta clasa miilor sa se scrie cu 2 bare deasupra s.a.m.d.

De exemplu: 579486341 = DLXXIX CDLXXXVI CCCXLI

O cifra in cadrul unui numar scris in sistem roman are aceeasi valoare, indiferent de pozitia pe care o ocupa in cadrul numarului. Se spune ca sistemul roman de numeratie este nepozitional.