MODALITATI DE PREDARE - INVATARE A OPERATIILOR DE INMULTIRE SI IMPARTIRE A NUMERELOR NATURALE

MODALITATI     DE PREDARE - INVATARE A OPERATIILOR DE INMULTIRE SI IMPARTIRE A NUMERELOR NATURALE

1 INTRODUCEREA OPERATIILOR DE INMULTIRE SI IMPARTIRE LA CLASA A III-A

Operatiile de inmultire si de impartire se introduc la clasele a III-a, dupa ce elevii au dobandit cunostinte, si-au format priceperi si deprinderi de calcul privitoare la operatiile de adunare si scadere a numerelor naturale.

Predarea inmultirii si impartirii se poate face separat sau in paralel. Fiecare mod de abordare a predarii-invatarii acestor operatii prezinta avantaje si dezavantaje.

Conform programei scolare in vigoare, aceste operatii se predau separat.

Aceasta modalitate a predarii separate a acestor operatii este mai indicata, intrucat elevii invata pentru prima data, iar esentiale pentru ei sunt legaturile dintre adunare si inmultire, dintre impartire si scaderea repetata si nu legatura dintre inmultire si impartire.

Invatand separat inmultirea, respectiv impartirea numerelor naturale, elevii au posibilitatea sa se concentreze numai asupra operatiei, patrund mai adanc in esenta ei prin sesizarea legaturii dintre inmultire si adunare, dintre impartire si scadere. Dupa de a fost introdusa operatia de impartire (in parti egale si prin cuprindere), in stabilirea tablei impartirii, este indicat sa se foloseasca tabla inmultirii, legatura ce exista intre impartire si inmultire.   

2 INMULTIREA NUMERELOR NATURALE DE LA 0 LA 10

Pentru inceput, invatatorul va reactualiza cunostintele despre adunare, insistand pe adunarea de termeni egali, pe proprietatile adunarii (comutativitatea si asociativitatea), pe modul de formare a numerelor naturale si descompunerea lor in suma de termeni egali.

In predarea si invatarea operatiei de inmultire, intuitia nu mai are un rol predominant (ca la adunare), intrucat elevii au dobandit cunostinte si si-au format priceperi si deprinderi in legatura cu operatia de adunare. Este evident ca invatatorul, in predarea noii operatii, trebuie sa se bazeze pe toate acestea.

La inceput, se vor reactualiza cunostintele despre adunare, insistandu-se pe adunarea repetata, adunarea mai multor termeni egali, pe proprietatile de comutativitate si asociativitate ale adunarii, pe modul de formare, scriere si citire a numerelor naturale. Ex.: 2+2+2, se citeste doi, luat de 3 ori sau de 3 ori 2; 3+3+3+3 se citeste luat de 4 ori sau de 4 ori 3 etc.

Se explica si indica elevilor ca, pentru adunarile repetate se mai foloseste si o alta scriere: 2+2+2=2x3 (care se citeste 2 ori 3 sau de 3 ori 2) si, respectiv, 3+3+3+3=3x4 (adica de 4 ori 3 sau 4 ori 3).

Prin efectuarea unor astfel de exercitii se face trecerea de la adunarea repetata la inmultire, trecere care constituie momentul cel mai important in predarea inmultirii. In acest moment, elevii identifica operatia de adunare repetata cu operatia de inmultire si substituie o operatie prin alta. Scrierea unei adunari repetate sub o forma simplificata, ca inmultire, se face cu ajutorul simbolului operatiei de inmultire, care este "X" sau "·". Simbolul operatiei de inmultire se introduce odata cu scrierea primei operatii de inmultire.

Trecerea de la adunarea repetata la inmultire se poate realiza astfel: se stabileste rezultatul adunarii repetate, se solicita elevilor sa exprime prin cuvinte aceasta operatie de adunare repetata, urmata de scrierea sub cele 2 forme a operatiei de inmultire:

Ex.: - Cate creioane sunt in cinci grupe de cate 2 creioane ?

Cum ati calculat ?

Cum putem spune altfel ?

(2 luat de 5 ori fac 10)

Cum scriem ?

2+2+2+2+2=5x2

Desi rolul mijloacelor intuitive in introducerea inmultirii nu mai este preponderent, pentru ca elevii sa inteleaga inmultirea ca adunare repetata, invatatorul trebuie sa renunte complet la ele.

Dupa efectuarea unui numar suficient de exercitii, elevii vor sesiza semnificatia operatiei de inmultire, legatura dintre adunare si inmultire.

Prin inmultirea a doua numere naturale, a si b se obtine un alt numar natural, axb, numit produs. Produsul axb se obtine adunand numarul a de b ori.

Numerele care se inmultesc se numesc factori. Primul factor arata de cate ori se repeta al doilea factor (in adunarea repetata), iar al doilea factor este numarul care se repeta.

De la primele lectii de predare a inmultirii numerelor naturale se urmareste scoaterea in evidenta a proprietatii de comutativitate a inmultirii numerelor naturale. Proprietatea este folosita in stabilirea rezultatelor inmultirii, cand se trece la alcatuirea tablei inmultirii.

Din punct de vedere metodic, comutativitatea inmultirii poate fi justificata in felul urmator:

asezam unitatile lui a pe un rand si formam acest rand de b ori.

Unitatile tabloului obtinut reprezinta produsul bxa. Sa numaram aceste unitati cu ajutorul coloanelor. Pe o coloana sunt b unitati: in tablou sunt a coloane; deci, tabloul contine axb unitati. Deci, axb si bxa reprezinta acelasi numar: numarul unitatilor din tabloul format.

3 TABLA INMULTIRII

Determinarea produsului a doua numere cu ajutorul adunarii repetate devine greoaie daca numerele sunt mari. De aceea se urmareste aflarea acestor rezultate prin anumite procedee ca: gruparea factorilor si folosirea comutativitatii inmultirii. Dupa ce elevii au inteles semnificatia inmultirii se trece la invatarea constienta a inmultirii cu fiecare numar in parte: 0, 1, 2, 3, s.a.m.d. Obtinerea rezultatelor inmultirii trebuie sa se bazeze pe o participare activa a elevilor. O lectie in care se preda inmultirea cu un anumit numar trebuie sa parcurga mai multe etape:

repetarea tablei inmultirii cu numarul precedent sau cu numerele precedente (calculul oral precede insusirea noilor cunostinte);

stabilirea inmultirilor cunoscute care au ca factor numarul respectiv (prin folosirea proprietatilor de comutativitate a inmultirii);

obtinerea rezultatelor celorlalte inmultiri cu acest numar prin folosirea rezultatelor inmultirilor cunoscute;

scrierea tablei complete a inmultirii cu acel numar;

folosind procedee cat mai variate, invatatorul trebuie sa-i faca pe toti elevii sa invete tabla inmultirii cu acel numar;

rezolvarea de exercitii si probleme in care se aplica inmultirile invatate.

De exemplu, cand avem factor pe 5 se repeta tabla inmultirii cu 1, 2, 3 sau 4. Prin aplicarea comutativitatii la aceste inmultiri cunoscute se scrie:

0x5= 0 5x0= 0

1x5= 5 5x1= 5

2x5=10    5x2=10

3x5=15    5x3=15

4x5=20 5x4=20.

Pentru obtinerea celorlalte rezultate ale inmultirii cu 5, se folosesc procedee variate (adunarea repetata, gruparea termenilor, proprietatea de comutativitate a inmultirii), care se bazeaza si pe inmultirile invatate anterior de catre elevi; de exemplu: 5x5=4x5+5=20+5=25, s-a descompus 5 in 4 +1 si s-a folosit inmultirea cunoscuta. Pentru 6x5 se poate proceda in felul urmator: 6x5=5x5+5=25+5=30, pentru 7x5 asemanator: 7x5=6x5+5=30+5=35 etc.

Toate aceste exercitii de inmultire se grupeaza si se alcatuieste tabla inmultirii cu

Invatatorul trebuie sa acorde o atentie deosebita exersarii algoritmului de cunoastere, fixare si aplicarea tablei inmultirii de catre toti elevii. Pentru aceasta se folosesc procedee asemanatoare cu cele folosite si la insusirea tablei adunarii si scaderii.

4 IMPARTIREA NUMERELOR NATURALE

Dupa continutul problemelor de impartire, desprinse din situatiile practice de fata, impartirea numerelor naturale se efectueaza prin doua procedee:

impartirea in parti egale

impartirea prin cuprindere.

Impartirea in parti egale este mai accesibila intelegerii copilului, exprimare intrebuintata este in concordanta cu procesul de gandire care are loc, iar justificarea operatiilor se face fara dificultati. Aceasta impartire are la baza separarea unei multimi in submultimi disjuncte, doua cate doua, fiecare avand acelasi numar de elemente echivalente. Se stie cate submultimi se formeaza, iar prin impartire se afla cate elemente are fiecare submultime. Metoda principala de impartire in parti egale este urmatoarea:

Se stabileste numarul de obiecte ce trebuie impartit si numarul partilor. De exemplu: 12 creioane la 3 elevi;

Se repartizeaza fiecarei parti (elev) cate un obiect (creion); deci, se iau 3 obiecte (creioane) au mai ramas 9, apoi se repartizeaza inca 3 creioane, mai raman 6, care, de asemenea, se repartizeaza pana nu mai ramane nici un obiect nerepartizat (creion);

Se stabileste numarul obiectelor (creioanele) repartizate fiecarei parti (elev);

Se repeta, se scoate in evidenta rationamentul, se formuleaza concluzia. In exemplul luat: 12 creioane impartite in mod egal la 3 elevi fac 4 creioane. Acest lucru se scrie: 12:3=4. Simbolul operatiei de impartire este ":", care se citeste "impartit la". Numarul care se imparte se numeste "deimpartit", iar cel la care se imparte "impartitor".

La inceput, este bine ca invatatorul sa foloseasca material didactic variat si apropiat experientei lor de viata (creioane, bile, betisoare, nuci, mere, caiete, carti, etc.).

Analizand modul in care se face impartirea, vedem ca se efectueaza scaderea partilor egale, prin scaderi repetate din numarul initial, apoi, din primul rest, in continuare din al doilea rest, s.a.m.d. De exemplu, pentru a imparti pe 12 la 3, efectuam 4 scaderi: 12-3=9, 9-3=6, 6-3=3, 3-3=0. Numarul de scaderi efectuate este catul impartirii. Scaderea repetata se foloseste numai la inceput, cand se introduce operatia de impartire, cand se pune in evidenta, cu ajutorul materialului intuitiv, semnificatia acestei operatii. Pe masura ce se formeaza notiunea de impartire ca scadere repetata, se va folosi legatura ei cu inmultirea, scotandu-se in evidenta faptul ca rezultatele ei se gasesc rapid folosind tabla inmultirii. De exemplu: 15:3=5, pentru ca 3x5=1

Impartirea prin cuprindere se bazeaza pe separarea unei multimi in submultimi disjuncte, doua cate doua, cu acelasi numar de elemente (echivalente). Cunoscandu-se cate elemente are fiecare submultime, prin operatia de impartire se afla cate submultimi se formeaza. Acest mod de impartire prezinta un grad mai mare de dificultate, intrucat nu se poate ilustra in mod concret si atat de usor ca la impartirea in parti egale. La impartirea prin cuprindere si scrierea este mai dificila.

La problemele la care se impune folosirea procedeului de impartire prin cuprindere se stabileste numarul de obiecte ce trebuie impartit. De exemplu: 12 creioane, cate 3 la fiecare elev, cati elevi primesc creioane ? Se scad 3 creioane, apoi altele 3, pana nu mai ramane nici un creion. Se numara cate scaderi s-au efectuat: 12-3=9, 9-3=6, 6-3=3, 3-3=0. Numarul scaderilor efectuate este catul impartirii lui 12 prin 3. Deci, 12:3=4, adica 4 elevi primesc creioane.

Atat la impartirea in parti egale, cat si la impartirea prin cuprindere, pentru efectuarea impartirii se fac scaderi repetate.

Pentru a sesiza ce este esential la fiecare procedeu de impartire, se recomanda rezolvarea unor probleme simple, in care operatia de impartire este aceeasi, dar continutul problemei conduce la procedee diferite pentru efectuarea impartirii. Spre exemplu, problema: "Mai multi copii au rasadit 27 panselute pe 3 ronduri de flori, in mod egal. Cate panselute sunt pe fiecare rand ?" conduce la impartirea in parti egale:

27 panselute : 3 = 9 panselute.

Acest procedeu se aplica in cazul in care se cunoaste numarul total de elemente si numarul submultimilor (partilor) care se formeaza si nu se cunoaste numarul elementelor din fiecare submultime. De aceea, catul impartirii va avea elemente de acelasi fel cu deimpartitul.

Problema: "Mai multi copii au sadit 27 panselute in gradina scolii, cate 3 pe un rand. Cate randuri sunt ?" conduce la impartirea prin cuprindere:

27 panselute : 3 panselute = 9.

In acest caz, se cunoaste numarul total de elemente si numarul de elemente dintr-o submultime si nu se cunoaste numarul submultimilor. De aceea deimpartitul si impartitorul au elemente de acelasi fel.

De fiecare data, in exemplele care se dau, este bine sa se insiste pe faptul ca submultimile (grupele) formate au un numar egal de elemente (obiective).

Dupa ce elevii si-au insusit constient notiunile de impartire in parti egale si prin cuprindere, se trece la alcatuirea tablei impartirii, folosind, in special, legatura dintre inmultire si impartire. In aceasta situatie, stabilirea rezultatelor impartirii se bazeaza pe tabla inmultirii. Practica scolara a dovedit ca tabla inmultirii si a impartirii numerelor naturale pana la 10 trebuie invatate pe de rost, fiind foarte incomod si cu mare pierdere de timp a se cere elevilor ca de fiecare data cand se cere produsul sau catul a doua numere sa le deduca.

Pentru cunoasterea, fixarea si aplicarea tablelor inmultirii si impartirii, trebuie efectuat un numar mare de exercitii si probleme, a caror rezolvare se face aplicand aceste table in diverse situatii. In felul acesta, elevii vor reusi sa recunoasca situatiile matematice si practice in care se impune efectuarea inmultirilor si impartirilor. Dam in continuare cateva sugestii pentru insusirea si consolidarea impartirii numerelor naturale:

Care este catul impartirii lui 32 la 4?

De cate ori este mai mic numarul 7 decat 56?

La cat trebuie sa-l impartim pe 45 pentru a da catul 9?

Inmultind un numar cu 8 obtinem rezultatul 32; care este numarul pe care trebuie sa-l inmultim cu 8?

De cate ori este mai mare 36 decat 9?

Exercitii de genul sa se rezolve, sa se efectueze, sa se calculeze, de stabilire a puterii de adevar a unor relatii;

Sa se scrie in patratele numerele, semnele de operatie, simbolurile relatiei de ordine sau de egalitate care lipsesc, astfel incat, anumite relatii sa fie adevarate;

Sa se puna in locul literelor numerele care satisfac o anumita relatie de egalitate sau inegalitate;

Sa se taie rezultatele gresite si sa se inlocuiasca cu cele bune;

Exercitii cu numere concrete, cu unitati de masura intalnite de elevi in experienta lor de viata;

Rezolvari si compuneri de probleme care sa se rezolve prin operatii de impartire sau prin scaderi repetate de acelasi termen;

Folosirea unor jocuri didactice specifice si adecvate pentru operatia de impartire;

Efectuarea unor exercitii mai complexe in care sa intervina cele patru operatii aritmetice insusite pana acum in care sa se scoata in evidenta proprietatea de distributivitate a operatiilor de inmultire si impartire fata de cele de adunare si scadere.

Prin exercitii si rezolvari de probleme se vor scoate in evidenta si se vor insusi procedeele de realizare a probei impartirii: prin inmultirea catului cu impartitorul se va obtine deimpartitul sau prin impartirea deimpartitului la cat pentru a se obtine impartitorul.

5 ORDINEA EFECTUARII OPERATIILOR. JUSTIFICARE

Ordinea efectuarii operatiilor se preda la clasa a III-a. Exercitiile ce se rezolva in clasele I si a II-a sunt, astfel, alcatuite incat sa se efectueze corect, in ordinea in care sunt scrise. Prin astfel de exercitii, elevii se deprind cu efectuarea succesiva a operatiilor fara sa-si puna problema existentei unor reguli referitoare la ordinea efectuarii lor. De aceea, invatatorul, prin exercitii de forma 7x5x3 (schimbarea ordinii efectuarii operatiilor conduce la rezultate diferite), va urmari ca elevii sa deduca necesitatea stabilirii unor reguli dupa care se efectueaza operatiile intr-un exercitiu.

Cunoasterea temeinica a acestor reguli se considera esentiala in insusirea operatiilor aritmetice si in formarea deprinderilor de calcul corect. Ordinea efectuarii operatiilor poate fi mai usor inteleasa de catre elevi prin intermediul unor probleme judicios alese, din rezolvarea carora elevul sa poata desprinde singur prioritatea efectuarii unor operatii aritmetice fata de altele. Exemplul urmator este edificator:

"Un elev cumpara 3 creioane a 2 lei bucata, 5 caiete a 3 lei bucata si 2 carti a 8 lei fiecare. Cati lei costa toate cumparaturile?"

Trei creioane2 lei5 caiete3 lei2 carti8 lei? lei

Ce ne intreaba problema ? Ce suma se plateste. Pentru a afla suma platita ce operatie trebuie sa facem? Adunarea. Putem afla dintr-o data ce suma se plateste? Nu. De ce? Pentru ca nu stim cat costa fiecare cumparatura in parte si anume - cat costa toate creioanele, toate caietele si toate cartile. Deci, ce trebuie sa aflam mai intai? Cat costa creioanele, cat costa caietele si cat costa cartile. Prin ce operatie aflam costurile acestora? Printr-o operatie de inmultire, dupa cum urmeaza:

- Cat costa creioanele?

3x2 = 6 (lei)

- Cat costa caietele?

5x3 = 15 (lei)

- Cat costa cartile?

2x8 = 16 (lei)

- Cat costa toate cumparaturile?

6+15+16= 37 (lei)

Deci, pentru a rezolva problema, efectuam mai intai inmultirile, apoi adunam rezultatele.

OBSERVATIE: Examinarea problemei s-a facut prin metoda analitica, iar comentariul urmareste prioritatea operatiei de inmultire fata de adunare.

Sa punem rezolvarea acestei probleme sub forma de exercitiu:

3x2+5x3+2x8=37   

In acest exercitiu apar operatii de inmultire si de adunare si el se rezolva efectuand mai intai inmultirile si apoi adunarile.

Exemple similare vor conduce la constatarea ca inmultirile si impartirile dintr-un exercitiu se efectueaza cu prioritate fata de adunari si scaderi, indiferent de ordinea in care apar ele.

CONCLUZIE: Intr-un exercitiu in care apar cele patru operatii aritmetice se efectueaza mai intai inmultirile si impartirile (care se numesc operatii de ordinul al doilea) si apoi adunarile si scaderile (care se numesc operatii de ordinul intai).

Daca intr-un exercitiu apar numai operatii de acelasi ordin, ele se efectueaza in ordinea indicata in exercitiu, iar daca avem numai adunari sau numai inmultiri, pentru efectuarea lor se pot aplica proprietatile de comutativitate si asociativitate specifice acestor operatii.

OBSERVATIE: Se poate spune, cu titlu informativ, ca exista si operatii de ordinul al treilea, anume ridicarea la putere si extragerea radacinii de un anumit ordin, care se vor studia in clasele gimnaziale si liceale si care au prioritate fata de operatiile de ordinul al doilea.

Pentru deprinderea ordinii operatiilor, semnificative sunt execitiile cu numere mici, care mentin atentia copiilor asupra acestui aspect si nu a operatiei in sine.

Exemple:

2+2:2-3x1=0

6+8:2x3:6-1=7

5x6x3:9:10+5x5:25-8:8=1

6 INTRODUCEREA PARANTEZELOR

Uneori practica impune rezolvarea mai intai a operatiilor de ordinul I, adunarea si scaderea, si apoi a celor de ordinul al II-lea, inmultirea si impartirea. Se produce astfel o modificare in ordinea stabilita anterior. In aceasta situatie, acordarea prioritatii in calcul este marcata de paranteze, anume de paranteze mici ( ), mari [ ] si acolade .

Acestea inchid intre ele secventa de exercitiu, careia i se acorda intaietate.

Introducerea parantezelor mici se face cu ajutorul problemelor, a caror rezolvare impune, mai intai, efectuarea unor operatii de ordinul I si apoi a celor de ordinul al II-lea.

Exemplu: "La o adunare scolara, elevii claselor I, II, III si IV cu efective de 31, 27, 33 si 29 de pionieri trebuie sa alcatuiasca un careu in care, pe fiecare latura sa fie un numar egal de elevi. Cati elevi se vor situa pe fiecare latura a careului?

31 elevi27 elevi33 elevi29 elevi4 laturi?

Putem afla dintr-o data cati elevi se afla pe fiecare latura a careului? NU. De ce? Pentru ca nu stim cati elevi sunt in total. Dar numarul de elevi il putem afla dintr-o data? DA. De ce? Pentru ca stim cati elevi are fiecare detasament. Cum? Printr-o operatie de adunare.

Cati elevi sunt in cele 4 clase?   

31+27+33+29=120 (elevi)

Cati elevi se dispun pe fiecare latura?

120:4=30 (elevi).

Deci, in rezolvarea problemei trebuie sa facem mai intai o adunare si, apoi, o impartire. Rezolvarea sub forma de exercitiu arata astfel:

Parantezele mici, care inchid termenii adunarii, obliga rezolvarea exercitiului in ordinea: mai intai operatiile din paranteze (adunari, in cazul nostru), si, apoi, impartirea (la 4, in cazul de fata).

Exemple similare conduc la introducerea parantezelor mari si a acoladelor, ordinea efectuarii operatiilor cuprinse in ele fiind urmatoarea: se efectueaza mai intai operatiile din parantezele mici, apoi cele din parantezele mari si, la urma, cele cuprinse intre acolade.

In cadrul parantezelor de acelasi fel, ordinea efectuarii operatiilor ce o compun este cea stabilita: operatiile de ordinul III, apoi cele de ordinul al II-lea si, la urma, cele de ordinul I.

Efectuarea operatiilor dintre parantezele mici conduce la transformarea eventualelor paranteze mari si acolade in paranteze mici, respectiv, mari.

Eventuale dificultati si sugestii in legatura cu ordinea operatiilor.

Chiar daca se cunoaste, teoretic, ordinea operatiilor, elevii sunt tentati sa rezolve exercitiul efectuand operatiile nu in ordinea prioritatii, ci in ordinea in care apar acestea in exercitiu. Exemple:

2 + 2 : 2 = 4 : 2 = 2 (incorect)

2 + 2 : 2 = 2 +1 = 3 (corect)

10 - 4 x 2 = 6 x 2 = 12 (incorect)

10 - 4 x 2 = 10 - 8 = 2 (corect)

Observatie: aceasta greseala, apare in exercitiile in care ordinea operatiilor permite continuarea efectuarii calculelor in succesiunea aparitiei lor. Sugeram utilizarea unor exercitii de forma:

puneti semne de operatii si paranteze, astfel incat sa obtineti rezultatul 1: 1 2 3 4 5 6 = 1

cateva solutii posibile:

1+2+3-4+5-6 = 1

1x2x3-4+5-6 = 1

(1+2x3+4-5):6 = 1

daca intr-un exercitiu apare produsul mai multor paranteze, iar rezultatul efectuarii operatiilor din una din ele este 0, nu se mai opereaza si in celelalte, rezultatul fiind 0.

Exemplu: (561993 x 9875 - 555888 - 999999)x(3+2:2-4) = 0

Pentru a micsora numarul de repetari al unor parti din exercitiu se recomanda efectuarea in aceeasi etapa a mai multor operatii din paranteze diverse sau din afara lor;

Pentru o insusire temeinica a ordinii operatiilor si a relatiilor dintre termeni (factori) si rezultat, se recomanda rezolvarea de exercitii in care sa se determine o necunoscuta (ecuatii).

Exemplu:

M-am gandit la un numar. Il inmultesc cu La produsul obtinut adaug 8. Rezultatul il impart la 6 si obtin 3. La ce numar m-am gandit ?

Rezolvare:

Notam cu X numarul la care ne-am gandit.

(Xx5 + 8):6 = 3

Xx5 + 8 = 3 x 6

Xx5 + 8 = 18

Xx5 = 18 - 8

Xx5 = 10

X = 10:5

X = 2