Cinematica fluidelor

Cinematica fluidelor

Cinematica studiaza miscarile fluidelor fara a lua in conside-rare cauzele care le genereaza. Ca urmare, rezultatele cinematicii pot fi aplicate oricarui model de fluid.

In studiul miscarii unui fluid un rol esential revine campuri-lor de viteze si de vartejuri , intre care exista dependenta

, (1) care este echivalenta cu sistemul

. (2)

Pentru a oferi o imagine globala concludenta asupra tabloului curgerii in interiorul unui domeniu (D), cinematica introduce si folo-seste ca atare notiunile de linii, suprafete si tuburi de curent. Acestea sunt multimi continue remarcabile de puncte geometrice, caracterizate prin faptul ca viteza locala de curgere este tangenta acestora in fiecare punct.

Ecuatiile liniilor de curent se obtin rezolvand sistemul

.    (3)

Solutia acestuia se prezinta sub forma

    (4)

unde C₁ si C₂ sunt constante arbitrare de integrare.

La randul lor, ecuatia suprafetelor si/sau tuburilor de curent se determina integrand ecuatia diferentiala

.    (5) Solutia generala a acesteia are forma

.    (6)

Tabloul curgerii este completat mai departe prin intermediul liniilor, suprafetelor si tuburilor de vartej, care sunt multimi continue de puncte geometrice inzestrate cu proprietatea ca vectorul local este tangent acestora in fiecare punct. Ecuatiile lor se obtin integrand sistemul

    (7) in cazul liniilor de vartej, respectiv ecuatia

    (8) in cel al suprafetelor sau al tuburilor de vartej.

In sfarsit, cinematica ofera posibilitatea determinarii debitului volumic Q, respectiv masic Q_m printr-o suprafata (S) oarecare (fig. 1.2). In acest sens se folosesc relatiile

. (9)

Daca viteza are in fiecare punct al suprafetei (S) directia ver-sorului al normalei locale, atunci aceasta este denumita transversala in raport cu directia miscarii. Intrucat in acest caz viteza se poate pune sub forma , relatiile de mai sus devin

.    (10)

In plus, daca densitatea r si marimea V a vitezei sunt constan-te in fiecare punct al suprafetei transversale (S) de arie A_S, atunci

.    (11)

In caz contrar, r si V vor reprezenta densitatea, respectiv viteza medie de curgere prin suprafata respectiva.

P 1-Se considera campul nestationar plan de viteze

.

Se cere:

a.       sa se arate ca acesta corespunde miscarii unui fluid incompresibil si omogen;

b.      sa se determine viteza si acceleratia in punctul A(1, 1, 2) in momentul t 2 s;

c.       sa se determine debitul masic prin suprafata eliptica (S) din fig. 1 in momentul t 2 s, stiind ca fluidul are densitatea r 1 g/cm³, centrul suprafetei are coordonatele C(2, 1, 1), iar dimensiunile semiaxelor au valorile a 240 mm, respectiv b 120 mm.

Fig. 1

Rezolvare:

a. Campul vitezelor corespunde miscarii unui fluid incom-presibil si omogen, deoarece el satisface ecuatia de continuitate Euler (2.10). Intr-adevar, avem

.

b. Componentele vitezei in punctul A in momentul t 2 s sunt:

Ca urmare, viteza are marimea

.

In acord cu (2.6), componentele acceleratiei in punctul A in momentul t 2 s se determina succesiv dupa cum urmeaza:

Rezulta ca acceleratia in A are marimea

.

c. Debitul volumic Q se determina pe baza relatiei (9). Pentru calculul lui Q se    face schimbarea de variabile

.

Apoi se constata ca in raport cu acestea suprafata (S) se caracterizeaza prin

.

Ca urmare, avem succesiv

.

Folosind relatia (11), se obtine debitul masic

.

P 2-Se considera campul stationar spatial de viteze

.

Se cere:

a.       sa se arate ca acesta corespunde miscarii unui fluid incompresibil si omogen;

b.      sa se determine viteza si acceleratia in punctul A(1, 1, 1);

c.       sa se determine linia de curent care trece prin A;

d.      sa se determine debitul masic prin suprafata circulara (S) din fig. 2, stiind ca fluidul are densitatea r 0,85 g/cm³, centrul suprafetei are coordonatele C(2, 3, 1), iar raza conturului are valoarea R 120 mm.

Rezolvare:

a. Campul vitezelor corespunde miscarii unui fluid incom-presibil si omogen, deoarece el satisface ecuatia de continuitate Euler (2.10). Intr-adevar, avem

.

b. Componentele vitezei in punctul A sunt:

.

Ca urmare, viteza are marimea

.

In acord cu (2.6), componentele acceleratiei in punctul A se determina succesiv dupa cum urmeaza:

Rezulta ca acceleratia in A are marimea

.

c. Mai intai se stabilesc ecuatiile diferentiale ale tuturor liniilor de curent existente in spatiul miscarii. In acord cu (3), avem

.

Solutia sistemului de mai sus se obtine dupa cum urmeaza:

;

.

Constantele de integrare C₁ si C₂ corespunzatoare liniei de curent care trece prin punctul A(1, 1, 1) au valorile

.

Prin urmare, aceasta este descrisa de sistemul

.

Fig. 2

d. Debitul volumic Q se determina pe baza relatiei (9). Pentru calculul lui Q se face schimbarea de variabile

.

Apoi se constata ca in raport cu acestea suprafata (S) se caracterizeaza prin

.

Ca urmare, avem succesiv

.

Folosind relatia (11) se obtine debitul masic

.

P 3-Se considera campul stationar bidimensional de viteze

.

Se cere:

a.       sa se arate ca acesta corespunde miscarii unui fluid incompresibil si omogen;

b.      sa se determine viteza si acceleratia in punctul A(1, 2, 1);

c.       sa se determine debitul masic prin suprafata dreptunghiulara (S) din fig. 3, stiind ca fluidul are densitatea r 0,89 g/cm³, centrul suprafetei are coordonatele C(2, 1, 2), iar dimensiunile conturului au valorile b 80 mm si h 100 mm.

Rezolvare:

a. Campul vitezelor corespunde miscarii unui fluid incom-presibil si omogen, deoarece el satisface ecuatia de continuitate Euler (2.10). Intr-adevar, avem

.

b. Componentele vitezei in punctul A sunt:

.

Ca urmare, viteza are marimea

.

In acord cu (2.6), componentele acceleratiei in punctul A se determina succesiv dupa cum urmeaza:

Rezulta ca acceleratia in A are marimea

.

Fig. 3

c. Debitul volumic Q se determina pe baza relatiei (9). Pentru calculul lui Q se constata ca in raport cu variabilele x, y si z suprafata (S) se caracterizeaza prin

Ca urmare, avem succesiv

.

Folosind relatia (11) se obtine debitul masic

.

P 4-Se considera campul stationar bidimensional de viteze

.

Se cere:

a.       sa se arate ca acesta corespunde miscarii unui fluid incompresibil si omogen;

b.      sa se demonstreze ca elipsa

este linie de curent.

Rezolvare:

a. Campul vitezelor corespunde miscarii unui fluid incom-presibil si omogen, deoarece el satisface ecuatia de continuitate Euler (2.10). Intr-adevar,

.

b. Mai intai se stabileste sistemul de ecuatii diferentiale ale tuturor liniilor de curent existente in spatiul miscarii. In acord cu (3), avem

.

Solutia acestuia se obtine dupa cum urmeaza:

.

Daca si sistemul de mai sus devine identic cu sistemul care descrie elipsa (E). Rezulta ca aceasta din urma este linie de curent.

P 5-Se considera campul nestationar plan de viteze

.

Se cere:

a.       sa se arate ca acesta corespunde miscarii unui fluid incompresibil si omogen;

b.      sa se determine linia de curent care trece prin punctul A(1, 1, 1) in momentul t 2 s;

c.       sa se determine traiectoria particulei de fluid ce trece prin punctul A in momentul t 0 s;

d.      sa se determine debitul masic prin suprafata dreptunghiulara (S) din fig. 4 in momentul t 2 s, stiind ca fluidul are densitatea r 0,87 g/cm³, centrul suprafetei are coordonatele C(2, 1, 2), iar dimensiunile conturului au valorile a 80 mm si h 100 mm.

Rezolvare:

a. Campul vitezelor corespunde miscarii unui fluid incom-presibil si omogen, deoarece el satisface ecuatia de continuitate Euler (2.10). Intr-adevar,

.

b. Mai intai se stabileste sistemul ecuatiilor diferentiale ale tuturor liniilor de curent existente in spatiul miscarii. In acord cu (3), avem

.

Solutia acestuia se obtine dupa cum urmeaza:

Constantele de integrare C₁ si C₂ corespunzatoare liniei de curent care trece prin punctul A(1, 1, 1) in momentul t 2 s au valorile

.

Prin urmare, aceasta este descrisa de sistemul

c. Mai intai se stabileste sistemul de ecuatii diferentiale ale traiectoriilor tuturor particulelor de fluid existente in spatiul miscarii. Avem succesiv

Solutia generala are forma:

Dupa inlocuirea ei in sistemul de mai sus, obtinem

Rezulta ca traiectoriile particulelor de fluid se exprima parametric prin sistemul

In sfarsit, pentru obtinerea traiectoriei particulei de fluid care trece prin punctul A in momentul t 0 s, se determina constantele de integrare C₁, C₄ si C₇ din conditiile

Traiectoria ceruta are deci reprezentarea parametrica

Fig. 4

d. Debitul volumic Q se determina pe baza relatiei (9). Pentru calculul lui Q se constata ca in raport cu variabile x, y si z suprafata (S) se caracterizeaza prin

Ca urmare, avem succesiv

Folosind relatia (11) se obtine debitul masic

.

P 6-Se considera campul stationar bidimensional de viteze

.

Se cere:

a.       sa se arate ca acesta corespunde miscarii unui fluid incompresibil si omogen;

b.      sa se determine distributia vectorilor vartej .

Rezolvare:

a. Campul vitezelor corespunde miscarii unui fluid incom-presibil si omogen, deoarece el satisface ecuatia de continuitate Euler (2.10). Intr-adevar,

.

b. Conform relatiei (1), avem

P 7-Se considera conducta cu sectiune circulara si axa rectilinie din figura 5, al carui perete rigid este astfel profilat incat sa asigure curgerea stationara unidimensionala a debitului Q de lichid cu acceleratia a constanta. Cunoscand in plus densitatea r a lichidului, viteza initiala V₀ si lungimea L a conductei, se cere sa se determine:

a.       distributia vitezelor de-a lungul conductei si ecuatia conturului peretelui;

b.      debitul masic de lichid.

Date numerice: Q 100 dm³/s; a 10 m/s²; r 0,92 g/cm³; V₀ 1,5 m/s; L 1 m.

Fig. 5

Rezolvare:

a. Miscarea preconizata se desfasoara in fiecare sectiune transversala (S) a conductei din fig. 5 cu viteza . Ea este descrisa de sistemul (2.6), care se reduce succesiv la

.

Ecuatia diferentiala de mai sus are solutia

.

Din conditia initiala se obtine . Asadar avem

.

Pe de alta parte, ecuatia de continuitate se exprima intre sectiunea de intrare (S ) si cea curenta (S) sub forma

,

unde

reprezinta diametrul sectiunii de intrare.

Din cele prezentate mai sus rezulta ca distributia vitezelor de-a lungul conductei si ecuatia profilului peretelui in intervalul 0, L sunt date de relatiile adimensionale

,

respectiv

.

Daca Q 100 dm³/s, a 10 m/s², r 0,92 g/cm³, V₀ 1,5 m/s si L 1 m, atunci avem succesiv:

;

;

fig. 6-a;

fig. 6-b.

b. Folosind relatia (11) se obtine debitul masic

.

Fig. 6

P 8-Se considera ramificatia de conducte cu sectiuni circulare din fig. 7, care transporta un fluid incompresibil si omogen (r constant). Se cunosc vitezele V 2,2 m/s si V₂ 4,2 m/s, respectiv diametrele D 400 mm, D 280 mm, D₁ 180 mm si D₂ 240 mm. Se cere sa se determine vitezele V si V₁, respectiv debitele Q, Q₁ si Q₂.

Rezolvare:

Folosind relatia (11) se determina debitele Q si Q₂ dupa cum urmeaza:

,

.

Fig. 7

In continuare, se observa ca in ramificatie debitul volumic principal Q se imparte in

.

De aici se obtin succesiv

,

.

In sfarsit, aplicand ecuatia de continuitate, avem

.