Ecuatii constitutive ( ecuatii reologice de stare ) - Generarea ecuatiilor constitutive

Ecuatii constitutive ( ecuatii reologice de stare ) - Generarea ecuatiilor constitutive

Pentru a justifica necesitatea ecuatiilor constitutive se considera un proces izoterm de curgere al unui fluid incompresibil formulat printr-o ecuatie de continuitate si trei ecuatii de curgere dupa cele trei directii ale spatiului tridimensional:

(3.2)

(3.3)

Se constata ca sistemul celor 4 ecuatii contine mai mult de 4 necunoscute astfel

( numarul necunoscutelor - numarul ecuatiilor = ecuatii suplimentare ) : marimi cunoscute : ; marimi necunoscute: Pentru multe materiale tensorul efortului vascos este simetric, numarul necunoscutelor reducandu-se astfel la , numarul necunoscutelor - numarul ecuatiilor = ecuatii suplimentare.

Deci, trebuiesc formulate respectiv ecuatii suplimentare corespunzatoare celor respectiv componente ale lui . Ecuatiile suplimentare au forma:

(3.4.)

numite ecuatii constitutive sau ecuatii reologice de stare, in care este tensorul vitezei de deformare:

. (3.5.)

Daca ecuatiile constitutive sunt cunoscute, problema dinamica este determinata, dar nu si rezolvata. Ecuatia (3.5.) trebuie sa fie scrisa sub forma tensoriala, dupa cum se va vedea mai departe, pentru a fi independenta de sistemul de coordonate. Ecuatiile constitutive descriu raspunsul unui corp la un semnal aplicat ( forte externe ). Raspunsul variaza de la substanta la substanta. Relatia intre semnalul aplicat si raspunsul rezultat este o caracteristica unica a constitutiei substantei si poarta denumirea de ecuatie constitutiva. Natura si marimea raspunsului sunt determinate de fortele interatomice si intermoleculare.

Ecuatiile constitutive se pot stabili in mod empiric, semiempiric sau pe baza teoriilor moleculare.

Exemple de ecuatii constitutive liniare din teoria transferului de proprietate formulate empiric sunt:

legea lui Newton a viscozitatii;

legea lui Fourier a conductiei caldurii;

legea lui Fick a difuziei de masa.

Miscarile in care definesc fluidele ideale: elementele fluidului sunt

translatate uniform cu viteze constante .

Miscarile in care intre marimea dinamica si cea cinematica exista relatia:

cu drept constanta ( de exemplu ), sunt cele ale fluidelor newtoniene.

Daca fluidul este nenewtonian. Exista o clasa de substante ale caror proprietati reologice depind fie de efortul de forfecare ( semnal ), fie de viteza de deformare ( raspuns ). Ecuatiile constitutive ale acestor substante sunt neliniare si caracterizeaza clasa fluidelor nenewtoniene.

1. Generarea ecuatiilor constitutive

Ecuatiile constitutive sunt relatii intre cantitati cinematice si dinamice si pot fi considerate drept modele matematice ale unor materiale intalnite in natura. Intr-o alta forma se poate spune ca ecuatia constitutiva reprezinta un postulat sau o definitie ghidata de experienta fizica.

Formularea ecuatiilor constitutive trebuie sa respecte urmatoarele principii matematice, extrase din exprimarea cea mai generala a teoriei campului:

a.)   consistenta cu ecuatiile de conservare;

b.)   invarianta in raport cu sistemul de coordonate;

c.)   concordanta cu teorema a analizei dimensionale;

d.)   obiectivitate materiala;

e.)   echiprezenta.

Necesitatea respectarii primului principiu este evidenta in sensul ca o variabila dependenta sau independenta intr-o ecuatie de conservare isi pastreaza sensul si intr-0 ecuatie constitutiva.

Cel de-al doilea principiu impune, dupa cum s-a mentionat anterior, ca ecuatia constitutiva trebuie formulata tensorial.

Al treilea principiu determina formularea de invarianti adimensionali cu variabilele ecuatiilor constitutive, de care depinde raspunsul dinamic al materialului.

Al cincilea principiu este similar cu al treilea principiu.

Cel mai important principiu pentru formularea ecuatiilor constitutive este al patrulea. Principiul obiectivitatii materiale rezulta si din faptul ca efectele produse intr-un anumit corp, de un sistem de cauze date, sunt totdeauna aceleasi, independent de sistemul de referinta la care raportam cauzele si efectele. Principiul poate fi ilustrat prin urmatoarea experienta, figura 3.3.

Fig.3.3. Experienta fizica.

Resortul este deformat de greutatea datorita miscarii de rotatie a discului. Observatorul nu constata miscarea de rotatie, care este insa aparenta observatorului . Amandoi observatorii vor constata totusi aceeasi deformare. Deci, independent de sistemul de referinta, fix sau mobil, deformarea se pastreaza.

Cautand relatii intre cantitatea dinamica si cantitati cinematice se poate face distinctie intre fluidele vascoase liniare si neliniare.

Ecuatii constitutive:

- fluidul de ordinul zero; (3.6)

- fluid de ordinul intai; (3.7)

- fluid de ordinul doi (3.8)

in care

- derivata Jaumann;

- tensorul vartej sau turbion.

nu sunt constante, ci functiiscalare de forma polinomiala

ale celor trei invarianti principali al tensorului vitezei de deformare.

Pentru se obtine ecuatia constitutiva a fluidului Reiner - Rivlin

neliniar:

. (3.9)

Invariantii sunt marimi scalare, care se pastreaza ca atare la modificarea sistemului de referinta. Dependenta functiilor scalare de invariantii lui satisface principiul obiectivitatii materiale. Pentru fluide vascoase liniare nenewtoniene:

in care sunt invariantii principali ai lui .

In consecinta, calea de elaborare a unor ecuatii constitutive pentru fluide nenewtoniene ar fi:

a.)   identificarea invariantilor ;

b.)   formularea functiei teoretic, empiric sau semiempiric;

c.)   revenirea la partea liniara a ecuatiei (3.9).

a.)   Identificarea invariantilor tensorului .

Fiind dat un vector si un tensor , operatia de multiplicare este:

. (3.10)

si produce un alt vector, ingeneral de marime si directie diferite de marimea si de directia vectorului . Vectorul care satisface ecuatia (3.10) se numeste vector propriu iar directia definita de se va numi directie proprie . Se cauta totusi conditiile in care, fiind dat un tensor simetric , exista un vector , astfel incat multiplicarea sa produca un vector de aceeasi directie cu , de exemplu

, in care este o constanta. Fizic, aceasta multiplicare reprezinta o dilatare a tensorului . Intr-o exprimare echivalenta se cauta solutia ecuatiei tensoriale:

= (3.11)

in care este un scalar si o valoare proprie. In mod similar:

(3.12)

in care este versorul vectorului , .

Din ecuatia (3.12) se obtine succesiv:

(3.13)

(3.14)

(3.15)

Ecuatia vectoriala (3.15) este echivalenta cu un sistem de ecuatii scalare:

(3.16)

Conditia necesara ca acest sistem sa aiba alte solutii decat cele banale, este ca determinantul coeficientilor sa fie nul . Rezulta astfel ecuatia seculara:

(3.17)

Polinomul se numeste polinom caracteristic, iar ecuatia = 0 este ecuatia caracteristica:

(3.18)

in care:

(3.19)

(3.20)

(3.21)

sunt primul, al doilea si al treilea invariant principal al tensorului .

b.)   Formularea functiei

Pentru fluide incompresibile rezulta .

Pentru fluide incompresibile si curgeri simple ( unidirectionale : si ) :

deci, .

c.)   Revenirea la partea liniara a ecuatiei (3.9)

Forma ecuatiei constitutive devine:

(3.22)

Se pot forma si alti invarianti care sunt combinatii ale acestora:

Pentru fluide incompresibile .