Inductante proprii si mutuale ale circuitelor electrice

Inductante proprii si mutuale ale circuitelor electrice

In paragrafele anterioare s-a constatat ca datorita inductiei electromagnetice, apar tensiuni electromotoare, legate de interactiunea magnetica. In cele ce urmeaza se va examina cuplajul magnetic. Acesta se exprima in functie de coeficienti pur geometrici numite inductante mutuale si inductante proprii ale circuitelor.

1. Inductanta mutuala a doua circuite

Se considera doua circuite filiforme C₁ si C₂ parcurse de curentii I₁ si I₂ (Fig. 8.3).

Figura 8.3

Fluxul al campului magnetic , creat de curentul I₂, ce traverseaza circuitul C₁ este :

(8.16)

unde este potentialul vector asociat lui si S₁ este o suprafata ce se sprijina pe conturul C₁. Cum

(8.17)

rezulta

(8.18)

unde

(8.19)

In aceeasi maniera se poate scrie fluxul al campului magnetic , creat de curentul I₁ ce traverseaza circuitul C₂ :

(8.16')

in care

(8.17')

este potentialul vector asociat lui . Inlocuind (8.17') in (8.16') se obtine :

(8.18')

in care :

(8.19')

Fluxurile mutuale sunt legate direct de cantitatile :

(8.20)

Coeficientul definit prin relatia (8.20), numita formula lui Newmann, poarta numele de inductanta mutuala a circuitelor C₁ si C₂. Coeficientul nu depinde decat de geometria si de dispunerea relativa a celor doua circuite. Valoarea lui M este pozitiva sau negativa, depinzand de orientarea aleasa pe fiecare din circuite. Unitatea de masura este henry (H).

Exemplu : Inductanta mutuala intre un solenoid si o spira (Fig. 8.4)

Se considera o spira plana C₂, de raza r₂ plasata in interiorul unui solenoid C₁ de n spire pe metru. Se noteaza unghiul facut de normala la spira cu axa Oz a solenoidului. Presupunand solenoidul infinit, se stie ca :

unde I₁ este intensitatea curentului in solenoid.

Figura 8.4

Rezulta ca :

de unde

(8.21)

Se verifica bine natura geometrica a inductantei mutuale si caracterul sau algebric. Asfel daca , M este pozitiv, in caz contrar M este negativ. Este de asemenea de remarcat faptul ca calculul lui L₁₂ este mult mai dificil deoarece campul magnetic creat de o spira intr-un punct oarecare al spatiului este dificil de exprimat.

2. Circuite reale

In general, aproximatia circuitelor filiforme este suficienta pentru calculul inductantelor mutuale in cazul circuitelor reale, dar nu este suficienta, uneori, pentru calculul inductantelor proprii.

Se considera doua circuite C₁ si C₂ parcurse de densitatile volumice de curent . Se poate calcula fluxul campului creat de C₂ care traverseaza C₁ considerat filiform (daca C₁ nu ar fi considerat filiform fluxul nu ar fi clar definit deoarece C₁ nu ar fi un contur unic) :

(8.22)

unde V₂ este volumul ocupat de circuitul C₂. Introducand potentialul vector creat de circuitul C₁, se poate scrie :

(8.23)

expresie in care caracterul filiform al circuitului C₁ nu mai apare.

Explicitand acum in functie de se obtine, pentru fluxul campului magnetic reat de C₂ si care traverseaza C₁, expresia :

(8.24)

unde V₁ este volumul ocupat de care circuitul C₁. Cum fluxul depinde liniar de , el este proportional cu I₂. Se poate deci scrie :

(8.25)

unde

(8.26)

Expresia lui M in functie de densitatile volumice de curent nu este utilizata curent in practica.

3. Inductanta proprie a unui circuit

Asa cum s-a vazut in paragrafele anterioare, orice circuit parcurs de curent creaza un camp magnetic in care se afla circuitul ce-l creaza. Atunci cand poate fi definit, fluxul campului magnetic prin acest circuit este proportional cu intensitatea curentului ce-l strabate.

Se defineste inductanta proprie unui circuit, notata L, raportul :

Calculul inductantei proprii pentru un circuit filiform este imposibil. Intr-adevar, in vecinatatea unui fir fara dimensiuni transversale, campul magnetic, precum si potentialul vector devin infiniti si calculul isi pierde sensul. Acest fapt este datorat insuficientei modelului, care trebuie inlocuit printr-o distributie volumica de curent. In acest caz campul magnetic si potentialul vector sunt finiti in orice punct.

Aplicand metoda prezentata in paragraful precedent, pentru calculul inductantei mutuale a doua circuite reale, se gaseste, deoarece C₁ si C₂ sunt confundate intr-un acelasi circuit C de volum V :

de unde inductanta proprie este :

(8.27)

In cazul distributiilor superficiale de curent, deoarece se poate scrie :

(8.28)

Exemplu : Inductanta proprie a unui solenoid

Un solenoid de lungime infinita dupa axa Oz, de raza R si cu n spire pe metru este parcurs de un curent de intensitate I. Acest solenoid poate fi asimilat unei coji cilindrice de curent de densitate . Potentialul vector creat de aceasta distributie de curent este, pentru  :

(8.29)

Inductanta proprie a solenoidului pe unitatea de lungime este :

(8.30)

Vectorul densitate de curent fiind nul in exteriorul conductorului, integrala de volum din relatia (8.27) poate fi extinsa la un volum oarecare care contine conductorul. Cum si cum in regim stationar , folosind din analiza matematica identitatea se poate scrie :

Folosind teorema Gauss -Ostrogradski relatia anterioara devine :

(8.31)

unde S este suprafata ce delimiteaza volumul V. Daca S este infinita, distributia stationara de curent este echivalenta, la distanta mare, cu un dipol magnetic. Pe suprafata potentialul vector descreste ca si 1/r² si campul magnetic ca 1/r³. Cum suprafata depinde de r² rezulta ca integrala de suprafata tinde spre zero. In acest caz, expresia (8.31) se reduce la :

(8.32)

unde integrala a fost extinsa pe tot spatiul. Se verifica usor acum ca L este o marime pozitiva.

4. Autoinductia

Cum orice circuit electric este strabatut de propriul camp, o variatie a curentului care-l parcurge conduce la o variatie a fluxului si deci, conform legii lui Faraday, la aparitia unei tensiuni electromotoare induse. De exemplu, daca curentul i(t) creste (di/dt>0), fluxul propriu creste si duce la aparitia tensiunii electromotoare corespunzatoare . Aceasta tensiune electromotoare face ca prin circuit sa circule un curent care sa se opuna cresterii lui i(t) (Legea lui Lentz).

5. Matricea inductanta a unui ansamblu de circuite cuplate

In cazul a doua circuite C₁ si C₂, fluxul al campului magnetic ce traverseaza circuitul C₁ este suma a doua contributii. Prima contributie este fluxul ce traverseaza C₁ atunci cand curentul I₂=0, iar a doua contributie este fluxul campului produs de catre circuitul C₂ atunci cand curentul I₁=0 :

(8.33)

De asemenea, fluxul ce traverseaza circuitul C₂ este suma fluxului campului produs de C₁ atunci cand I₂=0 () si a celui produs de circuitul C₂ atunci cand I₁=0 () :

(8.34)

Cum :

rezulta ca :

(8.35)

Introducand matricile coloana :

relatia (8.35) poate fi scrisa sub forma :

(8.36)

unde L este matricea inductanta a sistemului de doua circuite.

In timp ce coeficientii L₁₁ si L₂₂ sunt pozitivi, semnul coeficientului M depinde de alegerea sensurilor curentilor in cele doua circuite.

Pornind de la acesti coeficienti se poate introduce coeficientul de cuplaj magnetic intre circuitele C₁ si C₂ :

(5.37)

Se spune ca avem de a face cu un cuplaj strans intre cele doua circuite daca k este apropiat de 1. Daca k este apropiat de zero atunci cuplajul este slab ().

Daca se leaga in serie doua inductante, fluxul prin circuitul rezultant este :

(5.38)

semnul plus corespunzand situatiei in care infasurarile celor doua inductante sunt in acelasi sens si semnul minus situatiei contrare. Se constata ca inductanta proprie a circuitului echivalent poate fi variata intr-un domeniu foarte larg, dupa valoarea lui M si modul de cuplaj al inductantelor.