Vectorul viteza si pe traiectorie a punctului material

Vectorul viteza si pe traiectorie a punctului material

Consideram un mobil in miscare pe o traiectorie curbilinie descrisa de o curba oarecare in spatiu "C", conform figurii 3.2

Fig. 3.2. Definirea vitezei medii pe traiectorie, a vectorului viteza medie si viteza momentana

Ecuatia de miscare a mobilului este data de relatia 3.1., iar ecuatia de miscare pe traiectorie de o lege de tip (3.4), unde lungimea arcului S este masurata pe curba "C" intre punctele P si Q. Deplasarea curbilinie intre punctele P si Q descrisa de distanta curbilinie S,permite definirea unei viteze medii pe traiectorie:

precum si a unei viteze momentane :

(3.6)

Daca viteza este constanta pe traiectorie, miscarea se numeste curbilinie uniforma sau uniforma pe traiectorie, iar traiectoria parcursa depinde de viteza :

v = t =    <v> ; ds =    v dt S - S_o = v(t - t_o)

sau (3.7)

S = S_o + v(t - t_o)

Din punct de vedere matematic, pentru a putea fi utilizata situatia de spatiu vectorial afin euclidian al spatiului pozitiilor, este mai convenabil sa se lucreze cu vectorul viteza medie, definit ca variatia vectorului de pozitie in intervalul de timp consumat:

sau pentru a caracteriza miscarea mobilului la un moment dat de timp , cu vectorul viteza momentana:

. (3.9)

Acest vector viteza momentana, exprimat la un moment dat de timp "t" este legat de viteza momentana pe traiectorie in acel moment "v" in conformitate cu relatia urmatoare:

Pe de alta parte ,

..

unde este un vector al tangentei la traiectorie in momentul de timp considerat.

Dar, la limita ΔS →0, portiunea de curba ΔS si |Δ | pot fi exprimate pe baza cercului cu centrul in M si este de raza R:

|Δ | = RΔ (3.12)

astfel incat :

lim     (3.13)

prin urmare in relatia (3.11) se obtine:

astfel incat:

V = v t (3.14)

Componentele vectorului viteza in raport cu baza carteziana ortonormata se scrie:

V = v_x i + v_y j + v_z k cu v_x = = f₁ (t)

v_y = = f₂(t) (3.15)

v_z = = f₃(t)

v² = v_x + v_y + v_z = . (3.16)

(3.17)

Cel mai simplu caz de miscare este cel al miscarii rectilinii uniforme, in care traiectoria este o linie dreapta, pe care vectorul viteza este constant.

. (3.18)

Ecuatia de miscare precedenta poate fi scrisa si in forma parametrica echivalenta

x = x_o + v_x (t - t_o)     |v |² = x² + y² + z²

y = y_o + v_y (t - t_o) unde |v |² = .

z = z_o + v_z (t - t_o)    |v |² = ..

De obicei in cazul unei astfel de miscari, geometria se alege astfel incat miscarea sa aiba loc in lungul unei axe (de ex. axa Ox) si atunci

r = x i ; v = v i

iar legea de miscare coincide cu ecuatia de miscare pe traiectorie

x = x_o + v(t - t_o)    (3.20)