Optica liniara

Principiul de superpozitie in optica liniara

Interferenta luminii se raporteaza la fenomenele care au un rol fundamntal in lamurirea naturii luminii. Chiar fenomenul de interferenta a permis lui Fresnel si Arago nu numai sa confirme natura ondulatorie a luminii, dar sa stabileasca si transversalitatea undelor de lumina.

Atragand atentia asupra independentei propagarii diverselor unde de lumina printr-un orificiu, Huygens scria:

"Una din propietatile interesante ale luminii consta in faptul ca, atunci cand ea trece din diferite directii si chiar in sensuri opuse, printr-un punct din spatiu acest lucru se petrece fara nici un fel de perturbare a undelor in propagare. Acesta rezulta din faptul ca diferiti observatori pot observa simultan , prin unul si acelasi orificiu, diferite obiecte . ". Matematic cimpul E creat in punctul dat din spatiu de doua izvoare de lumina este egal cu suma vectoriala a campurilor E1 si E2, pe care acestea le creaza independent in punctul dat, adica principiul superpozitiei exprimat prin relatia:

E=E1+E2

Principiul superpozitie apare ca rezultatul faptului ca undele de lumina se descriu cu ecuatiile liniare omogene ale lui Maxwell si ecuatiile liniare de material.

Propietatiile mediilor in care se propaga lumina nu depind intensitatea undei de lumina care se propaga. Aceasta se intampla numai in cazul campurilor.luminoase slabe.Prin urmare, principiul super pozitiei este un principiu al opticiiliniare.

Propagarea unui fascicul puternic de radiatii laser printr-un mediu este insotita de diferite fenomene ca:electrostrictiune, polarizare electronicaneliniara, incalzirea mediului, pe seama disiparii energiei undelor de lumina, alinierea moleculelor dupa un camp, in medii lichide etc. toate aceste fenomene, natural, modifica propietatiile mediilor. In particular, electrostrictiunea, in campuri luminoase puternice conduce la aparitia unei presini, proportionala cu patratul intensitatii campului, iar acesta, la randul lui modifica densitatea mediilor si cu aceasta indicii de refractie ai acestora. Ca rezultat al alinierii moleculelor in camp mediile devin anizotrope, iar indicii lor de refractie cresc pe directiile de actionare ale campurilor orientatoare. Toate schimbarile propietatilor mediilor de acest fel conduc la dependenta indicilor de refractie si coeficientilor de absortie de intensitatea luminii. Prin urmare fasciculul puternic de lumina, propagandu-se in mediu modifica propietatile acestuia, creeaza conditii deosebite de cele precedente, care vor influenta chiar propagarea sa.

O astfel de actiune aluminii asupra ei, prin mijlocirea mediului a primit denumirea de autointeractiune.

Procesul de autointeractiune conduce la schimbarea intensitatii luminii, polarizarii acesteia etc. Evident ca in aceste conditii, doua unde puternice, care se propaga intr-un mediu neliniar, in nici un fel nu mai pot sa nu interactioneze, de asemenea, si una cu alta. Inacest fel, principiul superpozitiei, in campuri luminoase puternice, care se propaga prin diferite medii, deja nu se mai poate aplica.

2.Compunerea vibratiilor.Coerenta si interferenta.

2.1.Compunerea vibratiilor

Fie doua oscilatii de aceeasi frecventa, de amplitudini si faze diferite, care se intalnesc intr-un punct. Presupunem ca ambele oscilatii se produc in lungul unei linii.

Prin urmare, cele doua oscilatii au forma:

E1=E01 cos(wt+ )

Timpul initial trebuie sa fie asatfel ales, incat faza initiala a uneiadintre aceste oscilatii sa fie nula. In felul acesta faza initiala a celeilalte oscilatii ar fi diferenta de faza a celor doua oscilatii. Dar, pentru a nu fi afectata generalitatea rationamentului, vor fi luate diferite de zero atat cat si .Pentru o mai usoara determinare, se va presupune ca:

E01 .

fara ca aceasta alegere sa aiba vreo importanta principala.

Ca rezultat se obtine:

E .

Prin urmare, prin compunerea a doua vibratii armonice, de aceeasi perioada, care se produc in lungul unei drepte, apare o vibratie rezultanta armonica, de aceeasi frecventa, in lungul aceleasi drepte ale carei amplitudine si faza se determina cu ajutorul diagramei vectoriale din figura.1.

2.2.Intensitatea vibratiei rezultante

Deoarece intensitatea este direct proportionala cu patratul amplitudinii, atunci inmultind ambele parti ale ecuatiei(3.4)cu (in S.I.) sau cu (C.G.S.), se obtine pentru intensitatea rezultanta I:

I .

In care I1 si I2 sunt intensitatile undelor componente (facrorul ½ care insoteste permitivitatea dielectrica relativa a mediului, rezulta din medierea patratului functiei armonice peste toate unghiurile).

Medierea intensitatilor. Emisia undelor electromagnetice - luminarea este conditionata de vibratiile atomilor, care in general, nu sunt armonice; un act de emisie se produce in aproximativ 10^-8 s.

Diferitele acte de vibratie, ale unuia si aceluiasi atom, ca si vibratiile produse in acelasi timp de atomi diferiti, sunt total independente, adica vibratiile corespunzatoare nu sunt corelate in faza sim poseda faze initiale diferite.

Prin urmare, in cazul dat, rezultatul compunerii, ilustrat de relatia (3.8) va depinde de timp. Datorita frecventei mari de schimbare a intensitatii, nici vizual, nici cu alte instrumente, nu se poate masura o astfel de vibratie. De aceea este necesara medierea relatiei (3.8) in timp. Inacest caz, aceasta relatie capata forma:

Linia de deasupra inseamna medierea peste marimile corespunzatoare. Presupunand ca E01 si E02 nu depind de timp, se obtine:

Si prin urmare:

Pentru a determina valoarea medie a intensitatii, este suficient, in cazul dat, ca sa gaseasca valoarea medie a cosinusului diferentei de faza:

Unde     reprezinta timpul macroscopic de observare. Dupa cum rezulta din (3.10) si (3.11),variatia valorii medii a intensitatii, depinde de diferenta de faza a vibratiilor care se compun.

3.3. Interferenta undelor

3.1. Cazul cand vibratiile in undele care se compun, se produc pe aceeasi directie

Undele se numesc coerente, daca intr-un punct oarecare de suprapunere, diferenta de faza a vibratiilor ramane constanta.

Marimea intensitatiilor rezultante, dupa cum reiese din expresia (3.12), este determinata de valoarea diferentei de faza.Prin urmare, cercetarea interfetei undelor se reduce la determinareadiferentei de faza, in punctele de intalnire.

Fie doua izvoare coerente, I₁ si I₂ (fig. 3.2), care emit unde de aceeasi frecventa.Undelecoerente, care pornesc din aceste izvoare, se intalnesc intr-un punctoarecare P al ecranului E, dispus, fata de acestea, la distantele d₁ si d₂. Oscilatiile din punctul P se descriu cu ecuatiile:

In care E₀₁, E₀₂ reprezinta amplitudinea vibratiilor in punctul P. Presupunem ca ambele oscilatii se produc perpendicular pe planul desenului. Pentru simplitate se presupune ca amplitudinile ambelor vibratii sunt egale:

Dupa compunerea vibratiilor in punctul P, se obtine:

Avand cunoscuta amplitudinea se poate obtine intensitatea rezultanta cu relatia:

Unde e este permitivitatea dielectrica a mediului vidat, in locul unde se dispune ecranul.

Undele fiind coerente j j =const. Prin urmare, distributia intensitatii in diferitele puncte ale ecranului va depinde de diferenta de drum optic a undelor.

Pentru simplitate, diferenta fazelor initiale se poate lua egala cu zero. O astfel de presupunere, fara sa schimbe reprezentarea generala a distributiei de intensitate, conduce numai la o oarecare deplasare a figurii de interferenta in raport cu izvoarele I₁ si I₂. Astfel, luandu-se j j =0 se obtine:

Relatia (3.26) da dependenta intensitatii rezultante, in ficare punct al ecranului, de diferenta de drum a undelor care se compun. Dupa cum rezulta din relatia (3.26), pentru:

Adica pentru diferente de drum egale cu un numar intreg de lungimi de unda, intensitatea rezultanta atinge valorile maximale:

Diferenta de faza produsa de diferenta de drum optic va fi:

Pentru d₂-d₁=kl se obtine:

Adica, in punctele de intalnire a undelor in care diferenta de drum ale acestora este un numar intreg de lungimi de unda, vibratiile care apar se prod in aceeasi faza producand maxime de intensitate.

Pentru diferenta de drum optic:

Adica pentru diferente de faza:

Dupa relatia (3.26), I=0. Deci, in punctele, in care diferenta de drum optic a undelor care se compun este egala cu un numar intreg de semiunde, vibratiile care apar se produc in opozitie de faza si intensitatea rezultanta este zero.

In acest fel, cand amplitudinile undelor care se compun sunt egale, figura de interferenta consta din maxime si minime nume.

In cazul cand amplitudinile undelor sunt inegale (E₀₁ E₀₂), expresia pentru intensitatea rezultanta va avea o forma diferita de (3.26). Intr-adevar, din relatia (3.4),

Tinandu-se seama de (3.21) si (3.22) se obtine:

Daca se ia j j

De aici:

Si cu aceasta, folosind expresia (3.25) se obtine:

In acest caz maximele iau valoarea 2e (E₀₁+E₀₂)² si minimele 2e (E₀₁-E₀₂)².

Deci nu se mai obtin minime nule.

Folosindu-se conditiile de maxim si de minim se poate obtine si forma geometrica a maximelor si minimelor numite curent franja de interferenta. Intr-adevar, atat din conditia de maixim d₂-d₁=kl, cat si din conditia de minim d₂-d₁=(2k+1)l 2 rezulta, pentru o stare data de interferenta:

D₂-d₁=const.

Ceea ce reprezinta o familie de hiberboloizi de rotatie, cu focarele in izvoarele coerente     I₁ si I₂ (fig.3.2.).

3.2. Interferenta undelor pentru cazul general al orientarii     vectorilor luminosi

In tratarea de mai sus a fenomenelor de interferenta, s-a presupus ca in punctul de intalnire a undelor coerente, vibratiile E₁si E₂ sunt orientate in lungul aceleasi linii, mai precis pe aceeasi directie. Aceasta presupunere nu trebuie sa creeze falsa impresie ca interferenta undelor coerente este posibila numai cand acestea vibreaza pe aceeasi directie. In cazul suprapunerii a doua unde coerente de elongatii E₁ si E₂, orientate arbitrar una in raport cu cealalta, pentru intensitatea medie se obtine:

Se observa, deci, ca, superpozitia intensitatilor E²=E₁²+E₂² se produce cand (E₁E₂)=0, adica atunci cand valoarea medie a produsului scalar al vectorilor E₁si E₂ se anuleaza.

Cu alte civinte, interferenta undelor coerente lipseste, daca in toata portiunea de spatiu examinata si in fiecare moment, vectorii E₁ si E₂ sunt perpendicular unul pe altul. Prin urmare, interferenta intr-o portiune de spatiu, la un moment dat, se produce daca (E₁ E₂) 0. Aceasta este conditia necesara si suficienta pentru ca undele coerente sa interfere. Aceasta conditie se aplica si in cazul undelor plan-polarizate:doua unde plan-polarizate, coerente, intalnindu-se intr-un punct interfera, daca directiile dupa care vibreaza nu sunt perpendiculare.

3.3.Largimea franjelor de interferenta

Fie doua izvoare coerente punctiforme, I₁ si I₂, dispuse unul fata de altul la distanta l.

Sa emaninam interferenta undelor, care pornesc din aceste izvoare, pe ecranul E, orientat paralel cu linia izvoarelor I₁ si I₂ si dispus la o distanta D, mult mai mare decat distanta dintre izvoare (fig.3.3). Dupa cum se va vedea in continuare, conditia D>>l pentru observarea interferentei este impusa si de lungimea foarte mica a undelor luminoase (l 10^-7 m).

Fie M₁M₂ mediatoarea segmentului care uneste cele doua izvoare coerente si M₂-locul in care segmentul M₁M₂, perpendicular pe ecranul E, inteapa acest ecran, - centrul figurii de interferenta.

Fie, de asemenea, un punct P in care studiem o stare oarecare de interferenta. Franjele de interferenta vor fi aproximate prin segmente de dreapta perpendiculare pe planul desenului, deci orientate perpendicular pe linia dreapta care trece prin cele doua izvoare.

Tinand seama de faptul ca D>>l, perpendiculara coborata din I pe I₂P desemneaza diferenta de drum optic dintre undele care ajung in puntul P:d=I₂N d₂-d₁.

Distanta de la centrul M₂ al figurii de interfenta la punctul P se va nota cu x.

Ducand prin I₁ si I₂ dreptele:

Se desemneaza pe ecran segmentul P₁P₂=I₁I₂=l.

Din figura 3.3 rezulta :

Scazand relatia (38) din (37) se obtine: d₂²-d₁²=2lx,

Sau

In conditiile problemei

Introducand (40) in (39) se obtine:

De aici se obtine diferenta de drum optic:

Pentru maxime de interferenta:

Iar pentru minime:

Numarul k din relatiile (43) si (44) desemneaza ordinul de interferenta. Distanta, pe ecran, la un maxim de ordin k este data, prin urmare, de relatia:

Iar la un minim:

Distanta dintre doua maxime sau doua minime consecutive, pentru o radiatie de o lungime de unda data, se obtine cu relatia:

Si poarta numele de interfranja.

Distanta dintre un maxim si un minim de interferenta, de acelasi ordin, pentru o radiatie de o lungime de unda data este:

Si desemneaza semilargimea franjei de interferenta. Dublul acestei marimi reprezinta largimea franjei maxime care se identifica cu interfranja (3.47).

In aproximatiile discutate, din relatiile (3.47) si (3.38) rezulta ca largimea franjei nu depinde de ordinul de interferenta. Pentru o radiatie de o lungime de unda data, largimea franjei de interferenta este cu atat mai mare cu cat mai mica este distanta dintre izvoarele coerente.

Avand in vedere faptul ca lungimea de unda a radiatiilor luminoase este foarte mica (l 10^-7 m), pentru ca structura figurii de interferenta sa fie clar lizibila, din relatiile (3.47), (3.48) rezulta o data in plus necesitatea conditiei D>>l.

Notand prin I_max si I_min intensitatea maximelor, respectiv minimelor de interferenta se defineste vizibilitatea franjelor de interferenta sau contrastul figurii de interferenta, prin relatia:

Evident, vizibilitatile accesibile ale franjelor de interferenta trebuie sa se dispuna in domeniul de valori 0 V

4. Influenta nemonocromaticitatii luminii asupra interferentei

In realitate, de multe ori, nu se lucreaza cu radiatii pur monocromatice. De aceea este interesanta studierea influentei nemonocromaticitatii radiatiei asupra figurii de interferenta.

Pozitiile maximelor si minimelor de interferenta, pentru o radiatie monocromatica, se obtin cu relatiile (3.45) si (3.46). Distributia de intensitate in figura de interferenta, pentru o radiatie de o lungime de unda data, se poate urmarii pe figura 3.4, prin curba groasa, continua. In lumina nemonocromatica, se produce o scadere a contrastului figurii de interferenta.

Aceasta se datoreaza faptului ca fiecarei radiatii monocromatice, din lumina compusa, ii corespunde o figura proprie de interferenta. Pozitiile maximelor si minimelor de interferenta corespunzand diferitelor lungimi de unda suprapunandu-se (curbele punctate de pe figura 4), fac sa se inrautateasca vizibilitatea franjelor de interferenta pentru radiatia monocromatica dominanta. In felul acesta, rezolutia franjelor de pinde de gradul de monocromaticitate a radiatiei obtinute de la un izvor dat.

Sa presupunem ca gradul de nemonocromaticitate se dispune in domeniul spectral l l Dl. Evident ca marimea largimii spectrului cu Dl, fata de l, conduce la inrautatirea vizibilitatii figurii de interferenta. Problema care se pune este sa se gaseasca largimea maximala a domeniului spectral Dl, pentru care se mai poate distinge inca figura de interferenta.

Deoarece in acelasi ordin de interferenta, pozitiile maximelor corespunzand diferitelor radiatii monocromatice se dispun indepartandu-se de la centru, in ordine cresterii lungimilor de unda, ele se vor desfasura in dreapta maximului de ordin k, pentru radiatia de lungime de unda l, spre maximul de ordinul k+1 al acesteia. Maximul de ordinul k al radiatiei de lungime de unda l Dl se va nota cu F_k.

Figura de interferenta va fi inca lizibila, daca intervalul intre maximele vecine k, k+1 ale radiatiei l (marcate prin A_k si     A_k+1 pe figura 3.4) nu va fi umplut cu maxime de interferenta corespunzand radiatiilor din intervalul spectral Dl, adica atunci cand punctul F_k se va dispune catusi de putin in stanga punctului A_k+1.

Prin urmare, presupunand maximele radiatiilor cuprinse in intervalul Dl de aceeasi intensitate si receptorul de radiatii la fel de sensibil pe acest interval, figura de interferenta mai poate fi conceputa la limita, pana cand maximul de ordinul k+1, corespunzator radiatiei l, se suprapune peste maximul de ordinul k, corespunzator radiatiei l Dl, adica:

De aici, pentru largimea limita a domeniului spectral se obtine:

Din relatia (3.51) rezulta ca, la ordine mari de interferenta domeniul spectral abordabil pe cale interferentiala este mai mic si invers, la ordine mai mici de interferenta se poate obtine o figura de interferenta distincta, si-n lumina cu un grad de monocromaticitate mai redus.

5. Metode experimentale de obtinere a undelor coerente

5.1. Obtinerea undelor coerente prin divizarea frontului de unda. Interferenta nelocalizata

Din cele de mai sus rezulta ca nu se pot obtine franje de interferenta cu radiatii provenind de la izvoare diferite, sau de la puncte indepartate ale unui izvor intins.

Aceasta inseamna ca aceste radiatii nu sunt corecte. Izvoarele elementare, implicate in procesele de emisie radianta, atomii sau moleculele emit independent, pe durate scurte de ordinul 10^-7 - 10^-8 s, unde cu variatii de faza foarte dezordonate si ca atare undele receptionate astfel, necorelate, deci necoerente, nu pot interfera.

Unul din procedeele de obtinere a undelor coerente este cel prin care radiatia emisa de un izvor punctiform este divizata in doua parti, iar cele doua parti se intalnesc din nou intr-un punct. In acest caz undele care interfera provin din aceeasi unda initiala. Acesta este procedeul de obtinere al undelor coerente prin divizarea frontului de unde.

Izvoarele coerente prin divizarea frontului de unda se pot realiza in optica prin :

a)      formarea a doua imagini ale aceluiasi izvor luminos;

b)      intrebuintarea izvorului si a unei imagini a sa.

In acest scop se concep si folosesc diferite dispozitive experimentale.

Redam spre exemplificare doua dintre cele mai reprezentative dispozitive de acest tip:

a)      Oglinzile lui Fresnel. Acestea (fig.3.5) constau dintr-un sistem format din doua oglinzi plane care formeaza un unghi si in care se formeaza imaginile I₁ si I₂ ale izvorului punctiform I (sau ale unei fante iluminate, paralela cu muchia comuna a oglinzilor). Pe domeniul de suprapunere a fasciculelor care provin de la izvoarele I₁ si I₂ apare fenomenul de interferenta.

Franjele pot fi prinse pe ecranul E, asezat la distanta D₀ de muchia M a oglinzilor. Izvorul I si imaginile I₁ si I₂ se gasesc la distanta r de muchia M. Interfranja este data de relatia:

Si va fi cu atat mai mare cu cat unghiul oglinzilor este mai apropiat de

Franjele de acest tip care pot fi prinse in diferite planuri paralele cu planul E, ce intersecteaza regiunea hasurata, poarta numele de franje nelocalizate, ca si in cazul franjelor obtinute cu dispozitivul care va urma.

b)      Bilentilele Billet. Bilentila Billet, formata din cele doua jumatati ale unei lentile, putin inclinate una fata de alta, da doua imagini reale I₁ si I₂ ale unei fante I, ceea ce permite obtinerea interferentei si masurarea directa a distantelor l si D cu ajutorul carora se poate afla l, folosind formula interfranjei (fig.3.6).

5.2. Interferenta undelor coerente obtinute prin divizarea amplitudinii

a)      Interferenta de egala grosime. Au fost expuse doua procedee de obtinere a undelor coerente prin divizarea frontului de unda. S-a precizat totodata ca figurile de interferenta obtinute astfel sunt foarte fine, numai daca izvoarele sunt punctiforme. Franjele de interferenta erau nelocalizate.

Un fascicul de lumina poate fi, de asemenea, divizat cu una sau mai multe suprefete reflectatoare, de pe care o parte din lumina se reflecta, iar alta parte se transmite cu intensitatile corespunzatoare.

Cum intensitatea luminii este o masura a patratului amplitudinii spunem ca undele coerente se obtin, in acest caz, prin divizarea amplitudinii.

Aceste unde se pot obtine si de la izvoare mai intinse, iar efectele de interferenta pot fichiar mai intense, decat in cazul undelor coerente, obtinute prin divizarea frontului de unda.Dealtfel, in practica se folosesc izvoare mai mult sau mai putin intinse.

In natura se observa adeseori fenomene de interferenta cand drept izvor de lumina se foloseste o portiune din cer, adica lumina difuza a zilei. Un fenomen foarte elocvent de acest fel are loc la iluminarea unei pelicule rtansparente, subtiri, cand descompunerea undei de lumina necesara pentru aparitia fasciculelor coerente se realizeaza datorita reflexieei luminii pe fata anterioara si pe cea posterioara peliculei. Acest fenomen, cunoscut sub numele de culorile lamelor subtiri, se observa usor pe peliculele balonaselor de sapun, petele de ulei sau de petrol, pe peliculele oxizilor transparenti etc.

Dand o astf4el de pelicula, lumi9na de o anumita lungime de unda se reflecta partial, iar partial patrunde im interior, reflectandu-se din nou pe suprafata a doua. Infelul acesta se poate realiza intalnirea a doua unde coerente cu o anumita diferenta de drum. In figura 3.7, diferenta de drum optic dintre radiatiile IA si IC in punctul C, al unei portiuni de lama foarte subtire, este data de diferenta drumurilor optice ADC si BC, iar in fonctie de diferenta de faza capatata de aceste unde, se obtine dupa directia CO un efect de interferenta, sau altul.

Consideram lama foarte subtire, iar radiatiile IA si IB provenind de la un izvor intins foarte indepartat, ca facand un unghi foarte mic intre ele. Tinand de pierderea unei jumatati de unda la reflectia pe suprafata lamei, a radiatiei IC, se obtine:

Uned n=n₂ n₁ este indicele relativ de re4fractie al lamei (n₂) fata de aer (n₁=1). Din figura 3.7 rezulta AD=d cos r, unde d=FD este grosimea lamei si r unghiul de refractie. De pe acelasi desen se obtine relatia:

BC=2d tg r sin i,