Reometrul capilar. Curgere Poiseuille

Reometrul capilar. Curgere Poiseuille

Pentru masurarea functiilor de material se utilizeaza pe langa instrumentele rotationale ( viscozimetrul cu cilindri coaxiali, reometrul placa - placa, reometrul con - placa si capilare, duze sau geometrii similare.

In general reometrele capilare se folosesc pentru studiul fluidelor vascoase si topiturilor de polimeri la numere Reynolds mici.

Geometria ( principiul constructiv si functional ) reometrului capilar si profilul axial de presiune este reprezentata in fig.3.37.

Fig. 3.37. Geometria reometrului capilar si profilul axial de presiune

Constructiv, reometrul capilar este format dintr-un rezervor cu diametrul in care se gaseste fluidul vascos continuat cu o capilara cu diametrul prin care extrudeaza fluidul vascos datorita unei greutati ce actioneaza asupra pistonului.

Ipotezele simplificatoare ce stau la baza analizei curgerii sunt urmatoarele:

fluidul vascos se considera incompresibil;

curgere stationara;

curgere izoterma;

curgere unidirectionala;

fluidul vascos adera la peretele capilarei;

se neglijeaza efectele inertiale si generarea de caldura prin disipare vascoasa

( temperatura topiturii este uniforma );

diametrul rezervorului de fluid vascos este mult mai mare decat diametrul

capilarei, .

Tinand seama de efectele de capat curgerea in lungul capilarei se poate diviza in mai multe regiuni ( zone ).

In partea superioara a rezervorului de fluid vascos liniile de curent sunt neperturbate, curgerea este de tip piston.

Regiunea de intrare in capilara corespunde eforturilor de forfecare mari deoarece are loc ingustarea de sectiune de curgere, liniile de curent sunt perturbate, au loc chiar curgeri inpoi ale fluidului sub forma de turbioni celulari de tip Taylor.

Regiunea de curgere reometrica are un profil stabilizat al vitezei de curgere si are lungimea mai mica decat lungimea capilarei datorita efectelor de capat la intrare respectiv la iesire din capilara. Gradientii axiali de presiune sunt constanti, iar presiunea variaza liniar in lungul capilarei.

Pentru fluide cu comportare elastica, diametrul extrudatului este mai mare decat diametrul capilarei. Corectia de capat Baglei tine seama de variatia efortului de forfecare cu lungimea capilarei. Regiunea corespunde iesirii din capilara si se datoreaza si largirii sectiunii de curgere.

Este regiunea in care are loc curgerea libera a extrudatului.

Raportul de gonflare notat cu ia valori intre si pana la max : . Raportul de gonflare este functie de simplexul geometric si viteza de deformare prin forfecare . Intr-o reprezentare grafica, fig.3.38, se reprezinta raportul de gonflare functie de simplexul geometric cu viteza de deformare prin forfecare ca parametru de reprezentare.

Fig. 3.38. Variatia raportului de gonflare functie de

simplexul geometric cu viteza de deformare

prin forfecare ca parametru al reprezentarii

Un parametru ce caracterizeaza extrudarea topiturii de polimer este indicele topiturii:

(3.123)

Debitul volumetric de fluid extrudat variaza in timp de la valoarea medie, la valoarea maxima, , reprezentarea grafica, fig.3.39.

Fig. 3.39. Variatia debitului volumetric in timpul extrudarii

Distributia axiala a presiunii si cea radiala a efortului de forfecare. Prin integrarea ecuatiei de conservare a momentului liniar, componenta :

(3.124)

in care: - este o constanta.

Deoarece cei doi membrii ai ecuatiei (3.124) sunt functii de variabile diferite, rezulta ca sunt egali intre ei si constanti.

Se integreaza : si rezulta: (3.125)

Conditiile la limita necesare determinarii constantelor de integrare sunt:

(3.126)

(3.127)

Din prima conditie la limita rezulta iar din conditia la limia a doua rezulta:

;

Profilul axial al presiunii este liniar in raport cu coordonata axiala:

(3.128)

Pentru obtinerea radiala a efortului de forfecare se reia egalitatea:

(3.129)

se izoleaza variabilele si se integreaza :

;sau (3.130)

Din conditia la limita la peretele capilarei si relatia de distributie radiala a efortului de forfecare ecuatia (3.130), rezulta efortul de forfecare la peretele capilarei, :

(3.131)

Prin cuplarea ecuatiilor (3.130) si (3.131) rezulta:

(3.132)

Efortul de forfecare la peretele capilarei poate fi evaluat experimental prin masurarea razei capilarei,, lungimii capilarei, si caderii de presiune pe capilara, cu ajutorul unui manometru diferential.

Determinarea parametrilor reologici. Viscozitatea aparenta este raportul intre efortul de forfecare si viteza de deformare prin forfecare, ambele evaluate la peretele capilarei:

(3.133)

Determinarea vitezei de deformare prin forfecare evaluata la peretele capilarei, .

Se sectioneaza transversal capilara si se pun in evidenta elementele infinitezimale geometrice ce caracterizeaza sectiunea infinitezimala de curgere, fig.3.40.

Fig. 3.40. Sectiunea de curgere infunitezimala

Sectiunea de curgere infinitezimala are expresia: ( in ipoteza in care lungimea arcului superior este sectiunea de curgere infinitezimala corespunde unui trapez curbiliniu iar daca lungimea arcului superior este egala cu a celui inferior, sectiunea de curgere infinitezimala corespunde unui dreptunghi curbiliniu ).

Debitul volumetric infinitezimal devine:

(3.134)

Prin integrarea relatiei (3.134) pe toata sectiunea de curgere a capilarei se obtine

( se foloseste metoda de integrare prin parti, viteza evaluata la peretele capilarei este nula, , din conditia de aderenta la perete ):

(3.135)

In relatia (3.135) se face schimbarea de variabila de integrare de la raza curenta, la efortul de forfecare curent, cu ajutorul relatiei (3.132) si se obtine:

(3.136)

(3.137)

Se aplica relatiei (3.137) formula de derivare Leibnitz - Newton:

(3.138)

in care: .

Aplicand relatia de derivare (3.138) relatiei (3.137) se obtine::

Se rearanjeaza relatia de mai sus si rezulta viteza de deformare prin forfecare evaluata la peretele capilarei:

ecuatia Rabinowitsch (3.139)

Se introduce prin relatia de mai jos expresia vitezei de deformare prin forfecare aparenta evaluata la peretele capilarei, marime masurabila experimental:

(3.140)

Deoarece:

Relatia (3.139) se rescrie succesiv sub urmatoarele forme:

(3.141)

Daca se dispune de un set de date experimentale sau sau se poate determina panta la curba, pentru orice valoare a efortului de forfecare evaluat la peretele capilarei, , conform fig.3.41:

Fig.3.41. Reograma .

Pentru fluidul de tip legea puterii indicele de curgere, , este panta dreptei in reprezentarea :

(3.142)

Relatia (3.141) se rescrie sub forma:

corectia Metzner - Rabinowitsch (3.143)

Reprezentarea grafica a vitezei de deformare prin forfecare evaluata la peretele capilarei functie de indicele de curgere este schitata in fig. 3.42:

Fig. 3.42. Variatia vitezei de deformare prin forfecare

functie de indicele de curgere

Pentru fluidul newtonian: .

Aplicatia 1.

In tabelul nr.1 sunt prezentate masuratorile experimentale efectuate intr-o capilara cu diametrul . Densitatea fluidului este . Lungimea capilarei este . Sa se construiasca grafic curbele caracteristice si .

Tabelul nr.1.

in care: - este caderea de presiune pe capilara; - debitul masic al fluidului in curgere prin capilara.

Rezolvare:

Efortul de forfecare la peretele capilarei:

, , in care este in

( ).

Viteza de deformare prin forfecare aparenta evaluata la peretele capilarei:

Aplicatia 2.

Utilizand datele experimentale obtinute cu un reometru capilar, tabelul 2., sa se calculeze viteza medie cu ajutorul relatiei pentru o capilara cu diametrul si gradientul de presiune este .

Tabelul 2.

Rezolvare:

Efortul de forfecare evaluat la peretele capilarei:

Viteza medie de curgere se determina din relatia data:

sau .

Limita de integrare superioara este: .

Viteza medie de curgere se calculeaza cu relatia:

; .

Se calculeaza produsul pentru fiecare experienta din tabelul 2. si integrala se evalueaza grafic, numeric ( metoda Simpson ) sau analitic.

Metoda numerica Simpson necesita pas de integrare constant, se alege un numar par de subintervale , pasul de integrare este

Tabelul 3.

Pentru cele 7 puncte ( valori ale efortului de forfecare evaluat la peretele

capilarei ) se face o interpolare grafica pentru valorile vitezei de deformare prin forfecare, tabelul 3.

,

Viteza medie se calculeaza cu relatia: .

Metoda analitica necesita determinarea parametrilor reologici ai fluidului.