Tehnica fotoelasticitatii prin reflexie - Separarea tensiunilor principale

Tehnica fotoelasticitatii prin reflexie

Analiza starii de tensiune in structurile plane, cu ajutorul tehnicii fotoelasticitatii prin transparenta, prezentata mai sus, se face pe modelele acestor structuri, executate la scara din materiale optic active, numite materiale fotoelastice.

Rezultatele investigatiilor intreprinse pe modele se transfera la structura reala tinand sema de scara lungimilor si scara fortelor, obtinandu-se in final starea de tensiune din structura reala.

Starea de tensiune de pe suprafata unor structuri poate fi determinata si direct, pe cale fotoelastica, folosind o tehnica speciala cunoscuta sub numele de tehnica fotoelasticitatii prin reflexie(sau tehnica invelisurilor fotoelastice reflectorizante).

In acest scop, zona de pe suprafata structurii care urmeaza sa fie investigata se curata cu hartie abraziva pana se obtine o suprafata mata si se degreseaza cu acetona si alcool. Pe suprafata astfel pregatita se lipeste cu un adeziv special reflectorizant o folie fotoelastica transparenta cu grosimea de 1,0 - 1,5 mm.

Daca suprafata structurii este curbilinie, se pregateste separat pe o placa de teflon, o folie subtire, dintr-un amestec special format dintr-o rasina epoxidica si intaritor. Inainte de intarire (polimerizare totala), folia se desprinde de pe placa de teflon si se aplica pe suprafata structurii, mulandu-se dupa forma aceseia. Pentru ca sa nu se lipeasca de structura, inainte de aplicare, folia se unge pe suprafata interioara cu ulei siliconic. Dupa ce s-a aplicat pe suprafata structurii, folia se fixeaza pe margine cu hartie adeziva si se mentine timp de 24 ore pentru intarire. Folia intarita se desprinde de pe suprafata structurii si se degreseaza cu acool la partea interioara. Se degreseaza, de asemenea, cu alcool si suprafata structurii pe care se intinde o pelicula subtire si uniforma de adeziv reflectorizant. Folia fotoelastica intarita se aplica peste stratul adeziv apasandu-se usor in vederea inlaturarii bulelor de aer care se formeaza si pentru uniformizarea stratului de adeziv. Se fixeaza pe margine cu panglica adeziva si se mentine timp de 24 ore, pentru intarirea stratului de adeziv reflectorizant. Prin aceasta folia fotolastica adera perfect la suprafata structurii si se deformeaza odata cu aceasta in urma incarcarii, devenind birefringenta.

Efectul de birefrigenta in diferite puncte de pe suprafata foliei poate fi evidentiat cu ajutorul unui polariscop cu lumina polarizata circular, de constructie speciala, avand axa optica franta, numit polariscop cu reflexie(fig. 24). Razele de lumina emise de sursa, trec prin polarizor si prin prima lama sfert de unda, dupa care traverseaza folia fotoelastica de grosime h, care deformandu-se odata cu structura pe care este aplicata devine birefringenta. Intalnind stratul de adeziv reflectorizant, razele de lumina se reflecta, traversand din nou folia fotoelastica, dupa care prin cea de-a doua lama sfert de unda si prin analizor, ajungand pe obiectivul aparatului fotografic, sau pe ochiul observa-torului. Polariscopul cu reflexie are posibi-litatea scoaterii lamelor sfert de unda din sistemul optic (prin ro-tire), transformandu-se intr-un polariscop cu lumina polarizata plan. Utilizand cele doua feluri de lumina pola-rizata, pot fi inre-gistrate atat izoclinele cat si izocromatele, din prelucrarea carora se determina diferenta tensiunilor principale (σ₁ - σ₂) si directiile acestora, in orice punct de pe suprafata structurii, din zona investigata.

Fig. 24 Fotoelasticitate prin reflexie

In cazul fotoelasticitatii prin reflexie, tinand seama ca raza de lumina reflectata de stratul de adeziv reflectorizant traverseaza invelisul fotoelastic de doua ori, expresiile (18) si (19) devin:

, (51)

, (52)

Tinand seama de (40), expresiile (51) si (52) devin:

, (53)

, (54)

sau

, (55)

, (56)

unde

, (57)

, (58)

sunt constantele fotoelastice de tensiune, respectiv de deformatie ale foliei. Tinand seama de (55), (56) si de (50), rezulta:

, (59)

De regula, in practica, coeficientul de deformatie optica C_ε este indicat de producatorul foliei fotoelastice, iar coeficientul de tensiune optica C_σ se determina in functie de acesta cu expresia (49).

Cunoscandu-se coeficientul C_ε si grosimea h a foliei se poate determina constanta fotoelastica de deformatie f_ε, a foliei, cu expresia (58), considerand λ = 5,9.10^-7m, corespunzatoare culorii galben, pentru care se produce extinctia totala in lumina alba (δ = N.λ).

Daca coeficientul de deformatie optica C_ε este necunoscut, constanta fotoelastica de deformatie optica f_ε a foliei se determina experimental printr-o operatie de etalonare. In acest scop pe o lama cu sectiunea dreptunghiulara, confectionata din acelasi material cu structura investigata, incastrata la un capat si libera la celalat se aplica o folie fotoelastice identica cu cea aplicta pe structura. Pe suprafata foliei se stabileste un punct M, la distanta l de capatul liber, care va fi vizat prin polariscopul cu reflexie (fig.25).

Fig. 25 Determinarea coeficientului de deformatie optica C_ε

Pentru o sarcina P aplicata pe capatul liber, tensiunea maxima din sectiunea corespunzatoare punctului M, este:

, (60)

Din (59) rezulta:

, (61)

unde E_s si n_s sunt constantele elastice ale materialului structurii. Pentru lamela din figura 25, σ₂ = 0 si expresia (61) devine:

,

unde

.

Inlocuind, se obtine:

Inlocuind (60) rezulta expresia pentru calculul constantei fotoelastice de deformatiei optica, exprimata in μm/m.fr.

(62)

Folosind expresia (62) si in acest caz se poate trasa curba de etalonare a foliei fotoelastice intr-un sistem P = f(N).

Pentru determinarea diferentei tensiunilor principale (σ₁ - σ₂) intr-un punct de pe suprafata structurii se considera ca deformatiile specifice din folia fotoelastica sunt identice cu cele din structura si .

Pentru structura se poate scrie:

(63)

iar pentru folia elastica,

(64)

Considerand si in expresiile (63) si inlocuind deformatiile specifice in expresiile (64) se obtine:

Inlocuind σ_1f si σ_2f in expresia (55), dupa unele transfomari se obtine:

(66)

Tinand seama de (50), expresia (66) mai poate fi scrisa sub forma

(67)

Separarea tensiunilor principale

Tehnica fotoelasticitatii furnizeaza date cu care se determina valoarea globala a diferentei tensiunilor principale (σ₁ - σ₂ = 2 t_max), in orice punct de pe suprafata modelului fotoelastic (structurii).

Pentru o evaluare cat mai corecta a comportamentului mecanic al unei structuri, este necesar sa se cunoasca legile de variatie ale tensiunilor principale σ₁ si σ₂, pe conturul structurii, acolo unde acestea pot fi maxime (atunci cand sunt produse de solicitarile de incovoiere sau rasucire), sau pe o directie oarecare in interiorul modelului.

In puncte situate pe contururi neincarcate, σ_2c = 0, iar σ_1c ≠ 0. Curba de variatie a tensiunii principale σ₁, in lungul conturului, se poate obtine in acest caz ducand normale la contur proportionale cu produsul N.f_σ, in punctele in care conturul este intersectat de izocromatele de diferite ordine N. Unind punctele, determinate pe aceste normale se obtine curba de variatie a tensiunii σ₁ in lungul conturului (fig. 26). Daca pe contur exista un punct neutru, curba de variatie a tensi-unilor principale σ₁ trece prin acest punct, tensiunile schimband semnul (fig. 26).

Fig. 26 Separarea tensiunilor principale

Pentru determinarea valorilor individuale ale tensiunilor principale in diferite puncte pe o directie oarecare in interiorul modelului se folosesc o serie metode si tehnici speciale de lucru. Acestea pot fi grupate in doua mari categorii: metode care folosesc numai date fotoelastice si metode combinate, in care sunt folosite datele fotoelastice impreuna cu datele furnizate de alte tehnici experimentale. Utilizarea unei metode de separare, sau a alteia este impusa de natura problemei care trebuie analizata (geometria structurii si modul de incarcare).

Aceste metode proceseaza fie numai datele furnizate de izocromate inregistrate in diferite conditii, fie datele furnizate de ambele familii de franje (izocromate si izocline).

1 Metoda incidentei oblice

Metoda necesita cunoasterea prealabila a directiilor tensiunilor principale in punctul de interes. Determinarea valorilor individuale ale tensiunilor principale σ₁ si σ₂ cu aceasta metoda se face cu usurinta in punctele situate pe axe de simetrie, unde tensiunile principale au aceeasi directie. Pentru analiza se recomanda ca starea de tensiune sa fie fixata in model printr-un procedeu obisnuit, cum este cel al inghetarii tensiunilor.

Campul de izocromate de pe suprafata modelului se inregistreaza pentru doua moduri diferite de incidenta a luminii care traverseaza modelul: incidenta normala(modelul este perpendicular pe directia razelor de lumina) si incidenta oblica(modelul este rotit cu un unghi θ in jurul uneia din directiile tensiunilor principale).

Pentru evitarea unor efecte optice parazite care apar in cazul incidentei oblice, modelul fotoelastic rotit cu unghiul θ trebuie introdus intr-o cuva cu pereti paraleli si transparenti in care se afla ulei de parafina.

Notand cu N_n ordinul de banda intr-un punct de pe suprafata modelului expus in incidenta normala (fig. 27a), rezulta:

. (68)

Tinand seama de (45) se poate scrie

(69)

Notand

si (69)

se obtine

A - b = N_r

Fig. 27 Metoda incidentei oblice

Daca se noteaza cu N_o, ordinul de banda in acelasi punct de pe suprafata modelului expus in incidenta oblica (fig. 27b), se poate scrie

. (71)

Tinand seama de figura 27.d, rezulta unde . Inlocuind se obtinesi substituind pe σ₂' in (71), rezulta:

(72)

unde tinand seama de figura 27.c, se poate scrie:

(73)

Inlocuind in (72), rezulta:

,

sau

. (74)

Tinand seama de notatiile (69), expresia (74) poate fi scrisa sub forma

A - B cos = N_o.cos θ, (75)

Rezolvand sistemul alcatuit din expresiile (70), 75) si tinand seama de notatiile (69), se obtine in final:

(80)

Valorile individuale ale tensiunilor principale σ₁ si σ₂ intr-un punct se calculeaza cu expresiile (80), pentru cazul in care modelul se roteste cu unghiul θ in jurul directiei tensiunilor principale σ₁. Daca modelul se roteste cu unghiul θ in jurul directiei tensiunii principale σ₂, aplicand un rationament similar rezulta

(81)

Unghiul de rotire θ, al modelului si intr-un caz si in celalalt nu trebuie sa depaseasca 30^o . 35^o.

2 Metoda diferentei tensiunilor tangentiale

Cunoscuta si sub numele de metoda lui Frocht, este folosita frecvent pentru determinarea valorilor individuale ale tensiunilor principale σ₁ si σ₂ pe o directie oarecare in interiorul modelului pornind de la un contur neincarcat.

Dupa cum s-a aratat, prin determinarea valorii ordinului de banda, in orice punct de pe suprafata modelului poate fi scrisa o relatie intre tensiunile principale de forma σ₁ - σ₂ = N.f_σ.

Pentru determinarea valorilor individuale ale tensiunilor principale in punctul considerat este necesar sa se mai scrie inca o relatie intre tensiuni.

Aceasta relatie poate fi scrisa pornind de la ecuatiile diferentiale de echilibru, care in cazul starii plane de tensiune si in absenta fortelor masice se scrie sub forma: .

Aceasta ecuatie mai poate fi scrisa cu ajutorul diferentelor finite sub forma:

, (82)

unde σ_x este tensiunea normala pe directia x, iar t_xy este tensiunea tangentiala in acelasi punct pe directia y, , unde a este unghiul pe care-l face directia x cu directia tensiunii principale σ₁. Diferenta (σ₁ - σ₂) se calculeaza determinand valoarea ordinului de banda N in punctul respectiv, iar unghiul a se obtine determinand parametrul izoclinei care trece prin acest punct.

Fig. 28 Metoda diferentei tensiunilor tangentiale

Integrand ecuatia (82), se obtine:

. (83)

Daca directia x face un unghi θ cu tangenta la un contur neincarcat (fig. 28), tensiunea σ_xo va fi:

,

unde σ_T este tensiunea tanagenta la contur in punctul O. Daca θ = 90^o, σ_xo=0.

In continuare, pentru exemplificarea metodei se considera cazul unei platbande dreptunghiulare cu o gaura de bolt centrala, solicitata la tractiune prin intermediul unei forte F aplicata in centrul boltului (fig. 29,a). Campul de izocromate fotografiat pe modelul acestei platbande intr-un polariscop cu lumina monocromatica polarizata circular este prezentat in figura (29.b).

Ne propunem sa determinam curbele de variatie ale tensiunilor principale σ₁ si σ₂ din platbanda pe directia Ox in prelungirea axului orizontal la gaurii (fig. 30.a). Se traseaza doua linii A si B paralele cu Ox la distante egale Δy/2 de aceasta. Pe directia Ox se determina punctele la 0, 1, 2, 3 la distantele egale Δx = Δy si se traseaza un caroiaj de drepte (fig. 30.a). Asa cum rezulta din figura (30.b), unghiul dintre σ_T = σ₁ si directia Ox fiind θ = 0, tensiunea σ_x0 = 0.

Fig. 29 Platbanda dreptunghiulara cu gaura de bolt centrala
solicitata la tractiune

Variatia (Δt_xy)_i a tensiunii tangentiale din expresia (83), intr-un punct oarecare de pe directia Ox se calculeaza cu expresia:

, (84)

unde N_Ai si N_Bi sunt ordinele de banda determinate in dreptul punctului i de pe dreapta Ox, pe directiile A si B, iar a_Ai si a_Bi sunt unghiurile pe care tensiunile principale σ₁ le fac cu directia Ox in punctele A_i si B_i (fig. 30.c,d).

Deoarece Δx = Δy, tensiune normala σ_xi intr-un punct pe directia Ox, poate fi scrisa, aplicand relatia (83), sub forma:

. (85)

Din figura (29) rezulta:

,

de unde

,

sau

,

Dar

,

sau

.

Se obtine astfel o noua relatie intre tensiunile principale σ₁ si σ₂, care impreuna cu expresia (38) formeaza urmatorul sistem de ecuatii:

din rezolvarea caruia rezulta urmatoarele expresii pentru calculul valorilor individuale ale tensiunilor principale:

(86)

Aplicand aceasta metodologie de calcul, in figura (31) se prezinta curba de variatie a diferentei (σ₁ - σ₂) a tensiunilor principale si curbele de variatie ale tensiunilor principale σ₁ si σ₂ in lungul directiei Ox.

Fig. 30 Metoda diferentei tensiunilor tangentiale

Fig. 31 Curbele de variatie ale tensiunilor principale σ₁ si σ₂

3 Metode combinate de separare a tensiunilor

In practica s-au dezvoltat numeroase metode si tehnici experimentale care furnizeaza date suplimentare celor obtinute cu tehnica fotoelasticitatii necesare pentru rezolvarea completa a unor probleme de analiza starii de tensiune.

In cele ce urmeaza se prezinta pe scurt principiile de lucru care stau la baza utilizarii unor tehnici combinate de analiza, folosite frecvent in practica experimentala.

3.1 Metoda retelelor

Se bazeaza pe determinarea sumei tensiunilor principale intr-un punct de pe suprafata modelului. Este cunoscut ca suma deformatiilor specifice pe doua directii perpendiculare intr-un punct este proportionala cu suma tensiunilor normale corespunzatoare.

,

Iar aceasta suma este un invariant si prin urmare este egala cu suma tensiunilor principale:

Din legea tensiunii optice:

.

Combinand aceste relatii se obtine:

(87)

Pentru determinarea deformatiilor specifice ε_x si ε_y, se traseaza pe suprafata modelului o retea de patrulatere cu latura suficient de mica. Prin incarcare, modelul se deformeaza si odata cu acesta se deformeaza si reteaua. Folosind un sistem optic cu colimator se determina deplasarile pe orizontala si verticala in fiecare nod al retelei cu care apoi se calculeaza deformatiile specifice ε_x si ε_y. Cunoscand valorile ordinului de banda N in aceste noduri, se calculeaza valorile tensiunilor principale cu expresiile (87).

Eficienta acestei metode poate fi imbunatatita simtitor daca modelul pe care se traseaza reteaua este prelucrat dintr-un material cu modul de elasticitate redus.

3.2 Metoda extensometrului lateral

Dupa cum s-a aratat, starii plane de tensiune ii corespunde o stare spatiala de deformatie. Astfel prin incarcare, modelul fotoeastic isi modifica grosimea in diferite puncte. Deformatia specifica ε_z intr-un punct, pe directie perpendiculara la planul modelului, este proportionala cu suma tensiunilor principale din punctul respectiv:

(88)

Din legea tensiunii optice si din (88) rezulta urmatorul sistem de ecuatii:

,

,

din rezolvarea caruia se obtin urmatoarele expresii pentru calculul valorilor individuale ale tensiunilor principale:

Deformatia specifica ε_z in diferite puncte de pe suprafata modelului se determina cu un extensometru special de mare precizie. Pentru cresterea preciziei masuratorilor facute cu acest instrument se recomanda fixarea tensiunilor prin procedeul 'inghetarii' folosit in tehnica fotoelasticitatii pe modele spatiale. Masuratorile pentru determinarea deformatiilor specifice ε_z in punctele de interes se fac inainte de incarcarea modelului si dupa fixarea deformatiilor in model cu tehnica 'inghetarii'.

3.3 Metode numerice pentru determinarea sumei tensiunilor principale

Este cunoscut din Teoria elasticitatii, ca in cazul unei stari plane de tensiune, suma tensiunilor principale este o functie Φ, care depinde de coordonatele punctului:

.

In absenta fortelor masice functia de tensiune Φ este o functie armonica deoarece satisface ecuatia lui Laplace:

. (89)

Fig. 32 Suprafata discretizata

In cazul in care valorile functiei sunt cunoscute pe contur, ecuatia (89) admite o solutie unica si in acest caz functia Φ poate fi determinata in orice punct din interiorul domeniului. Considerand o retea ca in figura 32, a, ecuatia (89) scrisa cu ajutorul diferentelor finite se prezinta sub forma:

,

Daca Δx =Δy, rezulta:

(90)

Pentru nodurile aflate in vecinatatea conturului (fig. 32.b) pasul retelei variaza si expresia (90) se scrie sub forma:

(91)

unde coeficientii k₁, k₂, k₃ si k₄ sunt constante care depind de distanta de la nodul considerat la nodul vecin.

Pentru determinarea sumei tensiunilor principale, intr-un domeniu marginit de un contur avand forma modelului fotoelastic se traseaza o retea de linii ca in figura (32.b). Daca conturul este neincarcat, σ_2c =0, iar valoarea functiei pe contur este Φ_c = σ_1c. Se numeroteaza nodurile si se scrie pentru fiecare nod una din expresiile (90) sau (91). Rezulta astfel un sistem de ecuatii, din rezolvarea caruia se obtin valorile functiei Φ=σ₁+σ₂ in nodurile retelei. Determinand valoarea ordinului de banda in nodurile retelei trasate pe modelul fotoelastic, se obtine diferenta tensiunilor principale σ₁ - σ₂ = N.f_σ. Cu ajutorul celor doua familii de date se determina in final valorile individuale ale tensiunilor principale.

3.4 Metoda analogiei electrice

Metoda se bazeaza pe faptul ca in interiorul unui domeniu conductor, avand aplicate pe contur tensiuni electrice se poate defini intr-un punct o functie de potential V, care satisface ecuatia Laplace: . La fel ca si functia de tensiune Φ = σ₁ + σ₂, .

Rezulta ca functia de tensiune Φ dintr-un domeniu poate fi modelata prin functia de potential intr-un mediu conductor marginit de un contur identic.

In acest scop dintr-o foaie de hartie grafitata(r=3000-12000Ω/cm²) se decupeaza un domeniu avand acelasi contur ca si modelul fotoelastic.

Fig. 33 Metoda analogiei electrice

Pe portiunile de contur ale domeniului conductor se aplica tensiuni elactrice V_i proportionale cu tensiunilor principale σ₁ determinate prin fotoelasticitate pe conturul modelului (in cazul portiunilor de contur liber). Tensiunile aplicate in diferite puncte de pe contur se culeg de la un divizor de tensiune (fig. 33.a). Cu ajutorul unui potentiometru se realizeaza diferente de potential V_i = 1, 2, 3, . 10V, intre varful sondei si diferite puncte din domeniul conductor. Deplasand sonda pe suprafata hartiei conductoare se cauta punctele care au acelasi potential V_i (acul microampermetrului indica zero).

Succesiunea punctelor de pe suprafata hartiei care au acelasi potential V_i (diferenta de potential dintre sonda si hartie in aceste puncte fiind zero), determina o curba, numita curba echipotentiala (grad V=0). Deoarece functia de potential V, modeleaza functia de tensiune Φ, rezulta V_i = C.Φ_i, unde C este o constanta de proportionalitate.

Curbele de-a lungul carora suma tensiunilor principale este constanta, poarta numele de izopache. Rezulta deci ca trasand curbele echipotentiale se obtine campul de izopache de pe suprafata modelului.

Folosind montajul din figura (33.a) se determina echipotentialele de ordinul mV_o, unde m=1, 2,3, . n. Punand conditia ca V₀ = C.f_σ, potentialul intr-un punct din interiorul domeniului conductor va fi V_i = mV_o = CΦ_i.

Prin urmare C=V_o/f_σ, ceea ce conduce la:

Φ_i = σ = m.f_σ (a)

Expresia (a), impreuna cu legea tensiunii optice scrisa in acelasi punct formeaza un sistem de ecuatii:

din rezolvarea caruia rezulta expresiile pentru calculul valorilor individuale ale tensiunilor principale:

3.5 Metoda interferometriei holografice

Determinarile prin interferometrie holografica se fac pe un model identic cu modelul fotoelastic, prelucrat din plexiglas, folosind procedeul prin transparenta cu dubla expunere. In figura (34) se prezinta montajul cu care se realizeaza holograma. Placa fotografica este expusa celor doua fascicule(fasciculul de referinta si fasciculul model), pentru un interval scurt de timp (10 s), mai intai modelul fiind neincarcat si apoi cu modelul incarcat.

Fig. 34 Interferometrie holografica

Din interferenta celor doua fascicule de fiecare data se inregistreaza cate o holograma pe placa fotografica. Prin incarcare modelul se deformeaza suferind variatii extrem de mici ale grosimii in diferite puncte, cea ce face ca lungimea drumului optic in al doilea caz sa varieze foarte putin fata de primul. Ca urmare, cele doua imagini inregistrate interfera. Pentru reconstruirea, in vederea fotografierii hologramei, se foloseste numai fasciculul de referinta, celalalt fiind suprimat. Sunt reconstituite astfel undele inregistrate in cele doua cazuri(model neancarcat si model incarcat). Din interpretarea acestor unde, in planul difuzorului, pe imaginea modelului se formeaza o serie de franje intunecate. Se demonstreaza ca aceste franje reprezinta o succesiune de puncte intunecate in care suma tensiunilor principale este constanta si prin urmare acestea sunt franje izopache.

Pornind de la expresia intensitatii luminii distribuite in planul difuzorului, dupa o serie de calcule rezulta:

,

unde n este ordinul de banda, λ - lungimea de unda a luminii, h - grosimea modelului, iar C o constanta.

Folosind aceasta expresie impreuna cu legea tensiunii optice se pot deduce relatiile pentru calculul valorilor individuale ale tensiunilor principale:

,

.

Fig. 35 Campul de izopache inregistrat prin interferometrie holografica

In figura (35) se prezinta campul de izopache inregistrat prin interferometrie holografica, folosind montajul din figura (34), pentru platbanda cu gaura centrala solicitata la tractiune prin intermediul boltului [3]. In urma procesarii datelor furnizate de campul izocromatelor (fig. 29.b) si campul izopachelor (fig. 35), s-au trasat curbele de variatie ale tensiunilor principale pe directia Ox, prezentate cu linie intrerupta in figura (31).