SISTEME DE NUMERATIE. ELEMENTE DE LOGICA

SISTEME DE NUMERATIE. ELEMENTE DE LOGICA

1. Definitii. Sisteme de numeratie nepozitionale

Sistemul de numeratie roman este un sistem de numeratie nepozitional. Ex.Cifra 4-IV, cifra6-VI; cifra 10 - X.

  Sistemele de numeratie pozitionale 

Prin definitie, totalitatea simbolurilor grafice utilizate pentru scrierea numerelor reprezinta alfabetul sistemului de numeratie. Un sistem de numeratie pozitional in baza “r" are urmatoarele caracteristici:

Utilizeaza un alfabet cu r simboluri diferite intre ele numite cifre, cu valori consecutive; aceeasi cifra asezata in pozitii diferite ale unei secvente, poate avea valori diferite;

Cifra 0 are cea mai mica valoare cand este asezata singura;

Cifra cu valoarea cea mai mare cand este asezata singura, adica valoarea cu o unitate mai mica decat baza sistemului, deci in cazul de fata r-1;

In functie de pozitia lor in numar, cifrele se inmultesc cu puteri crescatoare ale bazei r. obtinandu-se dezvoltarea numarului dupa puterile bazei:

N_r = a_na_n-1-a₂a₁a₀ = a_n .rⁿ +a_n-1 .r^n-1 + -+ a₂ .r² + a₁ .r¹ +a₀ . r⁰ (1)

Sistemul de numeratie zecimal

 Alfabetul sistemului zecimal, cel mai cunoscut si utilizat in prezent este format din zece cifre : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Aceste cifre sunt prin definitie numere consecutive, astfel 7 = 6 + 1. Un numar in baza 10 conform relatiei (1) poate fi scris ca o suma de puteri ale lui 10:

1998 = 1 . 10³ + 9 . 10² + 9 . 10¹ + 8 (2)

Sistemul de numeratie binar

Sistemul de numeratie binar, cel mai simplu posibil inventat acum 500 de ani in China si cel mai utilizat in reprezentarea codificata a numerelor in calculatoare, are urmatoarele caracteristici:

Baza de numeratie a sistemului este 2 si contine numai doua simboluri, cifrele: 0 si 1;

Cifra cu valoarea cea mai mare este 1.

Un numar scris in baza 2, poate fi dezvoltat dupa puterile bazei astfel:

N₂ = a_na_n-1-a₂a₁a₀ = a_n .2ⁿ +a_n-1 .2^n-1 + -+ a₂ .2² + a₁ .2¹ +a₀ . 2⁰ (3)

In continuare sunt prezentate cateva numere scrise in baza 2:

1001_2, 101010₂ , 11100010_.2 . Ultimul numar poate fi dezvoltat dupa puterile lui 2 astfel:

Sistemul de numeratie octal

Utilizat in reprezentarea codificata a numerelor in calculatoare este si sistemul de numeratie octal, intrucat il include pe cel binar. Are urmatoarele caracteristici:

Baza de numeratie a sistemului este 8 si contine opt cifre: de la 0 la 7;

Cifra cu valoarea ce mai mare este 7. .

Un numar scris in baza 8, poate fi dezvoltat dupa puterile bazei astfel:

N₈ = a_na_n-1-a₂a₁a₀ = a_n .8ⁿ +a_n-1 .8^n-1 + -+ a₂ .8² + a₁ .8¹ +a₀ . 8⁰ (5)

 In continuare sunt prezentate cateva numere scrise in baza 8:

1067_8, 705043₈ , 65703021₈ . Ultimul numar poate fi dezvoltat dupa puterile lui 8 astfel:

Sistemul de numeratie hexazecimal

 Utilizat cel mai mult in ultima vreme in reprezentarea codificata a numerelor in calculatoare este sistemul de numeratie hexazecimal, intrucat le include pe cele binar si octal. Are urmatoarele caracteristici:

Baza de numeratie a sistemului este 16 si contine 16 cifre: de la 0 la 9 si in plus literele consecutive A, B , C, D, E si F;

Simbolul cu valoarea cea mai mare este F si are valoarea 15..

Un numar scris in baza 16, poate fi dezvoltat dupa puterile bazei astfel:

N₁₆ = a_na_n-1-a₂a₁a₀ = a_n .16ⁿ +a_n-1 .16^n-1 + -+ a₂ .16² + a₁ .16¹ +a₀ . 16⁰

In continuare sunt prezentate cateva numere scrise in baza 16:

1A6F_16, B05093₁₆ , 6CD03089₁₆ . Ultimul numar poate fi dezvoltat dupa puterile lui 16 astfel:

6CD03089₁₆ = 6 . 16⁷ + C . 16⁶ + D . 16⁵ + 3 . 16³ + 8 . 16¹ + 9 (8)

Exista algoritmi de transformare a numerelor dintr-un sistem de numeratie in altul. In tabelul 1 sunt prezentate conversiile catorva numere in sistemele zecimal, binar, octal si hexazecimal. Tabelul 1.

3. Functiile logice

Matematicianul englez George BOOLE a reusit sa faca o legatura intre formulele algebrice si relatiile logice. Pornind de la principiul ca o propozitie poate fi adevarata sau falsa, BOOLE atribuie valoarea 1 propozitiilor adevarate si respectiv 0 propozitiilor false, elaborand algebra booleana.

Notand propozitiile cu a, b c, etc se pot construi functiile logice:

Disjunctia (operatie logica tradusa prin SAU) a doua propozitii, notata cu

Conjunctia (operatie logica tradusa prin si) a doua propozitii, notata cu n

Negatia unei propozitii notata cu X

In cazul a doua propozitii a si b se pot obtine tabele de adevar, pentru disjuntie, conjunctie si negatie asa cum rezulta din Tabelul 2

 Algebra booleana este utilizata in aplicatiile din automatica, teoria circuitelor si releelor electronice si deci la realizarea calculatoarelor.

Alaturi de logica booleana, au aparut mai nou logicile polivalente printre care logica trivalenta cu valorile de adevarat, fals si posibil si logica fuzzi care admite domenii de trecere “gri", fiind apropiata de logica de gandire obisnuita din industrie, economie, etc.

. Algoritmi, scheme logice de calcul

Solutionarea unei probleme presupune:

Analiza problemei, adica formularea corecta si determinarea unei metode de rezolvare a ei, stabilirea algoritmilor de calcul, reprezentarea grafica sub forma de schema logica sau organigrama;

Programarea, adica reprezentarea schemei logice in limbajul de programare adecvat rezolvarii problemei cu ajutorul calculatorului;

Implementarea, adica aplicarea in practica a solutiei.

Algoritmii sunt de obicei alesi in cadrul fazei de analiza a problemei ce trebuie rezolvata. Astfel daca se da problema (sau clasa de probleme) si mijloacele de calcul de care se dispune (performantele calculatorului ce va fi utilizat), prin algoritm se intelege [10], o metoda de solutionare a problemei, metoda reprezentata intr-un limbaj sau / si schema mnemonica, adecvate mijloacelor de calcul disponibile, caracterizata prin generalitate (se aplica cu minime modificari la problemele in clasa respectiva), finalitate (solutia problemei este furnizata dupa un numar finit de operatii) si realizabilitatea

(adica sunt folosite mijloacele de calcul disponibile).

In cazul elaborarii unor algoritmi sunt folosite o serie de structuri si functii logice printre care:

Structura alternativa IF- THEN - ELSE ( DACA - ATUNCI - ALTFEL) care se efectueaza astfel: IF - daca este indeplinita conditia a, THEN , atunci se executa actiunea x, ELSE, altfel se executa actiunea y;

Structura repetitiva WHILE - DO (ATATA TIMP CAT - EXECUTA), se efectueaza dupa cum urmeaza: WHILE, atata timp cat expresia logica a este indeplinita, se executa actiunea x.

Reprezentarea grafica, pe o schema logica sau organigrama, a algoritmilor de calcul , a functiilor booleene, a functiilor arborescente si de ciluri, duce la o intelegere mai buna a modului de solutionare, decat daca s-ar exprima in cuvinte.

Schema logica este o reprezentare grafica a proceselor de rezolvare a problemei care foloseste diferite figuri geometrice (paralelogram, dreptunghi, romb, cerc, etc) avand o anumita semnificatie, denumite blocuri, unite prin sageti si / sau conectori care arata modul in care aceste figuri se inlantuiesc si conventii de parcurgere a schemei. Se enumera cateva tipuri de blocuri: bloc de start, bloc de intrare-iesire (paralelogram), bloc de calcul sau prelucrare (dreptunghi), bloc de decizie (romb).