Bimedianele unui tetraedru

Bimedianele unui tetraedru

Definitie:

Segmentul care uneste mijloacele a doua muchii opuse ale unui tetraedru se numeste bimediana. Un tetraedru are trei bimediane.

Teorema 23

Bimedianele unui tetraedru sunt concurente in centrul de greutate, care este mijlocul fiecarei bimediane.

Demonstratie

Fie M si M' mijloacele muchiilor [BC],[DA] si E mijlocul lui AG_D. In triunghiul [DAM] se duce mediana DG_D a tetraedrului si dreapta EM'. Segmentul [EM'] este linie mijlocie in ∆ADG_D. In ∆ MM'E, (G_DD) este linie mijlocie, deci taie MM' in mijlocul ei G. Punctul G este chiar centrul de greutate al tetraedrului, deoarece 2 EM'=DG_D si 2 G_DG =EM', deci 4 G_DG =DG_D.Analog se arata ca G se afla si pe celelalte bimediane.

Consecinta

Cele trei paralelograme ce au in varfuri mijloacele muchiilor tetraedrului [ABCD] admit pe G drept centru de simetrie.

Observatie: Din teoremele 19 si 23 rezulta ca bimedianele si medianele unui tetraedru sunt concurente in G, centrul de greutate, care imparte fiecare mediana in raportul , etc. si fiecare bimediana in jumatate.

Teorema 24: (Punctul lui Monge al tetraedrului)

Planele duse din mijlocul cate unei muchii perpendiculare respectiv pe muchiile opuse sunt concurente intr-un punct simetric cu centrul sferei circumscrise in raport cu centrul de greutate.

Demonstratie:

Fie L si L' mijloacele muchiilor (AB) si (CD).

Bimediana LL' trece prin G si GL=GL'.

Planul care trece prin punctul L este perpendicular

pe muchia (AB) a tetredrului care trece prin O,

centrul sferei circumscrise tetraedrului.

Deci planul care trece prin L' si este , de asemenea,

perpendicular pe (AB) contine punctul M al dreptei OG,

caracterizat prin OG=GM. in baza acestui rationament, punctul M se afla si in celelalte plane care trec fiecare prin mijlocul uneia dintre muchiile tetraedrului si sunt perpendiculare pe muchia opusa.

Definitie

Se numeste anticentru al tetraedrului simetricul centrului sferei circumscrise fata de centrul de greutate al tetraedrului.

Teorema 25

Fie K anticentrul tetraedrului [ABCD], N mijlocul lui (CD). Atunci: KN AB.

Demonstratie:

Fie M mijlocul segmentului [AB].

Deoarece OG = KG si GM = GN

patrulaterul MKNO este paralelogram

deci KN // MO. Dar O este centrul

sferei circumscrise, deci OM AB. Rezulta KH AB.

Dreapta determinata de punctele G si O se numeste

dreapta lui Euler a unui tetraedru oarecare.

Teorema 26 (a lui Menelaus):

Patru puncte L,M,N,P ce apartin muchiilor [AB],[BC],[CD],[DA] ale tetraedrului [ABCD] sunt coplanare daca este indeplinita relatia: (1)

Demonstratie:

Daca PL si MN sunt paralele cu BD,

relatia (1) se verifica din teorema lui Thales

aplicata in triunghiurile [ABD] si [BCD].

Daca LP si MN nu sunt paralele cu BD,

fie F punctul lor de intersectie(care este situat pe BD).

Se aplica teorema lui Menelaus pentru ∆ ABD si ∆ BDC

pentru transversalele L,P,F, respectiv M,N,F si se obtine

, . Inmultinand cele doua relatii se obtine relatia (1):

.

Reciproc, fie L,M,N,P puncte ce apartin muchiilor tetraedrului astfel incat este indeplinita relatia (1). Se arata ca M,L,N,P sunt coplanare. Fie planul determinat de L,M,P, plan ce intersecteaza CD in N'. Exista relatia:

Folosind relatia (1) se obtine ca: , deci N=N', deoarece punctele N si N' sunt simultan in interiorul sau in exteriorul segmentului [DC].

Teorema 27 (Sfera lui Euler):

Intr-un tetraedru [ABCD] centrele de greutate ale fetelor, punctele care impart segmentele ce unesc anticentrul cu varfurile in raportul ˝ si proiectiile acestor puncte pe fata opusa sunt doisprezece puncte cosferice.

Demonstratie

Fie O centrul sferei circumscrise,

G centrul de greutate,

K anticentrul tetraedrului [ABCD].

Fie K₁ I (KA) astfel incat

, P₁ proiectia lui K₁ pe fata (BCD),

G ₁ centrul de greutate al acestei fete

Fie Z I (KG) astfel incat KZ=2ZG. Se arata ca ZK₁=ZG₁=ZP₁=R/3. Ceea ce constituie rezolvarea problemei. Din triunghiul [AKG], folosind reciproca teoremei lui Menelaus, se obtine ca punctele K₁,Z,G sunt coliniare.

Intr-adevar : .In ∆ G₁AK₁ pentru transversala G,Z,K se obtine:

, deci sau ZK₁=ZG₁.Cum triunghiul [K₁P₁G₁] este dreptunghic in P1, rezulta :

K₁Z = ZP₁ = ZG₁. Din KG = GO si KZ = 2GZ se obtine : . Rezulta ca

∆ KK₁Z ~ ∆ KAO cu raportul de asemanare 1/3, deci K₁ Z = R/3 . Deci prin centrele de greutate ale fetelor G­_i , prin punctele K_i si prin proiectiile lor pe fetele opuse , trece o sfera de raza R/3 (R=raza sferei circumscrise tetraedrului ).

Teorema 28 ( de omologie in spatiu )

Se considera doua tetraedre cu proprietatea ca varfurile sunt pe drepte concurente .Atunci dreptele de intersectie a fetelor opuse sunt coplanare.

Demonstratie

Fie [ABCD] si [A'B'C'D'] cele doua tetraedre astfel incat:AA' ∩ BB' ∩ CC' ∩ DD'=.

Se noteaza AD∩A'D'=, AB∩A'B'=, BC∩B'C'=, BD∩B'D'=, AC∩A'C'=, CD∩C'D'=. Se demonstreaza ca : , deci conform teoremei lui Menelaus, punctele L,M,N,P vor fi coplanare.

In ∆ ABT pentru transversala A'B'L rezulta :

.

In ∆ BCT pentru transversala

B'C'M are loc:

.

In ∆ CDT pentru transversala

C'D'N avem :

.

In ∆ DAT pentru transversala D'A'P :

.

Inmultind cele patru relatii se obtine: , deci L,M,N,P sunt coplanare.

Analog se arata ca L,M,N,P₁ si L,M,N,P₂ sunt coplanare. Planul respectiv se numeste plan de omologie al celor doua tetraedre.