TRANSFORMATA WAVELET

TRANSFORMATA WAVELET

Pentru identificarea parametrilor modelelor liniare sunt puse la punct o serie de metode generale pentru una sau mai multe grade de libertate. Pentru modelele neliniare metodele sunt valabile in general pentru situatii particulare sau pentru clase restrinse de sisteme. Ca si la sistemele liniare aceste metode sunt in legatura cu metodele de prelucrare a semnalelor. Exista o serie de lucrari in care au fost abordate probleme de identificare a parametrilor bazate pe pe transformata wavelet cu aplicatii la sisteme vibrante liniare si neliniare [1-10

Transformata wavelet a unui semnal x(t), este o tranformare continua two la o functie de doua variabile, definita:

(1)

unde: *-simbolizeaza complex conjugata, iar Y este o functie numita basic wavelet si reprezinta in principiu o functie de transfer a unui sistem. Functia basic wavelet se construieste dintr-o functie de baza Ψ prin:

    (2)

unde atat x(t) cit si (t) trebuie sa fie de patrat sumabil

Transformarea aceasta este inversabila, in sensul ca:

unde este o constanta de normare, definita:

care este dependenta de functia me baza care se utilizeaza. Aici reprezinta transformata Fourier a functiei definita:

    (3)

Exista o serie de functii de baza, o parte din ele fiind prezentate in tabelul urmator:

In tabel mIN,     reprezinta ordinul transformarii, iar H_m este functia Hermite de ordinul m [11].

Vom calcula analitic transformata wavelet pentru raspunsul liber al unui sistem cu amortizare vascoasa, avind amplitudine A, pseudopulsatie w si factor de amortizare c:

,    (4)

utilizand functia de baza Morlet, definita mai sus. Rezulta dupa calcule :

unde erf(z) este functia de eroare [11].

Pentru aplicatii practice se utilizeaza modulul transformatei (5), adica:

(6)

unde si reprezinta partea reala si imaginara a functiei de eroare:

,

exprimate in serii continind functia hipergeometrica de tip ₁F₁( a; b ;z) in variabila reala [11].

Functia de eroare are proprietatile:

    (8)

unde: .

Daca se considera ca raspunsul liber are forma mai simpla:

transformata wavelet va avea forma :

(9)

a carei modul la patrat este:

(10)

Valoarea extrema , este data de:

avand ca avind ca localizare frecventele:

rezultand ca in domeniul pozitiv (u>0) se situeaza doar a solutie.

In domenil timp acest extrem () corespunde la:

Rezulta ca in principiu se pot identifica parametrii oscilatiei amortizate (w,c) din localizarea maximumului modulului transformatei wavelet.E simplu de determinat (w,c) pentru doua transformari realizate pentru doua valori diferite ale parametrului w , pentru care vor rezulta doua pozitii diferite ale maximului modulului:

(11)

ecuatiile (11) permitind determinarea completa a parametrilor (w,c)

Ar fi interesant de aplicatcalculul pentru alte functii de baza, din tabela de mai sus.

Calcul analitic este facut in lucrarea [12].

REFERINTE

1. Minh-Nghi Ta, Joseph Lardiès, Identification of weak nonlinearities on damping and stiffness by the continuous wavelet transform, Journal of Sound and Vibration 293 (2006) 16-37.
2. J. Slavič, I. Simonovski, M. Boltezar, Damping identification using a continuous wavelet transform: application to real data, Journal of Sound and Vibration,
3. Joseph Lardies, Stèphane Gouttebroze, Identification of modal parameters using the wavelet transform, International Journal of Mechanical Sciences 44 (2002) 2263-2283.
4. MQ Feng, JM Kim, H Xue, Identification of a dynamic system using ambient vibration measurements. Journal of Applied Mechanics; 65 (1998) 1010.
5. L Fasana, L Garibaldi, E Giorcelli, S. Marchesiollo, A road bridge dynamic response analysis by wavelet and other estimation techniques, In: Third International Conference on Acoustical and Surveillance Methods, Senlis, 1998. p. 1-9.
6. Roger Ghanem Francesco Romeo A wavelet-based approach for model and parameter identification of non-linear systems, International Journal of Non-Linear Mechanics 36 (2001) 835-859
7. Kaiping Yu, Jiyuan Ye, Jingxiang Zou, Bingyuan Yang, Hua Yang, Missile flutter experiment and data analysis using wavelet transform, J. of sound and vibration 269 (2004) 899-912.
8. W.J. Staszewski, J.E. Chance, Identification of nonlinear systems using wavelets -experimental study, IMAC97, 1012-1016
9. T. Le, P. Argoul, Continuous wavelet transform for modal identification using free decay response, J. of sound and vibration 277 (2004) 73-100.
10. Mansour Nikkhah, Arman Hajati, Nonlinear systems modal identification using continuous wavelet transform First International Operational Modal Analysis Confernce, Copenhagen, Denmark
11. Handbook of Mathematical Functions, Eds. M. Abramowits and I. A. Stegun, Nat. Bur. Standards, Washngton, 1964; Tables of Integral Transforms, Edited by Staff of the Bateman Manuscript Project: A. Erdely, W. Magnus, F. Oberhettiger, F. Tricomi, Vol. 2, McGraw Hill, N.Y., 1954, ch. 13.
12. Ü. Lepik, Application of wavelet transform techniques to vibration studies, Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math., 50, 3, (2001) 155-168