FUNCTIILE TRIGONOMETRICE ALE UNEI SUME SI ALE UNEI DIFERENTE DE UNGHIURI

FUNCTIILE TRIGONOMETRICE ALE UNEI SUME SI ALE UNEI DIFERENTE DE UNGHIURI

TEOREMA 1

Pentru oricare numere reale a, b are loc egalitatea :

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b (1)

Demonstratie

Functiile sin si cos sunt functii periodice de perioada principala . De aceea este suficient sa aratam ca relatia (1) este adevarata pentru , iar din paritatea functiei cosinus putem considera a ≥ b.

Pentru a = b relatia (1) se scrie cos 0 = cos² a + sin² a si este relatie adevarata.

Fie a > b si punctele M, N, P situate pe cercul trigonometric astfel incat M(cos a, sin a), N(cos b, sin b) si P(cos (a - b), sin (a - b))

Rezulta ca MN = AP. Folosind formula distantei obtinem : MN² = (cos b - cos a)² + (sin b - sin a)² = cos² b + cos² a + sin² b + sin² a - 2 cos a cos b - 2 sin a sin b = 2 - 2(cos a cos b + sin a sin b) (2)

Analog se obtine ca AP² = [1 - cos(a - b)] ² + sin² (a - b) = 2 - 2 cos(a - b) (3).

Din relatiile (2) si (3) rezulta, dupa reduceri:

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

CONSECINTA 1

Pentru oricare au loc relatiile:

a)

b) .

Demonstratie

a) In relatia (1) luam si b = x.

Obtinen .

b) In relatia de la punctul a) inlocuim x cu si obtinem ca :

.

CONSECINTA 2

Au loc relatiile :

a)

b) .

TEOREMA 2

Pentru oricare x, y R au loc egalitatile :

a)     cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y ;

b)     sin (x + y) = sin x cos y + sin y cos x

c)     sin (x - y) = sin x cos y - sin y cos x

1. FORMULE FUNDAMENTALE

1.1. FUNCTII TRIGONOMETRICE ALE SUMEI SI DIFERENTEI DE UNGHIURI

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

sin (a + b + c) = sin a cos b cos c + sin b cos a cos c + sin c cos a cos b -

sin a sin b sin c

cos (a + b + c) = cos a cos b cos c - sin a sin b cos - sin a sin c cos b -

sin b sin c cos a

11.

12.

1.2 FUNCTIILE TRIGONOMETRICE ALE UNGHIULUI DUBLU SI ALE UNGHIULUI TRIPLU

13. sin 2a = 2 sin a cos a

14. cos 2a = cos² a - sin² a

1

16.

17. sin 3a = 3 sin a - 4 sin³ a

18. cos 3a = 4 cos³ a - 3 cos a

19.

20.

21. sin 4a = 4 sin a cos a - 8 sin³ a cos a

22. cos 4a = 8 cos a - 8 cos² a + 1

23. sin 5a = 5 sin a - 20 sin³ a + 16 sin a

24. cos 5a = 16 cos a - 20 cos³ a + 5 cos a

2

26.

1.3. FORMULE PENTRU TRANSFORMAREA UNOR SUME SI DIFERENTE DE FUNCTII TRIGONOMETRICE IN PRODUS

27.

28.

29.

30.

1.4. FORMULE PENTRU TRANSFORMAREA UNOR PRODUSE DE FUNCTII TRIGONOMETRICE IN SUME

31.

32.

33.

34.