CONICE - Clasificarea conicelor cu centru, Reducerea la forma canonica a conicelor fara centru

CONICE - Clasificarea conicelor cu centru, Reducerea la forma canonica a conicelor fara centru

1. Clasificarea conicelor cu centru

2. Exemple

3. Reducerea la forma canonica a conicelor fara centru (d = 0)

4. Exemple

1. Clasificarea conicelor cu centru

Fie ecuatia canonica a conicei:

(1)

Avem urmatoarele cazuri:

1) Daca d > 0, conica este o elipsa. Intr-adevar, deoarece d l₁ l₂ , numerele l₁ si l₂ au acelasi semn intrucat d l₁ l₂ > 0 . Mai mult, daca:

i) D 0 conica este fie o elipsa (reala), fie o elipsa imaginara.

ii) D = 0 conica este o elipsa degenerata intr-un punct (numai punctul X = 0, Y = 0 verifica (1)).

2) Daca d > 0, conica este o hiperbola, deoarece in acest caz numerele l₁ si l₂ au semne diferite intrucat d l₁ l₂ < 0. Mai mult, daca:

iii) D 0 conica este o hiperbola.

iv) D = 0 α²X² b²Y² = 0, α b I , deci conica este o hiperbola degenerata in doua drepte ce trec prin originea axelor de coordonate, asimptotele hiperbolei.

2. Exemple

1) Sa se reduca la forma canonica si sa se reprezinte grafic conica:

2x² – 6xy + 10y² – 8x + 12y + 2 = 0.

I. Invariantii

I = 12, > 0 (conica este elipsa)

II. Centrul conicei  C(x₀, y₀). Coordonatele acestuia se afla din:

sau

T .

Avem d = 11 T

y₀ = 0,

deci C(2, 0).

Avem .

(f(x₀, y₀) se obtine din linia a 3-a a lui D T

T D d · f(x₀, y₀) = –11 · 6 = –66 0 T elipsa este nedegenerata.

Intrucat I · D < 0, elipsa este reala.

III. Translatia:

IV. Rotatia

Ecuatia caracteristica:

l² – Il d = 0, adica:

l² – 12l + 11 = 0

T l₁ = 11, l₂ = 1 sau l₁ = 1, l₂ = 11.

Dar T l₁ l₂ < 0 T l₁ = 1 si l₂ = 11.

Avem

T

In formulele de rotatie:

avem de calculat sinθ si cosθ.

Calculul se face fie cu formulele:si,considerad

fie din triunghiul dreptunghic:

in care cunoastem catetele (din) si aflam:

.

Formulele de rotatie devin:

V. Forma canonica este:

l₁X² l₂Y² = 0,

deci 1 · X² + 11Y² – 6 = 0 | : 6 T

Avem semiaxele:

a² = 6   T

T

Rototranslatia este data de:

VI. Axele conicei (CX, CY) au respectiv ecuațiile:

(CX): y – y₀ = tgq(x – x₀)

(CY): y – y₀ =

T

VII. Intersectia cu axele Ox, Oy

y = 0 si obtinem:

2x² – 8x + 2 = 0 T x² – 4x + 1 = 0 T

Obtinem deci punctele de intersecție:

x = 0 si obtinem:

10y² + 12y + 2 = 0T5y² + 6y + 1 = 0 T

y₁ = –1

si obtinem punctele de intersecție:

D(0, –1),                     

2) Sa se reduca la forma canonica si sa se reprezinte grafic conica.

6xy + 8y² – 12x – 26y  + 11 = 0

I. Invariantii

I = 8,    < 0 (conica este o hiperbola)

II. Centrul conicei  C(x₀, y₀)

T

T C(–1, 2)

f(x', y') = 6x'y' + 8y'² – 9 = 0 (hiperbola este nedegenerata)

III. Rotatia

Ecuatia caracteristica:

l² – Il + δ = 0, adica:

l² – 8l – 9 = 0, deci

l_1,2 = 9, –1

T l₁ l₂ > 0 T l₁ = 9 si l₂ = –1.

Avem

T

Calculam .

IV. Rototranslatia:

V. Axele conicei (CX, CY)

(X): y – 2 = tgq(x + 1)

y – 2 = 3(x + 1)

(Y): y – 2 =

VI. Forma canonica

9X² – 1Y² – 9 = 0 | : 9

T

Semiaxele sunt:

a² = 1   T a = 1,

b² = 9   T b = 3.

y = 0 T

–12x² + 11 = 0 T

si obținem punctul de intersecție:   

x = 0 T

8y² – 26y + 11 = 0 T D = 26² – 4 · 8 · 11 = 4(13² – 88) = 4 · 81

y₁ =

si obținem punctele de intersecție:

3. Reducerea la forma canonica a conicelor fara centru

Definitia 1. Fie conica de ecuație f(x) = 0, fara centru, (d = 0) data de relatia (1), Cursul 11, paragraful 1. Conica este redusa la forma canonica daca exista un reper cartezian in care conica are forma:

l₁Y² l₂X = 0 cu l₁ l₂ I .

Teorema 1. (reducerea la forma canonica a conicelor fara centru).

Exista o schimbare de coordonate in plan in care conica are forma canonica:

Aceasta ecuatie defineste fie o parabola, fie o pereche de drepte (parabola degenerata).

Demonstratie: Fie forma patratica , definita prin:

f(x, y) = a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y².

Fie rotatia de unghi q in jurul originii, in urma careia forma patratica ia forma:

unde l₁ si l₂ sunt radacinile ecuatiei caracteristice:

l² – Il d = 0. (3)

Formulele de schimbarea a coordonatelor sunt:

Intrucat d l₁l₂ = 0 T l₁ = 0 sau l₂ = 0.

Fie de exemplu, l₁ = 0 si l₂ = I (vezi relatia (3)).

Ținand seama de formulele de schimbare a coordonatelor in ecuatia conicei, obtinem:

(4)

unde:

(5)

Intrucat

l₁ = 0 T tgq =                 (6)

si rang A = 2 T (daca T a₁₁a₂₃ = a₁₂a₁₃ T rang A = 1).

In aceste conditii (4) se rescrie:

(7)

cu .

Consideram translatia:

Ecuatia conicei devine:

(8)

Din relatia (6) obtinem:

.

Avem, de asemenea:

Intrucat d = 0 T a₁₁a₂₂ = , avem:

–a₁₁D = (a₁₁a₂₃ – a₁₂a₁₃)² T

T .

In aceste conditii (8) devine:

ceea ce reprezinta forma canonica a conicei fara centru.

Daca , ecuatia (4) devine:

care reprezinta fie doua drepte paralele, fie doua drepte confundate sau nu definesc nici o figura geometrica in plan.

Deci daca , (adica D = 0), ecuatia (4) defineste o parabola degenerata.

4. Exemple

3) Sa se reduca la forma canonica si sa se reprezinte grafic conica:

4x² – 4xy + y² – 2x – 14y + 7 = 0.

I. Invariantii

I = 5,    (conica este o parabola)

II. Rotatia

Ecuatiile caracteristice:

T

T

III. Translatia

Avem varful: V(x₀, y₀),

axa: ,

adica 4(8x – 4y – 2) – 2(–4x + 2y – 14) = 0 T

40x – 20y – 20 = 0 T

2x – y – 1 = 0.

IV. Intersectia axei cu parabola T varful parabolei V(x₀, y₀)

Introducem ecuația axei: y = 2x + 1 in ecuația parabolei si obținem:

4x² – 4x(2x + 1) + (2x + 1)² – 2x – 14(2x + 1) + 7 = 0 T

–30x – 6 = 0.

Obtinem deci coordonatele varfului:

y₀ = 2 · x₀ + 1 ,

deci .

V. Rototranslatia:

VI. Forma canonica:

y² = 2px

cu   T

VII. Intersectia cu axele:

y = 0 T

4x² – 2x + 7 = 0 T nu intersecteaza axa Ox.

x = 0 T

y² – 14y + 7 = 0 T D = 14² – 4 · 7 = 4(49 – 7) = 42

y₁ =

Axa (Y) are ecuația: ,

iar ecuatia canonica a parabolei devine pentru p > 0        

4) Sa se reduca la forma canonica si sa se reprezinte grafic conica:

(x + 3y)² + 2x + 6y – 3 = 0

I = 10,              (conica este o parabola)

Ecuația se mai scrie : (x + 3y)² + 2(x + 3y) – 3 = 0.

Notam t = x + 3y si obtinem:

t² + 2t – 3 = 0 T

T

t₁ = –3, t₂ = 1.

Deci (t – 1)(t + 3) = 0, adica

(x + 3y – 1)(x + 3y + 3) = 0

ceea ce reprezinta o parabola degenerata in doua drepte confundate.