FUNCTII TRIGONOMETRICE DEFINITE PE INTERVALUL [0, 2 ]

FUNCTII TRIGONOMETRICE DEFINITE PE INTERVALUL [0, 2]

1. Functiile sinus si cosinus

Fie reperul cartezian xOy, cu i, j vectori ai axelor Ox, Oy si C cercul trigonometric.

Pe cercul trigonometric C consideram punctul M (x, y). Vectorul de pozitie al punctului M este r = OM = xi + yj. Descompunand vectorul r dupa directiile axelor de coordonate, obtinem r = OP + OQ (figura 1).

Daca AM = t , din triunghiul drept unghi OPM, obtinem ca OP = cos t si OQ = sin t.

Figura 1

Asadar, r = i . cos t + j . sin t si M (cos t, sin t) (1)

Relatia (1) permite generalizarea sinusului si cosinusului unui unghi cu masura .

v    DEFINITIE

Fie si punctul M pe cercul trigonometric astfel incat m(AM)=t si

r = OM = r_x . i + r_y . j. Prin definitie, cos t = r_x si sin t = r_y.

Deoarece cercul trigonometric are raza R = 1 se observa ca pentru au loc inegalitatile - 1 ≤ cos t ≤ 1 si - 1 ≤ sin t ≤ 1.

Functiile , g(t) = sin t si , h(t) = cos t, reprezinta functiile trigonometrice sinus si cosinus definite pe primul cerc trigonometric.

Fie astfel incat . Deoarece un punct M de pe cercul trigonometric este extremitate pentru toate arcele orientate cu originea in A si cum asura de forma , Z, functiile sinus si cosinus pot fi extinse la multimea R.

Astfel, daca tR, iar MC, cu proprietatea ca un arc orientat AM are masura t, prin definitie cos t si sin t reprezinta coordonatele vectorului de pozitie r = OM in reperul cartezian (O, i, j).

Asadar, r = i cos t + j sin t M(cos t, sin t), tR

Se observa ca functia de acoperire universala a cercului se poate exprima astfel : f : R C, f(t) = M (cos t, sin t).

PROPOZITIA 1

Functiile cosinus si sinus sunt functii periodice cu perioada T = 2π.

PROPOZITIA 2

Functiile sin : R [-1, 1] si cos : R [-1, 1] au perioada principala T₀ = 2π.

FUNCTIILE TANGENTA SI COTAGENTA

Fie ABC un triunghi dreptunghic cu ipotenuza BC si .

Este cunoscut faptul ca :

si (1)

Dar, si si astfel, relatiile (1) se scriu sub forma si .

Aceste relatii sugereaza extinderea functiilor trigonometrice tg si ctg la multimile de forma , respectiv .

Dar .

Prin definitie :

PROPOZITIA 3

Functiile si sunt functii periodice.