CALCUL INTEGRAL

Calcul integral

Functii primitivabile

Definitie, proprietati, tabel de primitive

Definitie: O functie f : I→ R (Iinterval) se numeste primitivabila daca exista

F : I→R derivabila astfel incat F se numeste primitiva a functiei f si vom nota cu

=F+c

F- multimea tuturor primitivelor functiei f.

Observatie: Avem =F+C, unde cu C am notat multimea functiilor constante definite pe I cu valori reale.

Teorema: (Liniaritatea operatorului de primitivare)

Daca f,g: I →R sunt primitivabile si atunci f+g si sunt primitivabile si in plus:

Teorema: Daca f : I→ R este continua atunci f este primitivabila.

2.Daca f : I→ R este primitivabila atunci f are proprietatea lui Darboux.

Tabel de primitive:

1.

2.

In particular

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Observatie: La scrierea acestor formule nu am precizat cine este intervalul Ipe care sunt valabile. Astfel la formula (1) daca:

a > -1atunci I;

a ≤ 1 a atunci I^*;

a ≤ -1 a R -Z atunci I(0,).

Formulele (5) si (7) sunt valabile pentru I

Formulele (6) si (8) au loc pentru I

Formula (9) este valabila pentru I

Formula (11) este valabila pentru I) sau I.

Formula (13) este valabila pentru I.

Formula de integrare prin parti

Teorema: Daca f,g:I →R sunt derivabile cu derivate continue atunci:

Observatie: Aceasta formula poate fi aplicata cu succes in mai multe situatii. Precizam doua dintre cele mai des intalnite.

I. este e^x, sin x, cos x si g este e^x, sinx,cos x sau o functie polinomiala.

Exemplu:

1) 2)

Solutie:

1.

Atunci 2.

g(x)=cos x

I=sin x cos x+x -I+c

II. este o functie polinomiala si g (x)=ln^kx, kN^*

Exemple:

1) 2)

Solutie:

1.

Formula schimbarii de variabila

Teorema: (Prima formula de schimbare de variabila)

Fie I,JR intervale. Daca f:J →R este primitivabila si este derivabila atunci (fadmite pe I primitiva F, unde f este o primitiva oarecare a functiei f, adica:

Exemplu:

1. 2.

Solutie:

Facem substitutia x²=t de unde 2xdx=dt

Atunci

2. Facem    substitutia x²-1=t de unde 2xdx=dt adica . Atunci:

Teorema (Formula de schimbare de variabila)

Fie I, JR intervale. Daca fR admite primitive, este bijectiva, derivabila, cu derivata nenula pe I atunci f admite pe I primitiva Gunde G este o primitiva pentru (iar este inversa functiei . Deci:

Exemplu

Aceasta integrala poate fi rezolvata in doua moduri:

Cu ajutorul integrarii prin parti

Facand substitutia x=sht, unde shtsinus hiperbolic deci dx=cht. Avem

(1)

Din x = sht de unde t = ln(x+)

Si inlocuind in (1) obtinem

Calculul prin recurenta a unor integrale

Pentru exemplificare vom considera:

I n, a

Observam ca:

Dorim sa gasim o relatie de recurenta adica o formula care exprima I_n(x) in functie de I_n-1(x). Utilizand aceasta relatie de recurenta din I₁(x) vom putea deduce valoarea lui I₂(x), din I₂(x) va rezulta I₃(x) si asa mai departe.

Pentru n≥2 vom avea:

I_n(x)=

Vom face schimbarea de variabila x²+a²=t. Atunci 2xdx=dt.

Revenind obtinem

f(x)=

g(x)=x

I_n(x)=

Primitivele functiilor rationale

I. Mai intai se scrie functia rationala sub forma unei sume in care pot interveni un polinom si functii rationale de forma:

(1)

(2)

Cum vom face acest lucru?

Reamintim ca o functie rationala f este catul a doua functii polinomiale P si Q, adica f(x)=. Daca grad P≥grad Q vom putea efectua impartirea si vom obtine:

P(x)=Q(x)C(x)+R(x) in care catul C(x) este polinom iar restul R(x) este tot un polinom cu grad R<grad Q. Aici functia rationala f se va scrie

In cazul in care grad P< grad Q vom scrie unde R(x)=P(x)

Pentru a scrie acum ca o suma de fractii de forma (1) si (2), vom proceda in felul urmator:

Daca polinomul Q are radacina reala "a" avand ordinul de multiplicitate k in descompunerea lui vom avea termenii

Daca polinomul Q are radacinile complexe avand ordinul de multiplicitate m atunci in descompunerea lui vom avea fractiile:

unde b=-2 , c=x²+ ². In final se vor determina constantele A₁,A₂,.B₁,B₂,..,C₁,C_2,

II. Acum ca functia rationala este scrisa ca suma dintre un polinom si functii rationale de forma (1) si (2) pentru a calcula primitiva unei functii rationale va trebui sa stim sa calculam primitivele functiilor polinomiale (ceea ce este clar daca utilizam liniaritatea operatorului de primitivare si prima formula din tabelul de primitive) si primitivele functiilor rationale de forma (1) si forma (2).

Vom avea:

Apoi

Cum b²-4c<0 vom avea si vom putea nota

Vom face schimbarea de variabila . Atunci dx=dt. Revenind avem:

Prima integrala se va calcula cu schimbarea de variabila t²+k²=u iar a doua prin recurenta.

Exemple:

Numitorul se descompune in factori ireductibili

x⁴-10x²+9=(x²-1)(x²-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)

Deci putem descompune fractia in franctii simple astfel:

(1)

Inmultind relatia (1) cu x-1 obtinandu-se

dupa care trecem la limita cand x→1 si gasim A=1

Procedand la fel obtinem B=2; C=3; D=4.

Descompunerea in functii rationale simple este

integrand obtinem:

Primitivele unor functii irationale

Vom nota in continuare cu R o functie rationala ce poate fi de mai multe variabile.

I.      Primitivarea functiei:

se reduce la primitivarea unei functii rationale facand schimbare de variabila

unde n=c.m.m.m.c

Mai notam ca si

Exemplu:

Facem substitutia x=t⁶ deci dx=6t⁵dt.

Avem:

unde

Deci

I. Daca vom proceda asemanator utilizand schimbarea de variabila.

unde n=c.m.m.m.c.

Exemplu:

Facem substitutia

Deci

Atunci:

Descompunem fractia in fractii simple si notam si obtinem

II.           R(x,) Vom calcula . Avem cazurile:

(A) atunci pentru ca radicalul sa aiba sens va rezulta a>0 si atunci

(B) , caz in care a>0. Vom face schimbarea de variabila

(C) Primitivele se cauta pe un interval pe care radicalul este definit si pe care nu se anuleaza numitorul fractiei. Cum

si am redus problema la cazul II, deci facem substitutia

Exemplu:

2)

3), x>4

Solutie: Cum , vom scrie unde este semnul lui x. Atunci

2) Vom face schimbarea de variabile

Dar

Deci

de unde

Daca facem in ultimele doua integrale schimbarea de variabila 2t-1=u(2dt=du) obtinem

deci

In final avem

3) si facem schimbarea de variabila

x

Atunci

=

Primitivele functiilor trigonometrice

Notam cu R(u,v) o functie rationala in variabile u si v. Pentru functia f(x)=R(sinx,

cosx) se face substitutia tg=t si problema revine la calculul primitivei unei functii rationale. Sa mai notam ca

sin x=

Sa precizam ca se aplica formula a II-a de schimbare de variabila acest lucru este

posibil pe un interval pe care functia este bijectiva. Prin urmare aceasta metoda se aplica pe intervale de forma

.

Exemplu

Solutie :

Daca dorim o primitiva pe R calculam saltul acestei "primitive" in punctele de forma (2k+1)π:

Vom avea:

Observatie: Calculul primitivei poate fi simplificat in urmatoarele cazuri:

1. Daca R(-u,v)=-R(u,v) vom face substitutia cos x=t
2. Daca R(u,-v)=-R(u,v) vom face substitutia sin x=t
3. Daca R(-u,-v)=-R(u,v) vom face substitutia tg x=t

Exemplu

1)

2)

Solutie:

R(u,v)=u³v²; R(-u,v)=(-u)³v²=- u³v²=-R(u,v)

Prin urmare facem substitutia cos x=t

R(u,v)= R(-u,-v)=

Vom face substitutia    tg x=t t dx=

dx=

t=At+A+B

=-

=-