Definirea si reprezentarea suprafetelor: poliedrale, cilindro-conice

Definirea si reprezentarea suprafetelor: a) poliedrale, b) cilindro-conice. Reguli de vizibilitate.

1.Definirea si reprezentarea suprafetelor: generalitati

Din punct de vedere matematic, o suprafata reprezinta o multime de puncte ale caror coordonate carteziene satisfac o relatie de tipul F(x, y, z) = 0.

Piesele care compun orice agregat, instalatie precum si toate obiectele care ne inconjoara au forme exterioare si interioare care rezulta prin compunerea suprafetelor de baza. Suprafetele cele mai des utilizate in tehnica si in special in domeniul constructiilor de masini sunt:

a) suprafetele poliedrale (dintre care prisma si piramida sunt cele mai cunoscute);

b) suprafetele cilindro-conice (cilindrul, conul);

c) suprafetele de rotatie (sfera, elipsoidul, paraboloidul, hiperboloidul).

a) Definirea si reprezentarea suprafetelor poliedrale

Un poliedru este regulat daca fetele sale sunt poligoane regulate si unghiurile pe care acestea le formeaza sunt egale. Cele mai cunoscute poliedre regulate sunt tetraedrul si hexaedrul (cubul).

Fig. 1

In figura 1 este reprezentat spatial si in epura un tetraedru regulat cu triunghiul bazei MNP cuprins in [H], inscris intr-un cerc de centru C(50, 30, 0) cu raza 25 mm. Pozitia tetraedrului regulat este astfel aleasa incat fata MPQ constituie un plan de capat, muchia NQ este o dreapta frontala iar inaltimea QC este o dreapta verticala. Astfel toate dimensiunile corpului rezulta in mod direct din reprezentare. Cubul de varfuri 12345678 are fata 1584 cuprinsa in planul lateral.

Din categoria poliedrelor neregulate fac parte prisma si piramida. O prisma este compusa din suprafata laterala si cele doua baze. Suprafata laterala este generata de o dreapta care se deplaseaza pe

Fig. 2

un contur director, ramanand paralela cu ea insasi, astfel incat muchiile fetelor laterale rezulta paralele intre ele. Conturul director poate fi deschis sau inchis (poligonal). Denumirea generala a unei astfel de suprafete este cea de suprafata riglata.

In figura 2 triunghiul dreptunghic 2-1-3 cuprins in [H], cu latura 1-3 paralela cu (OX) si latura 1-2 perpendiculara pe (OX) constituie poligon director pentru dreapta verticala (D ) si pentru dreapta oarecare (D ), generand astfel doua suprafete riglate care reprezinta suprafetele laterale a doua prisme.

Bazele prismei rezulta din intersectia suprafetei laterale cu doua plane paralele, situate la o distanta care reprezinta inaltimea prismei. Aceste plane pot fi normale la muchii (in cazul prismei drepte) sau nu (prisma oblica). In figura.2 prisma oblica (1-2-3-4-5-6) se caracterizeaza prin coordonatele varfurilor: 1(10, 10, 0), 2(10, 30, 0), 3(40,10, 0), 4(40, 30, 40), inaltimea ei fiind aceeasi cu cea a prismei drepte (1-2-3-A-B-C), deoarece bazele lor superioare apartin aceluiasi plan de nivel [N], de cota z = 40 mm.

Piramida este poliedrul ale carui (n-1) fete se intersecteaza intr-un punct (varful piramidei). Suprafata laterala a piramidei este generata de o dreapta care, pastrandu-si un punct fix (varful piramidei) se deplaseaza pe un poligon director. Baza piramidei rezulta din intersectia unui plan cu suprafata laterala. O piramida este regulata daca baza ei este un poligon regulat si varful piramidei se proiecteaza in centrul acestuia. Trunchiul de prisma (sau de piramida) se obtine prin sectionarea acesteia cu un plan paralel sau nu cu baza.

Fig. 3

In figura 3 este exemplificata construirea a doua piramide care au ambele drept baza un patrat de latura L=20 mm cuprins in planul [H]. Piramida VABCD are suprafata laterala generata de dreapta (D ) care trece prin V si este o piramida regulata deoarece varful ei se proiecteaza in centrul bazei. Piramida SMNPQ are suprafata laterala generata de dreapta (D ) care trece prin S si se caracterizeaza prin cele doua fete SMQ si SQP care sunt plane verticale.

Reprezentarea in epura a poliedrelor se bazeaza pe reprezentarea segmentelor de dreapta care constituie muchiile lor, tinand cont de vizibilitatea acestora.

Reguli de vizibilitate pentru reprezentarea suprafetelor

Regulile de vizibilitate aplicabile reprezentarii diferitelor tipuri de suprafete sunt urmatoarele:

Fig. 4

In figura 4 este reprezentata o piramida triunghiulara oblica cu baza in planul orizontal, pentru care coordonatele varfurilor sunt: A (30, 10, 0), B (45, 30, 0), C (20, 40, 0), V (5, 30, 35). Aplicarea regulilor de vizibilitate conduce la concluziile prezentate mai jos.

a) In proiectia pe planul orizontal vizibilitatea muchiilor (AC) si (BV) se determina cu ajutorul regulilor 3 si 1 astfel: - pentru ca cele doua muchii au un punct aparent de concurenta (1≡2) va fi vizibila acea muchie care contine punctul vizibil (1I si 2 I);

- dintre punctele 1 si 2 din spatiu este vizibil in plan orizontal punctul 1 pentru ca are cota mai mare decat punctul 2 (z ₁ > z ₂);

- muchia vizibila este deoarece contine punctul 1 care este vizibil (si decieste invizibila).

b) In proiectia pe planul vertical invizibilitatea muchiei se deduce pe baza observatiei ca proiectia verticala (v'b'c') a fetei (VBC) corespunde conturului aparent al piramidei si fiind singura vizibila, celelalte fete (VAB) si (VAC) sunt invizibile, deci si muchia rezultata prin intersectia lor este invizibila in plan vertical.

c) In proiectia pe planul lateral vizibilitatea muchiei se deduce aplicand regula 1 si observand ca orice punct al acestei muchii este vizibil deoarece are abscisa superioara oricaror alte puncte ale suprafetei laterale.

b) Definirea si reprezentarea suprafetelor cilindro-conice

Fig. 5

Prin sectionarea unei suprafete cilindrice cu doua plane paralele rezulta corpul geometric numit cilindru, compus din suprafata laterala si cele doua baze si a carui inaltime este data de distanta dintre cele doua plane. Cele mai des utilizate corpuri sunt cilindrul circular drept si cilindrul circular oblic. Cilindrii circulari au bazele cercuri, generatoarea fiind normala la planul bazei (in cazul cilindrului drept) si respectiv inclinata fata de baza (in cazul cilindrului oblic).

Reprezentarea unui cilindru circular presupune trasarea generatoarelor sale de contur aparent pe cele trei proiectii si stabilirea vizibilitatii lor. In figura 5 pentru cilindrul circular oblic se reprezinta in proiectia orizontala generatoarele de contur aparent (5-6) si (7-8) tangente la cele doua cercuri ale bazelor care sunt evident vizibile. In plan vertical proiectiile generatoarelor de contur aparent (1'-2') si (3'-4') sunt segmente paralele cu axa (a'b') care trec prin 1' si 3' (extremitatile proiectiei verticale a diametrului bazei ).

Vizibilitatea in plan orizontal: generatoarea 1-2 este invizibila deoarece apartine panzei (semi- cilindrului) invizibile (7-1-5) in proiectie orizontala.

Vizibilitatea in plan vertical: generatoarea 7'-8' este invizibila deoarece apartine panzei (semi- cilindrului) invizibile (3-7-1) in proiectia verticala.

In cazul cilindrului circular drept acesta are baza in planul vertical deci axa si generatoarele sale sunt drepte de capat. Generatoarele 1 si 2 sunt generatoare de contur aparent in plan orizontal. Pentru ca un observator ce priveste spre planul orizontal nu vede semi - cilindrul 2-3-1, generatoarea 3 este invizibila.

Fig. 6a Fig. 6b Fig. 6c

In figura 6a sunt prezentate elementele definitorii ale unei suprafete conice: dreapta (D): genera-toarea suprafetei; curba spatiala (G): curba directoare; curba plana (G ): curba de baza in planul [P]; punctul fix al generatoarei, notat cu V este varful celor doua panze ale suprafetei conice notate (C ₁ ) si (C ₂ ). Proiectia pe un plan a unei suprafete conice este caracterizata de curba de baza (G ), proiectia varfului suprafetei, v si proiectiile generatoarelor semnificative ale suprafetei. Ele sunt dreptele care unesc proiectia varfului cu punctul de pe curba de baza in care generatoarea intersecteaza planul de baza, de exemplu (vA₁). Distanta de la varful suprafetei la planul curbei de baza reprezinta inaltimea suprafetei (Vv).

Dupa forma curbei de baza suprafetele conice pot fi deschise sau inchise iar dintre cele inchise mai des utilizate sunt suprafetele conice circulare (curba de baza este un cerc), suprafetele eliptice (curba de baza este o elipsa).

In figura 6b este reprezentat un con circular oblic cu baza un cerc situat in planul [H], cu centrul B(65, 23, 0) si raza 20 mm si varful S(104, 32, 43). In figura 6c este reprezentat un con circular drept cu baza un cerc de centru A(23, 0, 20) si raza 15 mm situat in planul [V] si varful V (23, 35, 20). Primul con este oblic deoarece axa sa (SB) nu este normala la planul bazei.

Observatii

1. O suprafata conica este o suprafata riglata (pentru ca are drept generatoare o dreapta).

2. O suprafata conica circulara dreapta este o suprafata de rotatie.

Reprezentarea unui con presupune construirea generatoarelor de contur aparent in cele trei proiectii si stabilirea vizibilitatii lor. In figura 6b generatoarele de contur aparent in proiectie orizontala sunt (S3) si (S4) deoarece au proiectiile tangente la cercul de baza. In plan vertical proiectia (s'4') nu este vizibila deoarece apartine panzei invizibile a conului (2-4-1) iar (s'3') este vizibila. In plan vertical generatoarele de contur aparent sunt (S1) si (S2). In proiectia orizontala generatoarea (s1) este invizibila deoarece apartine panzei invizibile pentru un observator care priveste catre planul orizontal.

CAPITOLUL 3

Intersectia suprafetelor

a) Intersectia a doua plane

Planul este cea mai simpla si suprafata cea mai des utilizata in tehnica . Fetele plane ale diferitelor obiecte se intersecteaza, generand astfel muchiile acestora. In figura 7 toate muchiile obiectului sunt segmente simplu sau dublu particulare (mai putin 7-8), dar prin intersectia corpului (sectionarea sa ) cu un plan oarecare unele se transforma in segmente de dreapta oarecare.

Rezultatul intersectiei a doua plane este o dreapta. Pentru a o determina sunt necesare doua puncte care sa apartina simultan celor doua plane. Cea mai simpla modalitate de rezolvare a problemei este determinarea urmelor dreptei de intersectie (cu conditia ca planele sa fie definite prin urme).

Fig. 7

In figura 8 este reprezentata spatial si in epura determinarea dreptei D(d,d',d''), (D) [P] ∩ [N] (rezultatul intersectiei planelor [P] si [N]). Dreapta (D) este o orizontala pentru ca apartine planului [N] care este un plan de nivel, toate dreptele pe care le contine planul de nivel fiind orizontale. Dreapta (D) este definita prin urmele sale:

- urma verticala V(v, v', v'') ce rezulta din intersectia urmelor N_V si P_V ale planelor: V s v' (N_V ) ∩ (P_V );

- urma laterala W(w, w', w'') ce rezulta din intersectia urmelor N_W si P_W ale planelor: W s w'' (N_W )∩ (P_W );

Proiectia orizontala a dreptei se obtine unind proiectiile orizontale ale urmelor: (d) h U w. Proiectiile verticala (d') si laterala (d'') se suprapun urmelor planului [N] (pentru ca dreapta (D) apartine planului).

Fig. 8

APLICATIE REZOLVATA

Fie planul oarecare [P] (P_H , P_V , P_W) si planul de capat [Q] (Q_H, Q_V ,Q_W ) reprezentate in figura 9. Sa se determine proiectiile dreptei lor de intersectie (D) [P] ∩ [Q].

Fig. 9

REZOLVARE

Analizand reprezentarea planelor se observa ca toate urmele de acelasi nume se intersecteaza dar cel mai comod este sa se foloseasca doar intersectia urmelor orizontale si a celor verticale. Astfel:

- prin intersectia (P_h ) si (Q_h ) rezulta h - proiectia orizontala a urmei orizontale H a dreptei (D);

- proiectiile h' si h'' apartin axelor (OX) si respectiv (Oy') pentru ca H este un punct in planul orizontal;

- prin intersectia (P_V ) si (Q_V ) rezulta v' - proiectia verticala a urmei verticale V a dreptei (D);

- proiectiile v si v'' se gasesc pe axele (OX) si respectiv (OZ) pentru ca V este un punct in planul vertical.

Proiectiile dreptei rezulta prin unirea proiectiilor de acelasi nume ale urmelor: (d) h U v; (d') h' U v'; (d'') h'' U v''.

b) Sectionarea suprafetelor cu plane simplu si dublu particulare

Rezolvarea problemelor de sectionare a suprafetelor cu plane simplu si dublu particulare este im-portanta deoarece:

in tehnica sectionarea suprafetelor permite construirea formelor pieselor corespunzator necesitatilor;

in desenul tehnic formele interioare ale pieselor se evidentiaza cu ajutorul sectiunilor realizate cu plane simplu si dublu particulare;

in proiectarea asistata de calculator reprezentarile 2D ale pieselor / ansamblelor se obtin prin sectio-narea modelelor 3D ale acestora. Programele respective genereaza sectiuni plane utilizand definirea planului de sectiune prin trei puncte sau prin urma sa sau cu ajutorul unei entitati din acel plan.

Sectionarea unei suprafete cu un plan este o operatie de intersectie intre multimea punctelor care constituie suprafata respectiva si multimea punctelor planului, rezultatul fiind o entitate plana (o dreapta, o curba, un poligon, un cerc, o elipsa etc.) ale carei puncte apartin concomitent planului de sectiune si supra-fetei. Rezolvarea unei probleme de intersectie dintre o suprafata si un plan consta in determinarea unui numar de puncte comune ale celor doua multimi, care sunt suficiente pentru a defini complet entitatea rezultanta. Aceste puncte semnificative rezulta din intersectia cu planul a:

1) muchiilor poliedrului (in cazul sectionarii suprafetelor poliedrale);

2) unora dintre generatoare (in cazul sectionarii suprafetelor cilindro-conice);

3) unor curbe particulare ale suprafetei (in cazul sectionarii suprafetelor de rotatie).

i) Intersectarea suprafetelor poliedrale cu plane simplu si dublu particulare

Rezultatul intersectiei dintre o suprafata poliedrala si un plan este un poligon ale carui laturi sunt dreptele de intersectie dintre fetele poliedrului si planul dat. Asa cum s-a aratat mai sus, daca se determina punctele de intersectie dintre doua muchii ce definesc o fata si planul de sectionare, atunci dreapta de intersectie dintre fata respectiva a poliedrului si plan rezulta prin unirea celor doua puncte, acestea fiind doua dintre varfurile poligonului de sectiune. Deci rezolvarea unei probleme de intersectie dintre o suprafata poliedrala si un plan consta in rezolvarea problemelor de intersectie dintre muchiile poliedrului si plan. In cazul planelor simplu si dublu particulare aceasta rezolvare este foarte simpla (datorita proprietatii de plan proiectant a acestor plane).

APLICATIE REZOLVATA

Fie piramida regulata dreapta MNPQ cu baza un triunghi echilateral MNP situat in planul orizontal si definit prin varfurile M(10, 10, 0), N(55, 10, 0), P(x_P, y_P, 0) ce satisface conditia y_P > y_M (departarea varfului P este mai mare decat departarea varfului M). Inaltimea piramidei este de 53 mm. Sa se reprezinte corpul rest (trunchiul de piramida) care rezulta din sectionarea piramidei cu planul definit de punctele A(20, 5, 40), B(20, 55, 40), C(60, 15, 15).

REZOLVARE

Fig. 10a Fig. 10b

In figura 10a sunt reprezentate piramida MNPQ si placa (ABC) iar in figura 10b este reprezentat corpul rest.

Pozitia bazei este astfel aleasa incat muchia (MN) este un segment fronto-orizontal iar muchiile (NP) si (MP) sunt segmente orizontale; muchiile (MQ) si (NQ) sunt segmente de dreapta oarecare iar muchia (PQ) este un segment de dreapta de profil. Fetele (MPQ) si (NPQ) apartin unor plane oarecare dar fata (MNQ) este un plan paralel cu axa (OX).

Placa (ABC) defineste un plan de capat deoarece proiectiile verticale a', b', c' sunt coliniare si astfel ele definesc urma verticala a planului.

Rezultatul intersectiei piramidei cu planul de capat este un triunghi cu varfurile notate 1-2-3. Varfurile poligonului de sectiune apartin muchiilor piramidei iar laturile sale sunt segmente ce apartin fetelor piramidei.

Rationamentul care permite gasirea varfurilor poligonului de intersectie este urmatorul:

- pentru ca planul de sectionare este un plan de capat, varfurile poligonului de intersectie cautat trebuie sa aiba proiectiile verticale pe urma verticala a planului (deoarece sunt puncte ala planului);

- pentru ca varfurile poligonului de intersectie cautat apartin si muchiilor piramidei, rezulta ca punctele de concurenta dintre urma verticala a planului de capat si proiectiile verticale ale muchiilor sunt proiectiile verticale ale varfurilor poligonului cautat, rezultand astfel punctele notate 1', 2' si 3';

- proiectiile orizontale 1 si 2 trebuie sa apartina proiectiilor orizontale ale muchiilor (MQ) si (NQ), adica segmentelor (mq) si respectiv (nq), rezultand la intersectia acestora cu liniile de ordine verticale din 1' si 2';

- proiectiile laterale 1'' si 2'' se obtin in mod obisnuit (ele trebuind sa rezulte pe proiectiile (m''q'') si (n''q'');

- pentru ca proiectia orizontala a varfului 3 nu se poate obtine direct, se determina mai intai proiectia laterala 3'' ce apartine proiectiei laterala (p''q'') si apoi se determina proiectia ei orizontala 3.

Poligonul 1-2-3 rezultat prin sectionare are laturile vizibile in toate cele trei proiectii daca se analizeaza corpul rest (fig. 10b)..

ii) Intersectarea suprafetelor cilindro-conice cu plane simplu si dublu particulare

1. Suprafete cilindrice

Rezultatul intersectiei dintre o suprafata cilindrica (circulara sau eliptica, dreapta sau oblica) si un plan depinde de orientarea planului in raport cu axa cilindrului. Astfel:

daca planul este paralel cu axa cilindrului rezultatul intersectiei este un patrulater (paralelogram sau dreptunghi) care are doua laturi opuse reprezentand generatoare ale cilindrului si celelalte doua laturi rezultate din intersectia planului cu bazele;

daca planul este concurent cu axa cilindrului, rezultatul intersectiei este o elipsa (sau o elipsa degenerata sub forma de cerc).

Deoarece cazul cel mai frecvent in tehnica este cel al sectionarii suprafetei cilindrice cu un plan concurent cu axa, in continuare se prezinta si se exemplifica algoritmul de determinare grafica a elipsei de sectiune. Etapele de rezolvare sunt:

i) determinarea unei axe a elipsei; ii) determinarea centrului elipsei (ca mijloc al axei deja gasite);

iii) identificarea celei de-a doua axe (dreapta perpendiculara pe prima axa si coplanara cu ea);

iv) gasirea pe suprafata cilindrica a punctelor care reprezinta extremitatile celei de-a doua axe a elipsei.

In cazul intersectiei dintre cilindri si plane simplu sau dublu particulare gasirea elipsei de sectiune este deosebit de usoara deoarece axele ei sunt drepte simplu si dublu particulare.

APLICATIE REZOLVATA

Fie cilindrul circular drept fronto-orizontal de centru C(5, 30, 30), raza 20 mm si inaltime 38 mm. Sa se reprezinte corpul rest rezultat dupa sectionarea cilindrului cu planul placii ABDE si indepartarea partii de cilindru cuprinsa intre plan si planul lateral. Se dau: A(10, 5, 55), B(30, 55, 55), D(30, 55, 5), E(10, 5, 5).

Prin sectionarea cilindrului cu planul placii (concurent cu axa cilindrului) rezulta elipsa 1-2-3-4 ce se proiecteaza deformat pe cele trei plane de proiectie. In figura 11a este prezentata rezolvarea in epura iar figura 11b prezinta corpul rest.

REZOLVARE

Punctele caracteristice ale elipsei (1, 2, 3, 4) rezulta din intersectia generatoarelor de contur aparent ale cilindrului cu planul vertical al placii. Generatoarele de contur aparent ale cilindrului au fost notate cu a b g si d si sunt segmente fronto-orizontale.

i) In proiectia orizontala urma planului vertical al placii intersecteaza generatoarele a si g care se confunda cu axa, rezultand astfel proiectiile confundate ale punctelor 1 si 3 ce definesc una dintre axele elipsei. In spatiu segmentul (1-3) este o dreapta verticala, astfel ca adevarata marime a axei (1-3) se poate masura pe proiectia verticala (1'-3') si este evident ca ea este egala cu diametrul cilindrului (40 mm).

ii) Centrul elipsei O (o, o', o'') este situat pe axa cilindrului (deoarece O reprezinta mijlocul segmentului (1-3) care este un diametru al cilindrului).

Fig. 11a Fig. 11b

iii) Cea de-a doua axa a elipsei este segmentul (2-4) rezultat din intersectia generatoarelor b si d cu planul placii. Acest segment este intr-adevar a doua axa a elipsei deoarece trece prin O si este perpendicular pe (1-3). Perpendicularitatea axelor (1-3) si (2-4) este justificata prin faptul ca (1-3) este o verticala si (2-4) o orizontala. Datorita faptului ca este un segment orizontal adevarata marime a axei (2-4) se masoara pe proiectia sa orizontala.

Vizibilitatea in raport cu planul vertical: arcul elipsei 1'-4'-3' nu este vizibil deoarece punctele sale apartin panzei invizibile a cilindrului.

Vizibilitatea in raport cu planul orizontal: elipsa este complet deformata ca un segment de dreapta si nu se poate analiza vizibilitatea acestuia.

Vizibilitatea in raport cu planul lateral: elipsa este deformata ca un cerc ce coincide cu baza cilindrului si este total invizibila.

2) Suprafete conice

Rezultatul sectionarii unei suprafete conice de rotatie cu un plan depinde de pozitia planului in raport cu generatoarele conului. Sunt posibile situatiile prezentate in tabelul urmator:

Fig. 12 Fig. 13

Cazul cel mai des intalnit este cel al sectiunii cu un plan care intersecteaza toate generatoarele. Etapele de rezolvare sunt aceleasi ca in cazul cilindrului intersectat de un plan.

APLICATIE REZOLVATA

Sa se reprezinte corpul rest rezultat din sectionarea unui con circular drept cu un plan fronto-orizontal si indepartarea portiunii ce contine varful conului. Se cunosc urmatoarele date:

- conul are cercul de baza de centru A(25, 5, 25) si diametru d = 40 mm, cuprins intr-un plan de front iar inaltimea lui este segmentul de capat (VA) de lungime 45 mm;

- planul [P] [W] are P_Z (0, 0, 50) si formeaza un unghi de 50 cu [V].

Fig. 14 a Fig. 14 b

REZOLVARE

Planul [P] intersecteaza toate generatoarele conului si deci rezultatul intersectiei este o elipsa, ale carei puncte semnificative (extremitatile axelor) s-au notat cu a b g d in figura 14a. In figura 14b este reprezentat corpul rest.

i) Punctele a si b rezulta din intersectia planului {P] cu generatoarele 1 si 2. Proiectiile lor a si b se obtin direct in proiectia laterala si apoi se determina proiectiile orizontale a b si cele verticale a b Segmentul (ab) este un segment de profil si deci adevarata marime a axei elipsei se determina masurand distanta dintre punctele a si b

ii) Centrul elipsei O(o, o' o'') este reprezentat de mijlocul segmentului (ab

iii) Cea de-a doua axa a elipsei (gd este un segment fronto-orizontal (pentru ca apartine planului [P] si este perpendiculara pe segmentul de profil care constituie axa (ab)). Atunci proiectiile laterale g'' si d sunt confundate cu o''.

iiii) Pentru a determina proiectiile verticale g si d se procedeaza astfel:

- segmentul (gd fiind un segment fronto-orizontal apartine unui plan de front [F] a carui urma laterala F_W este paralela cu (OZ) si se traseaza prin g s d

- din intersectia conului cu planul de front (deci perpendicular pe axa conului, [F] (VA)) rezulta un cerc de raza r care contine si punctele g si d Cunoscand raza r se reprezinta cercul in proiectia verticala;

- proiectiile verticale g' si d' rezulta la intersectia acestui cerc cu linia de ordine din g s d iar proiectiile orizontale se determina in mod obisnuit.

Pentru ca (gd) este un segment fronto-orizontal, adevarata marime a segmentului se masoara fie pe proiectia sa orizontala, fie pe proiectia sa verticala.

Elipsa de sectiune se proiecteaza deformat pe planele orizontal si vertical iar in planul lateral se reduce la un segment.

Vizibilitatea in plan vertical: toate punctele elipsei sunt vizibile.

Vizibilitatea in plan orizontal: sunt invizibile punctele apartinand panzei invizibile a conului.

Vizibilitatea in plan lateral: nu este semnificativa.

BIBLIOGRAFIE

1. VRACA I. DESEN INDUSTRIAL Editura Tehnica Bucuresti 1984 (Cap. 7 Reprezentarea, sectionarea si intersectarea corpurilor geometrice uzuale pag. 70 - 75)

2. VASILESCU E. si colectiv DESEN TEHNIC INDUSTRIAL (Elemente de proiectare) Editura Tehnica 1994 Cap. 2 Generarea si reprezentarea suprafetelor tehnice pag. 26 - 35)