SPATII DUALE. TENSORI - BAZE BIORTOGONALE. SPATII DUALE. TRANSFORMARI DE BAZE SI DE COORDONATE IN SPATII DUALE

SPATII DUALE. TENSORI

BAZE BIORTOGONALE. SPATII DUALE.

TRANSFORMARI DE BAZE SI DE COORDONATE IN SPATII DUALE

1. Functii biliniare definite in doua spatii

Fie R sidoua spatii afine cu acelasi numar de dimensuni(n-dimensionale), peste acelasi corp C. Asa cum s-a aratat si in capitolul IV,6, se definescin aceste spatii functiile scalare biliniare, astfel ca daca x € R si f €, functiile A(x,f), care se vor nota acum prin A(x,f)=(f,x) € C, indeplinesc urmatoarele axiome:

Aceste functii seamana cu produsul scalar definit in capitolul IV, dar aici cele doua argumente sunt in spatii diferite.

Observatia1: Pe baza axiomei intodusa in definitia acestor functii biliniare, se poate afirma ca forma biliniara este de rangul n, caci spatiile nule al ei sunt zero dimensionale. Prin analogie cu produsul scalar obisnuit vectorii f €si x € R pentru care (f,x)=0 se vor numi vectori ortogonali.

2. Existenta bazelor biortogonale

Se considera o baza oarecare in R si o baza oarecare din . Atragem atentia ca vectorii din ii notam cu indici scrisi sus, iar coordonatele acestor vectori le vor nota cu indici scrisi jos. Un vector se scrie

iar un vector este de forma

Pe baza axiomelor avem

(1)

si functia biliniara (f,x) depinde de valorile scalare care se atribuie expresiilor

Notam si observam ca matricea este matricea formei biliniare, in perechea de baze alese. Notam de asemenea

(2)

si in baza axiomei si observatiei 1.

Teorema1: Fiind data o functie biliniara (f,x) intr-o pereche de baze, in R si , se poate determina o noua baza intr-unul dintre spatiile R,- fie in R- astfel ca vectorii noii perechi de baze sa satisfaca conditiile

(3)

In adevar, fie schimbarea de baza in R definita de

(4)

in care coeficientii trebuie determinati astfel ca sa satisfaca conditiile (3).Pentru un i fixat, servindu-ne de (4) si axiomele conditiile (3), se scriu astfel:

(3’)

Determinantul sistemului (3’) este deci (3’) are o solutie unica data de regula lui Cramer; facand succesiv i=1,2,,n, sistemul (3’) determina coeficientii ai schimbarii de baza (4). Am stabilit astfel ca oricarei baze ii corespunde in R o baza unica cu proprietatea (3),

(5)

La fel se demonstreaza ca oricarei baze din R ii corespunde o baza unica , cu proprietatea

Corespondenta (5) este biunivoca, caci daca bazei i-ar corespunde in baza cu proprietatea

(3’’)

atunci,scazand relatiile (3), (3’’), am obtine relatia

pentru i=1,2,,n,

deci si pentru orice x, de unde, pe baza axiomei , avem

Biunivocitatea corespondentei (5) ne indreptateste sa numim o pereche de baze corespunzatoare, baze biortogonale. Se mai observa ca perechile de spatii R si joaca roluri simetrice.

Daca sunt baze biortogonale, iar sunt vectori in R,, atunci functia biliniara are expresia

(6)

Se observa analogia dintre expresia (6) si expresia produsului scalar intr-o baza ortogonala a unui spatiu euclidian; de aceea vom numi functia (f,x) produs scalar generalizat.

3. Spatii duale

In perechea de spatii R si , in care este definit un produs scalar generalizat (f,x), poate fi privit ca spatiul dual al spatiului R,adica spatiul formelor liniare din R.In adear, daca se pune,prin definitie:

(f,x)=f(x), (7)

cand fixam pe f, aceasta expresie este o functie liniara (forma liniara) de x in R, conform axiomelor si deci oricarui vector f din ii corespunde o functie liniara in R. La doi vectori diferiti corespund doua forme liniare diferite, caci

si daca am avea (oricare este x),atunci

pentru orice x, de unde (axioma )

contrar ipotezei.

Invers, fiind data o forma liniara in R, t(x), exista in un vector t, unic determinat, astfel ca

(t,x)=t(x). (8)

In adevar, fiind data o pereche de baze in R si si

vom determina vectorul prin conditiile

(9)

adica, explicit, avem

sau

(9’)

Vectorul t este unic determinat din sistemul (9’) prin regula lui Cramer. Astfel am demonsttrat ca corespondenta dintre formele liniare definite in R si elementele din este biunivoca. Aceasta corespondenta este chiar un izomorfim, caci daca

atunci, conform axiomei, avem

sau

adica sumei a doi vectori din ii corespunde suma functiilor liniare corespunzatoare.

Apoi conform axiomei , sau

adica produsului dintre un scalar si un vector din ii corespunde produsul dintre acel scalar si functia liniara corespunzatoare vectorului.

Din cauza simetriei rolului celor doua spatii R si, in definitia functiei dualul spatiului este spatiul R.

4. Transformari de baze si transformari de coordonate in R si

Fie din nou doua baze biortogonale din R si, deci determinate prin conditiile ( fiind simbolul lui Kronecker).Consideram o schimbare de baza in R, reprezentata prin

de matrice (10)

Fie baza biortogonala bazei . Intre exista o transformare liniara de matrice M, astfel ca

, de matrice (11)

Vom determina matricea M in functie de matricea L.

Avem relatia

care, din cauza biortogonalitatii ambelor perechi de baze, ne da

(12)

Scrise explicit, pentru h,k=1,2,,n, relatiile (12) devin

Dar

deci relatia precedenta este

ML’=E,

de unde

(13)

adica M este matricea contragredienta (contravarianta) matricei L.

Notand cu

matricele coordonatelor unui vector in bazele respectiv avem intre aceste coordonate relatia matriciala.

Notand cu

matricele coordonatelor unui vector , respectiv in bazele , avem relatia

(11’)

Dar din (13) rezulta

atunci (11’) devine

(11’’)

Comparand relatiile (10) cu (10’), apoi (11) cu (11’’), avem concluzia:

In timp ce in R coordonatele unui vector se schimba contragredient (contravariant) cu schimbarea bazei din R, in, fata de bazele biortogonale corespunzatoare, coordonatele unui vector se schimba cogredient (covariant) cu schimbarea bazei din R.

Insemnand pe scurt cu e, f bazele din R, apoi cu bazele biortogonale corespunzatoare in , avem urmatoarea schema a concluziei precedente:

Functii multiliniare definite de doua spatii duale.

Definitia tensorilor

1. Functii multiliniare

Consideram din nou cele doua spatii R si din paragrafele precedente, pe care le vom numi de acum inainte spatii duale, iar bazele biortogonale corespunzatoare, baze duale. Vom considera p argumente din R (deci fiecare este un vector al lui R si poate parcurge intreaga multime de vectori din R, independent de celelalte argumente ) si q argumente din, apoi functia:

liniara in fiecare argument, adica functia este scalara si se bucura de proprietatile:

unde y este unul oarecare dintre argumentele

Functia se numeste o functie multiliniara definita pe domeniile R si (anume de p ori liniara in R si de q ori liniara in ).

Fie baze oarecare in R si. Avem:

(1)

Deci,

(2)

Notand cu

(3)

(2’)

Observam ca functia multiliniara este determinata de cei coeficienti (fiecare indice, atat inferior cat si superior, poate varia de la 1 la n).

Sa vedem cum se schimba coeficientii unei forme multiliniare la schimbari de baze in R si.

Consederam schimbarile de baze:

cu matricea (4)

cu matricea . (5)

Avem:

(6)

(7)

Astfel, coeficientii formei multiliniare se schimba de p ori cu coeficientii matricei L (dupa indicii inferiori) si de q ori cu coeficientii matricei M (dupa indicii superiori). Daca bazele considerate in R si sunt bazele duale (biortogonale), atunci si in acest caz se spune ca coeficientii formei multiliniare se schimba de p ori covariant (dupa matricea L) si de q ori contravariant [dupa matricea ]. Coeficientii formei multiliniare constituie un tensor de p ori covariant si de q ori contravariant.

2. Definitia tensorilor

Un sistem de elemente din corpul C, date intr-o baza dintr-un spatiu liniar R peste C, fiecare element al sistemului depinzand de p indici inferiori si q indici superiori, defineste un tensor de p ori covariant si de q ori contravariant, daca la o schimbare a bazei dein R acest sistem de elemente se schimba la fel cu coeficientii unei forme multiliniare cu p argumente din R si q argumente din spatiul dual al lui R, anume se schimba covariant fata de indicii inferiori si contravariant fata de indicii superiori.

Astfel, elementele date in baza din R definesc un tensor de p ori covariant si de q ori contravariant, daca la o schimbare a bazei (4)

cu matricea , iar , elementele sistemului se transforma in elementele

(8)

Tensorul astfel definit se numeste de valenta sau de rang p+q. Elementele care definesc tensorul, intr-o baza, se numesc componentele tensorului sau coordonatele tensorului.Tensorii care au acelasi numar de indici, atat jos cat si sus, se numesc tensori de acelasi tip.

Doi tensori definiti in aceeasi pereche de spatii R si se numesc egali daca sunt de acelasi tip si au componentele respectiv egale, intr-o pereche de baze biortogonale (deci in orice pereche de baze biortogonale).

Exemple:

1) Tensorul de rang zero se reduce la un singur element constant, fata de schimbarea bazei; acest element se spune ca este invariant la schimbarea bazei. Produsul scalar a doi vectori intr-un spatiu euclidian este un tensor de rang zero.

2) Vectori contravarianti si covarianti. Un vector x din spatiul R este determinat in fiecare baza prin coordonatele lui la schimbarea bazei prin (4), acestea se schimba contravariant

(9)

deci vectorii din R sunt tensori de valenta 1,contravarianti; de aceea ii numim vectori contravarianti. Vectorii din spatiul dual al lui Rsunt formele liniare din R, ; acestia sunt tensori de valenta 1, covarianti

(10)

De aceea spunem ca elementele lui sunt vectori covarianti.

3) Formele biliniare sunt definite prin coeficientii intr-o baza din R; coeficientii se schimba prin formula

la schimbarea bazei. Deci, coeficientii formelor biliniare constituie un exemplu de tensor de valenta 2, de doua ori covariant.

4) Transformarile liniare din R sunt definite intr-o baza prin

Cantitatile constituie un tensor de valenta 2, o data covariant si o ata contravariant, caci la o transformare a bazei avem

unde este matricea transformarii bazei si

In particular

defineste transformarea identica; acesta este simbolul lui Kronecker si vedem ca el este un tensor, care isi pastreaza aceleasi componente in orice baza.

5) Constantele de structura ale unei algebre de ordinul n peste un corp C constituie un tensor de valenta 3, de doua ori covariant si o data contravariant.

6) Coeficientii unei functii multiliniare, asa cum s-a aratat in paragraful precedent, constituie de asemenea modelul unui tensor de p ori covariant si de q ori contravariant.

Invers, dat fiind un tensor se poate determina unic o functie multiliniara, care sa admita drept coeficienti componentele tensorului dat. Vom lua

si deci

7) Fiind dat, intr-o baza, un sistem de p vectori contravarianti si un sistem q de vectori covarianti (deci vectorii sunt dati prin coordonatele lor si vectorii covarianti sunt forme liniare)

atunci produsul

(11)

constituie un tensor de p ori contravariant si de q ori covariant. In adevar, la o schimbare de baza definita de (4), coordonatele vectorilor se schimba dupa formulele [obtinute traducand (9), (10) in notatiile de aici]

t=1,2,,p,

t=1,2,,q,

(indicii de sumare). Atunci produsul P se transforma dupa formulele

(12)

ceea ce demonstreaza ca P este un tensor de valenta p+q, de q ori covariant si de p ori contravariant.